第八章：向量代數(shù)及空間解析幾何詳解課件

四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因此定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,取＝±且再證數(shù)的唯一性.則a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b

同向時則b

與a

同向,設又有b＝

a,“”則例1.

設M

為解:ABCD對角線的交點,已知

b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念Ⅰ2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的分向量.此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r

可用向徑

OM

表示.向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為向量和點

M

的坐標)原點O(0,0,0);四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:

(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質:例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例8.設點A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸y軸的夾3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影的性質（保加與數(shù)乘）:記作向量在坐標軸上的投影與坐標的關系在空間直角坐標系下,則既是向量的坐標，也是向量沿三個坐標軸的投影.此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r

可用向徑

OM

表示.沿三個坐標軸方向的分向量.解:

因例9.設求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設向量的夾角為,稱記作數(shù)量積(點積).引例.

設一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為記作故2.性質為兩個非零向量,則有3.運算律(1)交換律(2)結合律(3)分配律事實上,當時,顯然成立;例1.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設4.數(shù)量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點AMB.解:則求故二、兩向量的向量積引例.

設O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點上,則力F

作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝2.性質為非零向量,則∥∥3.運算律(2)分配律(3)結合律證明:4.向量積的坐標表示式設則向量積的行列式計算法例3.已知三點角形

ABC

的面積

解:

如圖所示,求三思考與練習1.設計算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:證:由三角形面積公式所以因內容小結設1.向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面曲面及其方程

一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:

動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉到思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點

其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xoy

面上的曲線l1.母線準線

yoz

面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)1.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經x

或y方向的伸縮變換得到．

)2.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面

上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當p=q時為繞

z軸的旋轉拋物面.(p,q同號)一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據第一方程引入參數(shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為三、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox

面上的投影曲線方程例如,在xoy

面上的投影曲線方程為畫出下列各曲面所圍圖形:

又如又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面在xoy

面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy

面上的投影曲線所圍之域.又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.第五節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:

動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).①一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故例1.求過三點即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面的方程例2求過點

且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量為取所求平面的法向量

則所求平面方程為化簡得二、平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例3.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為例4.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.三、兩平面的夾角設平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結論：因此有例5.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且外一點,求例6.設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)內容小結1.平面基本方程:一般式點法式截距式2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:第六節(jié)一、空間直線方程二、線面間的位置關系空間直線及其方程一、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)2.對稱式方程故有說明:

某些分母為零時,其分子也理解為零.設直線上的動點為則此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)直線方程為已知直線上一點例如,當和它的方向向量3.參數(shù)式方程設得參數(shù)式方程:例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點.再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點.故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點;再找直線的方向向量.二、線面間的位置關系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為特別有:例2.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角的余弦為從而的方向向量為的方向向量為當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;2.

直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿特別有:解:

取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(1,－2,4)