第7章圖像頻域變換課件

第七章頻域處理7.1頻域世界與頻域變換7.2傅立葉變換7.3離散余弦變換7.4離散沃爾什哈達瑪變換7.5小波變換簡介7.1頻域世界與頻域變換任意波形可分解為正弦波的加權和y1=Sin(x+/2)A=1,=/2,f=1/2y2=0.5sin(2x+)A=0.5,=,f=1/y3=0.25sin(4x+3/2)A=0.25,=3/2,f=2/y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]波形的頻域表示y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]幅頻特性Af0.250.510.751/23/21/2/相頻特性f/223/21/23/21/2/7.1頻域世界與頻域變換幅頻特性Af0.250.510.751/23/21/2/相頻特性f/223/21/23/21/2/7.1頻域世界與頻域變換時域和頻域之間的變換可用數(shù)學公式表示如下：為能同時表示信號的振幅和相位，通常采用復數(shù)表示法:完成這種變換，一般采用的方法是線性正交變換。7.1頻域世界與頻域變換7.2傅立葉變換7.2.1離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)

設{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為x，u=0,1,2，…,N－1由歐拉公式離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應的傅立葉變換結果是所有輸入序列f(x)的加權和（每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個傅立葉變換結果的頻率。7.2.1離散傅立葉變換傅立葉變換為復數(shù)形式：表示成指數(shù)形式：F(u)=|F(u)|ejφ(u)f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜f(x)的相位譜F(u)實部和虛部頻譜的平方稱為能量譜或功率譜7.2.1離散傅立葉變換二維離散傅立葉變換對定義為系數(shù)1/MN可以在正變換或逆變換中，只要兩式系數(shù)的乘積等于1／MN即可。u,x=0,1,2,…,M-1;v,y=0,1,2,…,N-1x,y為時域變量，u,v為頻域變量7.2.1離散傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。7.2.1離散傅立葉變換7.2.2快速離散傅立葉變換

離散傅立葉變換計算量非常大，運算時間長。研究離散傅立葉變換的快速算法（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）是非常有必要的。

介紹一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。改寫公式：

式中，W=e-j2π／N

，稱為旋轉(zhuǎn)因子。W=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N為周期)式中很多Wux系數(shù)相同，不必進行多次重復計算。7.2.2快速離散傅立葉變換

FFT的推導過程：設N為2的正整數(shù)次冪，即令M=N/2,離散傅立葉變換可改寫成如下形式：

偶離散點奇離散點7.2.2快速離散傅立葉變換

定義7.2.2快速離散傅立葉變換于是將一個N點的離散傅立葉變換分解成兩個N／2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換Fe(u)和Fo(u)。設N=237.2.2快速離散傅立葉變換7.2.2快速離散傅立葉變換蝶形運算單元7.2.2快速離散傅立葉變換Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)7.2.2快速離散傅立葉變換

Fe(u)和Fo(u)都是4點的DFT，對它們再按照奇偶進行分組Fee(0)Feo(1)08W28W－Fee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08W－Foe(0)Foo(1)08W28W－Foe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W－7.2.2快速離散傅立葉變換8點DFT的蝶形流程圖例：0102030405060708Fe(0)Fo(1)04W14W－Fe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W－04W04W04W04W－－f(0)f(2)f(1)f(3)7.2.2快速離散傅立葉變換0102

0304050607083i-3-i

0304050607080012003-13i-3-ii-i－1－1－17.2.2快速離散傅立葉變換0034007-17i-7-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i

0304050607087.2.2快速離散傅立葉變換00560011-111i-11-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i7i-7-i11i-11-i07087.2.2快速離散傅立葉變換00780015-115i-15-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i11i-11-i07083i-3-i7i-7-i11i-11-i15i-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換31171514-822-836-8+8i-8-8-8ii-i－1－1－13

i-3-i

7i-7-i11i-11-i15i-15-i36i-3-i

-8+8ii-7-i-8i-11-i-8-8ii-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換iiii2i02i04i000i-i－1－1－136

i-3-i

-8+8i

i-7-i-8

i-11-i-8-8i

i-15-i36

4i-3-i

-8+8i

0-7-i-8

0-11-i-8-8i

0-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8ii-i－1－1－136

4i

-3-i

-8+8i

0

-7-i-8

0

-11-i-8-8i

0

-15-i36

4i-36-i

-8+8i

08-8i-i-8

08-i-8-8i

08+8i-i7.2.2快速離散傅立葉變換-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000i-i－1－1－136

4i-36

-i

-8+8i

08-8i

-i-8

08

-i-8-8i

08+8i

-i36

4i-36-4i-8+8i08-8i0-8080-8-8i08+8i07.2.2快速離散傅立葉變換7.4離散余弦變換（DCT）離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT變換被認為是一種語音信號、圖像信號的變換的準最佳變換。7.4.1一維離散余弦變換

一維DCT定義如下：設{f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號列。u,x=0,1,2,…,N－17.4.2二維離散余弦變換

