第5章-離散型概率分布課件

實踐中的統(tǒng)計花旗銀行（citibank)是美國花旗集團(tuán)的一個分支機(jī)構(gòu)，提供包括銀行支票、儲蓄、貸款、保險、投資等在內(nèi)的廣泛的金融服務(wù)。它是美國最早引進(jìn)自動柜員機(jī)(ATM)的銀行之一，花旗銀行的客戶80%的交易都是通過ATM自動柜員機(jī)來完成。每個花旗銀行的卡務(wù)中心都且套排隊等候系統(tǒng)，銀行定期對卡務(wù)中心的客流量進(jìn)行分析，以決定是否需要增加新的ATM機(jī)，

根據(jù)花旗銀行的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示：隨機(jī)到達(dá)的顧客人數(shù)服從泊松分布。利用泊松分布，花旗銀行可以計算在任意時間段內(nèi)到達(dá)的一定人數(shù)的概率，從而決定是否需要相應(yīng)增加ATM機(jī)的數(shù)目。

如令X代表1分布內(nèi)到達(dá)的客戶人數(shù)。假設(shè)平均每分鐘內(nèi)到達(dá)某個卡務(wù)中心的人數(shù)為2，右表顯示了1分鐘內(nèi)到達(dá)人數(shù)的概率：本章要點:第5章離散型概率分布隨機(jī)變量離散型概率分布數(shù)學(xué)期望與方差二項概率分布泊松概率分布超幾何概率分布

為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，需將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化。隨機(jī)變量的引入

一方面，有些試驗，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗結(jié)果就是一個數(shù))；

另一方面，有些試驗，其結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進(jìn)一個變量來表示試驗的各種結(jié)果。

試驗結(jié)果可以數(shù)值化。有些試驗結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例3.七月份廣州的最高氣溫；1.每天廣州站下火車的人數(shù)；2.每年12月份廣州發(fā)生交通事故的次數(shù)；4.

一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)…。結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實例6

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).

5.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).實例7

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實例8

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.

“太陽不會從西邊升起”,“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實例例1:拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，將這兩個結(jié)果對應(yīng)到實數(shù)如下：還有些試驗結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進(jìn)一個變量來表示試驗的各種結(jié)果的例,如:例2:

連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣3次,所有可能的樣本點為:{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}若用X表示出現(xiàn)正面向上的次數(shù)，則上述結(jié)果都可用X的取值來表示：例3:袋中有6個大小形狀都一樣的球,其中3個是白球,3個是黑球,現(xiàn)從中任取3個,分別求下列結(jié)果的概率："3個都是黑球"、"3個都是白球","2個白球1個黑球"、"2個黑球1個白球"若用X表示取出結(jié)果中含白球的個數(shù)，則上述結(jié)果都可用X的取值來表示：隨機(jī)變量(randomvariables)定義:隨試驗結(jié)果變化而變化的量符號表示:隨即變量用X、Y、Z來表示分類:根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X

取有限個值所有取值都可以逐個列舉出來x1,x2，…離散型隨機(jī)變量的例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品電腦公司一個月的銷售觀察到商店購買某種商品的顧客的性別取到次品的個數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X

取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機(jī)變量的例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件去車站等車,車每隔5分鐘一班測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)等車時間測量誤差(cm)X00

X5X0練習(xí)判斷下列隨機(jī)變量的可取值及判斷隨機(jī)變量是離散的還是連續(xù)的。離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示Xx1，x2

，…，xn,…

f(x)f(x1)，f(x2)

，…

,f(xn),...

f(xi)=P(X=xi)稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù),滿足:

xf(x)00.1810.3920.2430.1440.0450.01合計1例1：某汽車公司一天中汽車銷售量X的概率分布,根據(jù)過去300天的銷售記錄顯示:

54天一輛汽車都沒賣出

117天只賣出1輛汽車

72天賣出2輛汽車

42天賣出3輛汽車

12天賣出4輛汽車

3天賣出5輛汽車?yán)?:

投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)X是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X

123456f(x)1/61/61/61/61/61/601/6f(x)1x23456均勻分布練習(xí)連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣3次,若用X表示出現(xiàn)正面向上的次數(shù),試寫出X的概率分布.X0123f(x)1/8

3/83/81/8練習(xí)下表所示為MRA公司營業(yè)第一年計劃利潤（x=以1000美元計的利潤）的部分概率分布。負(fù)值代表虧損。a.f(200)的值是多少？你怎樣解釋這個值？b.MRA盈利的概率是多少？c.MRA至少盈利100000美

元的概率是多少？xf(x)-1000.1000.20500.301000.251500.10200隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望：度量隨機(jī)變量平均值或中心位置的量度。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計算公式:

練習(xí)某人花2元買彩票，他抽中100元獎的概率是0.1%，抽中10元獎的概率是1%，抽中1元獎的概率是20%，假設(shè)各種獎不能同時抽中，試求：1）此人收益X的概率分布；2）收益的期望值.解：收益X的概率分布為：X1001010f(x)0.0010.010.20.789

=0.4(元)隨機(jī)變量的方差方差：度量隨機(jī)變量的變異或離散程度。離散型隨機(jī)變量的方差的計算公式:離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差

