第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)2節(jié)

2節(jié)考綱1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式題及其逆命題、否命

可以判斷、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為語(yǔ)句叫做假命題.①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性p?qpq的充分條件，qppqp?q且qpqpq且pqpqpq且q[微點(diǎn)提醒A)且AB)兩者的不同AB的充分不必要條件?B是A的充分不必要條件 命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈 當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件 “若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立 答 (2)× 2.(1－1P5練習(xí)引申)

＝4

tanα＝1”的逆否命題是

≠4

tan

＝4

tan4C.若tanα≠1，則 D.若tanα≠1，則4解 命題“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則綈p”，所以該命題的逆命題是“tanα≠1答

3.(選修1－1P21B2改編)a，bab 解 “a，b都是偶數(shù)”的否定為“a，b不都是偶數(shù)”，“ab是偶數(shù)”的否為“ab不是偶數(shù)”，故其逆否命題為“aba，b不都是偶數(shù)答 若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶 1 卷)設(shè)x∈R，則“－2<2”是“x<1”的 解 由x－1<1，得0<x<1，所以0<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出 2所以

2答 5.(2017·卷)能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，則a＋b＝－6<c.答 －2，－4，－5(答案不唯一6.(2019·江南十校聯(lián)考)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sin 條件x解 顯然a＝0時(shí)，f(x)＝sinx－1為奇函數(shù)x

1

af(x)f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1＋a＋sin 2a＝0所以“a＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的充要條件答 充考點(diǎn) 命題及其關(guān)【例1】(1)(2019·鄭州模擬)下列說(shuō)法正確的是 x0∈(0，＋∞)3x0>4x0sin

≠2

α≠6(2)(2018·卷)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù) 解 (1)對(duì)于選項(xiàng)A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則Am＝0時(shí)am2＝bm2，所以其逆命題為假命題，B錯(cuò)；Cx∈(0，＋∞)4x>3x，CD項(xiàng)，原命題的逆否命題為“α＝πsin

真命題

定義域內(nèi)有唯一的最小值點(diǎn)，且f(x)min＝f(0).答 (2)f(x)＝sinx，x∈[0，2](答案不唯一，再如 規(guī)律方 1.寫(xiě)一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式題，需先改寫(xiě)(2)若命題有，寫(xiě)其他三種命題時(shí)需保留2.(1)出反例 a，b，ca，b，cb2＝aca，b，cb2≠aca，b，c(2)px>0x>aqm≤a－2m<sinx(x∈R)恒成立.的逆命題，q的逆否命題都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 (1)命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”.(2)px>ax>0a≥0.q的逆否命題為真命題，所以命題q為真命題，則a－2<－1，解得a<1.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1).答 考點(diǎn) 充分條件與必要條件的判ab (2)設(shè)函數(shù)

則“m>1是f[f(－1)]>4”的 解 又 (2)m>1時(shí)，f

f[f(－1)]>4時(shí)，f

1

答 規(guī)律方 充要條件的三種判斷方p?q，q?p進(jìn)行判斷p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷【訓(xùn)練2】(1)(2018·浙江卷)已知平面α直線mn滿足m αnα (2)(2019·漢中質(zhì)檢)f(x)＝3x－3－xa，b∈R，則“a>b”是的 (1)若m α，nα，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m nα，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分(2)f′(x)＝3xln3－3－xln3×(－1)＝3xln3＋3－xlnf′(x)>0，所以函數(shù)f(x)＝3x－3－x為(－∞，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，從而由“a>b”可得答 考點(diǎn) 充分條件、必要條件的應(yīng) 典例遷3(經(jīng)典母題)P＝{x|x2－8x－20≤0}S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.x∈Px∈Sm的取值范圍. ∵x∈Px∈S

又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m綜上，m的取值范圍是 由例題知x∈Px∈S

m不存在2p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，qS＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈qm的取值范圍. 由例題知∵p是qpq的充分不必要條件∴p?q且qp，即

或∴m≥9S為非空集合，m的取值范圍是 3(2018·瀏陽(yáng)三校聯(lián)考)pxx2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：xx2－x－6≤0x2＋2x－8>0.a<0pq的充分不必要條件，求a的取值范圍.解p得(x－3a)(x－a)<0a<0x2＋2x－8>0x>2pq的充分不必要條件.可知 B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或

a的取值范圍為[思維升華充分、必要條件與集合的關(guān)系，p，qAA?Bpq的充分條件，qp的必要條件若 B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件A＝Bpq的充要條件.當(dāng)一個(gè)命題有而要寫(xiě)出其他三種命題時(shí)，必須保留“p的一個(gè)充分而不必要條件是q”等語(yǔ)言.(建議用時(shí)：30分鐘1.(2019·八市聯(lián)考)命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是( A.若a≤b，則a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，則a≤b 解 將條件、結(jié)論都否定.命題的否命題是“若a≤b，則答 充分而不必要條 解 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得x≤20≤x≤20≤x≤2答

解 ，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，a>b，則a－c>b－c，故C正確；對(duì)D，a>ba，b0a2<b2D錯(cuò)答 2 診斷)p：cosθ＝2

q：tanθ＝1，則p是q的 充分不必要條 解 由cosθ＝2，得θ＝±π＋2kπ，k∈Z，則tan 故pq，p是q的不充分條件tanθ＝1θ＝π＋kπ，k∈Zcosθ＝± 故qp，p是q的不必要條件pq的既不充分也不必要條件答 A.0 B.1 C.2 D.4解析c＝0，則不成立，由等價(jià)命題同真同假知其逆否命題也為假；式的基本性質(zhì)得a>b，∴逆命題為真，由等價(jià)命題同真同假知否命題也為真，∴2個(gè)答案p：x2＋2x－3＞0q：x＞a，且q綈p，則a的取值范圍是 x2＋2x－3＞0x＜－3x＞1qp，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件.故a≥1.答 解 共線.故“λm＝λn”是“m·n<0”的充分不必要條件答 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 m>0x2＋x－m＝0m2＋n2＝0m＝0n＝0m2＋n2≠0 C項(xiàng)命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根則m>0”.若方程有實(shí)根，則Δ＝1＋4m≥0，4m≥－1m>0.所以不是真命題4答 解 “攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件答 必以下關(guān)于命題的說(shuō)法正確的 (填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)log2a>0f(x)＝logax(a>0a1)a＝0ab＝0a≠0x，yx＋ya∈Mb?Mb∈Ma?M”等價(jià)解 ①不正確.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)②正確.由命題的否命題定義知，該說(shuō)法正確“如1＋3＝41和3均為奇數(shù).④正確.答 直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件 2<解 直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝22<答 12.(2019·陜西師大附中月考)p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0是p的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 解 p對(duì)應(yīng)的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝x|2<x≤1，q對(duì)應(yīng)的集合

1且a＋1≥1，所以

答

(建議用時(shí)：10分鐘 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等價(jià)d>0，答 x－a>0，且q的一個(gè)必要不充分條件 p，則a的取值范圍是 解 法 由x2＋2x－3>0，得x<－3或pq：x>a＋1q依題意綈q是綈p的充分不必要條件，所以 故

法 ∵綈q的一個(gè)必要不充分條件是綈∴pqpqpC＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x