二維DCT定義如下：設f(x,y)為M×N的數(shù)字圖像矩陣，則x,u=0,1,2,…,M－1y,v=0,1,2,…,N－1C(u)和C(v)的定義同前7.5離散沃爾什-哈達瑪變換（WHT）7.5.1一維離散沃爾什-哈達瑪變換

1.沃爾什函數(shù)

沃爾什函數(shù)是1923年由美國數(shù)學家沃爾什提出的。它是一個完備正交函數(shù)系，其值只能?。?和－1。從排列次序上可將沃爾什函數(shù)分為三種定義方法。在此只介紹哈達瑪排列定義的沃爾什變換。2n階哈達瑪矩陣有如下形式：7.5.1一維離散沃爾什-哈達瑪變換2.離散沃爾什-哈達瑪變換一維離散沃爾什變換及逆變換定義為若將Walsh(u,x)用哈達瑪矩陣表示，并將變換表達式寫成矩陣形式，則上兩式分別為：7.5.1一維離散沃爾什-哈達瑪變換［HN］為N階哈達瑪矩陣

由哈達瑪矩陣的特點可知，沃爾什-哈達瑪變換的本質(zhì)上是將離散序列f(x)的各項值的符號按一定規(guī)律改變后，進行加減運算，它比采用復數(shù)運算的DFT和采用余弦運算的DCT要簡單得多。7.5.2二維離散沃爾什變換

二維WHT的正變換核和逆變換分別為x,u=0,1,2,…,M－1y,v=0,1,2,…,N－1例有兩個二維數(shù)字圖像信號矩陣如下，求這兩個信號的二維WHT。根據(jù)題意，M=N=4，其二維WHT變換核為7.5.2二維離散沃爾什變換從以上例子可看出，二維WHT具有能量集中的特性，而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，二維WHT可用于壓縮圖像信息。7.7小波變換簡介與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Motherwavelet）的寬度來獲得信號的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號的時間信息。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關程度。

1.連續(xù)小波變換（CWT）小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結果。

從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號，用不規(guī)則的小波進行分析比用平滑的正弦波更好，用小波更能描述信號的局部特征。

連續(xù)小波變換（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：

CWT的變換結果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)。1.連續(xù)小波變換（CWT）

(1)縮放就是壓縮或伸展基波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄。小波的縮放操作1.連續(xù)小波變換（CWT）

(2)平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學上，函數(shù)f(t)延遲k的表達式為f(t-k)。小波的平移操作(a)小波函數(shù)ψ(t)；(b)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)1.連續(xù)小波變換（CWT）

CWT計算主要有如下五個步驟：第一步：取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。

第二步：計算小波與所取一節(jié)信號的相似程度C，計算結果取決于所選小波的形狀。

1.連續(xù)小波變換（CWT）第三步：向右移動小波，重復第一步和第二步，直至覆蓋整個信號。1.連續(xù)小波變換（CWT）計算尺度后系數(shù)值C

第四步：伸展小波，重復第一步至第三步。1.連續(xù)小波變換（CWT）第五步：對于所有縮放，重復第一步至第四步?？s放因子scale越小，小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子scale越大，小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。1.連續(xù)小波變換（CWT）

2.離散小波變換（DWT）在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當大，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j>0且為整數(shù)）的倍數(shù)，就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（DyadicWaveletTransform），它是離散小波變換（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，它是一種信號分解的方法，又常稱為雙通道子帶編碼。小波分解示意圖2.離散小波變換（DWT）信號的低頻分量是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。2.離散小波變換（DWT）多級信號分解示意圖（a）信號分解；(b)小波分數(shù)；（c）小波分解樹一級分解對低頻分量連續(xù)分解,可得到信號不同分辨率下的低頻分量,也稱為信號的多分辨率分析分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。表示下采樣對于一個信號，如采用上述方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（Nyquist）采樣定理，可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個通道內(nèi)每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，便可得到離散小波變換的系數(shù)（Coefficient），

分別用cA和cD表示。2.離散小波變換（DWT）

3.小波重構利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構（WaveletReconstruction）或叫小波合成（WaveletSynthesis）。這一合成過程的數(shù)學運算叫做逆離散小波變換（InverseDiscreteWaveletTransform，IDWT）。

1）重構近似信號與細節(jié)信號小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重構出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)置為零即可。

重構近似和細節(jié)信號示意（a）重構近似信號；(b)重構細節(jié)信號

2）多層重構在上圖中，重構出信號的近似值A1與細節(jié)值D1之后，則原信號可用A1＋D1＝S重構出來。對應于信號的多層小波分解，小波的多層重構如下圖：重構過程為：A3+D3＝A2

A2+D2＝A1

A1+D1＝S

2）多層重構信號重構中，濾波器的選擇非常重要，關系到能否重構出滿意的原始信號。低通分解濾波器（L）和高通分解濾波器（H）及重構濾波器組（L′和H′）構成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（QuadratureMirrorFilters