練習(xí)以下是隨機(jī)變量y

的概率分布。a.計算E(y)。b.計算Var(y)。練習(xí)某公司正在考慮一項廠房擴(kuò)建計劃，一項未確定的因素是新產(chǎn)品的需求量，其預(yù)期可能是低、中或高。公司的策劃者已得出中型和大型擴(kuò)充工程的利潤預(yù)測：a.哪一個決定對實現(xiàn)期望利潤最大化的目標(biāo)更優(yōu)？b.哪一個選擇對實現(xiàn)風(fēng)險或不確定性最小的目標(biāo)更優(yōu)？常見的離散型概率分布泊松分布離散型隨機(jī)變量的概率分布二項分布二項試驗二項試驗的性質(zhì)(1)試驗由一個包括n次相同的試驗的序列組成。(2)每次試驗有兩種可能結(jié)果。我們把其中一個稱為成功，另一個稱為失敗。(3)成功的概率，用p來表示，各個試驗都相同。于是，失敗的概率用1-p表示，也都相同。(4)試驗都是獨立的。28注:二項試驗中的”成功”與”失敗”是泛指,它們可以是：賭博中輸與贏抽簽的中與不中設(shè)備的好與壞民意測驗中贊成與反對回答問題時的答對與錯....考慮接下去即將光臨馬丁服裝店的三位顧客購買服裝的情況.在接下來的每一位光臨服裝店的顧客,如果購買了服裝即為"成功",如果沒有購買即為"失敗".根據(jù)以往的經(jīng)驗,商店經(jīng)理估計每位顧客購買服裝的概率為0.3,則接下來即將光臨服裝店的三位顧客中有2位顧客會購買服裝的概率是多少?馬丁服裝店問題統(tǒng)計圖表30統(tǒng)計圖表31統(tǒng)計圖表32統(tǒng)計圖表33統(tǒng)計圖表34統(tǒng)計圖表35統(tǒng)計圖表36統(tǒng)計圖表37統(tǒng)計圖表38二項概率分布在二項試驗的n次重復(fù)試驗中”成功”的總次數(shù)記為X,則X的概率函數(shù)為:

,x=0,1,2,...,n

,x=0,1,2,...,n統(tǒng)計圖表40統(tǒng)計圖表41統(tǒng)計圖表42統(tǒng)計圖表43統(tǒng)計圖表44統(tǒng)計圖表45統(tǒng)計圖表46統(tǒng)計圖表47統(tǒng)計圖表48統(tǒng)計圖表49

二項分布例

例1

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，重復(fù)地擲5次，記正面向上的次數(shù)為隨機(jī)變量X，1）求X=2的概率2）若分幣質(zhì)地不均勻，出現(xiàn)正面的概率為2/3，求重復(fù)擲5次時X=2的概率二項分布例

袋中有10個大小外形一樣的球，其中白球7個，紅球3個，現(xiàn)依次從中隨機(jī)的取5個球（不放回），記取中白球數(shù)為X，請問X是否服從二項分布？思考

二項分布表的使用練習(xí)一個美國個人投資者協(xié)會的調(diào)查顯示，23％的該協(xié)會成員購買了原始股（IPO），在一個由12個美國個人投資者協(xié)會成員組成的樣本中，a.恰有3個成員購買IPO的概率是多少？b.至少1個成員購買IPO的概率是多少？c.2個或更多成員購買IPO的概率是多少？二項分布

(例題分析)練習(xí)

一張考卷上有5道題目，每道題列出4個備選答案，其中有一個是正確的。某學(xué)生憑猜測答對4道以上題目的概率是多少？解：由于每道題目的回答是相互獨立的，各題答對的概率均為0.25，故答對數(shù)量服從二項分布，X

~B(5,0.25),答對4道以上，即X取4或5兩種情況，其概率為

二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差

一段時間內(nèi)車站侯車的乘客人數(shù)一段時間內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)什么樣的隨機(jī)變量服從泊松分布？一段時間內(nèi)某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)小概率事件在一段時間內(nèi)或一定空間內(nèi)發(fā)生的總次數(shù)X便服從泊松分布，如：銀行在一段時間內(nèi)接待的顧客數(shù)保險公司一個月內(nèi)接到的索賠次數(shù)銀行在一段時間內(nèi)接待的顧客數(shù)*泊松分布為二項分布的極限化在n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為

,記X為A發(fā)生的總次數(shù),則對任意給定的k有：一段時間內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)s炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù)什么樣的隨機(jī)變量服從泊松分布？泊松分布描述一段時間內(nèi)某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)小概率事件在一段時間內(nèi)或一定空間內(nèi)發(fā)生的總次數(shù)X便服從泊松分布，如：在10英里長的高速公路上需要修理的數(shù)目一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)落在顯微鏡上某種細(xì)菌個數(shù)…泊松（Poisson）分布的Poisson分布，記作若隨機(jī)變量X只取非負(fù)整數(shù)0,1,2,...,且概率函數(shù)為：其中μ是常數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為μ

泊松分布的期望與方差：

解:例:某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)

X

服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生

3

次以上火災(zāi)的概率。P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474.泊松分布

(例題分析)例

假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求

（1）X

的均值及標(biāo)準(zhǔn)差

（2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)練習(xí)Regional航空公司的預(yù)訂票處每小時有48次電話。a.求5分鐘時間中接到3次電話的概率。b.求15分鐘時間中恰好接到10次電話的概率。c.假設(shè)現(xiàn)在沒有打電話者在等待，如果代理人花5分鐘完成現(xiàn)在的電話，在那段時間里預(yù)期有多少個打電話者在等待？沒有人等待的概率是多少？d.如果現(xiàn)在沒有電話，代理人可花3分鐘時間休息而不被打擾的概率是多少？超幾何概率分布超幾何