【2022蘇教版數(shù)學(xué)】《冪函數(shù)》

冪函數(shù)的概念.圖象與性質(zhì)我們先來看看幾個具體的問題:

(1)如果張紅買了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付

P=W元(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積_____(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積___________(4)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)1km,那么他騎車的平均速度___

p是w的函數(shù)S=a2

S是a的函數(shù)V=a3

V是a的函數(shù)V=t?1km/s

V是t的函數(shù)一引入以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;（5）冪前的系數(shù)也為1。

上述問題中涉及的函數(shù)，都是形如y=xa的函數(shù)。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1從而我們歸納出冪函數(shù)的一般概念：（1）均是以自變量為底的冪；（2）指數(shù)為常數(shù)；（3）自變量前的系數(shù)為1;（4）冪前的系數(shù)也為1。

一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)。例1，判斷下列函數(shù)哪幾個是冪函數(shù)？答案（2）(5)（7）函數(shù)圖象的畫法是：列表、描點(diǎn)、連線，那么冪函數(shù)也用此法。冪函數(shù)圖象的畫法

冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)我們主要學(xué)習(xí)下列幾種函數(shù).(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3

(4)y=x(5)y=x-1定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性

公共點(diǎn)奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）x∈［0，+∞）時,增x∈（-∞，0]時，減增增增x∈(0，+∞）時，減x∈（-∞，0)時，減觀察冪函數(shù)圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表結(jié)合以上特征得冪函數(shù)的性質(zhì)如下:所有的冪函數(shù)在都有定義,并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù),指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)由以上性質(zhì)可得冪函數(shù)有怎樣的性質(zhì)？2．當(dāng)a>0時：①圖象過（０，０），（１，１）；②函數(shù)在（０，＋∞）上是增函數(shù)；③當(dāng)x>1時，指數(shù)大的圖象在上方，當(dāng)0<x<1時，指數(shù)大的圖象在下方。3．當(dāng)a＜0時：①圖象過（１，１）；②函數(shù)在（０，＋∞）上是減函數(shù)；③在第一象限內(nèi)，圖象向上無限接近y軸，向右無限接近x軸；④當(dāng)x>1時，指數(shù)大的圖象在上方，當(dāng)0<x<1時，指數(shù)大的圖象在下方．=0時,注意：求定義域須考慮的問題①分母不能為０；②偶次根式下必須為非負(fù)實(shí)數(shù)；③零的零次方?jīng)]有意義；④奇次根號下無限制；⑤對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不為1．⑥求冪函數(shù)定義域的一般方法是把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，再分析其具體滿足什么條件

解:設(shè)f(x)=xa由題意得練習(xí)：已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),試求出此函數(shù)的解析式.總結(jié):(1)理解并掌握形如y=xa的形式就是冪函數(shù)的定義

(2)充分理解并掌握冪函數(shù)的性質(zhì)和特征習(xí)題講解例2．比較下列各組數(shù)的大?。航猓海ǎ保﹥绾瘮?shù)在（０，＋∞）上為減函數(shù)，且（２）冪函數(shù)在（０，＋∞）上為減函數(shù)，且，又因?yàn)?，所以你能得出其一般方法嗎？①差值比較法；②商值比較法；③中介比較法；④利用單調(diào)性較．⑤圖象比較法等。

變式訓(xùn)練冪函數(shù)的應(yīng)用

證明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2則x1/x2<1

所以

所以

所以例2證明冪函數(shù)f(x)=x1/2

在［0，+∞）上是增函數(shù).(1)作差法: