2022年高一數(shù)學學案算法算法案例（新人教A版）

-1-開始-1-學點一學點二學點三學點四-1-

1.《九章算術》中的“更相減損術”求兩個數(shù)的最大公約數(shù).翻譯為現(xiàn)代漢語如下：第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否是偶數(shù)，若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.第二步，用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù),再用

.和

構成新的一對數(shù),再用大數(shù)減小數(shù),以同樣的操作一直做下去,直到產(chǎn)生

為止,這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是最大公約數(shù).

2.古希臘求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是:

：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的

和

構成新的一對數(shù),繼續(xù)做上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,這個較小的數(shù)就是最大公約數(shù).差數(shù)較小的數(shù)一對相等的數(shù)輾轉相除法余數(shù)較小的數(shù)返回-1-

3.把一個n次多項式f(x)=anxn

＋an－１xn－１＋…＋a1x＋

a0改寫成如下形式:

f(x)=anxn＋an－１xn－１＋…＋a1x＋a0

=

.

=

.

=…

=

.

求多項式的值時,首先計算最內層括號內一次多項式的值,即v1=

,然后由內向外逐層計算一次多項式的值,即

v2=

,

v3=

,

…

vn=

,(anxn-1＋an－１xn－2＋…＋a1)x＋a0

((anxn-2＋an－１xn－3＋…+a2)x＋a1)x＋a0

(…（(anx＋an－１)x＋an－2

)x＋…＋a1)x＋a0

anx＋an－１v2x＋an－3v1x＋an－2vn-1x＋a0返回-1-這樣,求n次多項式f(x)的值就轉化為

.上述方法稱為秦九韶算法.觀察上述秦九韶算法中的n個一次式,可見vk的計算要用到vk-1的值.若令v0=an,我們可以得到公式:

.這是一個在秦九韶算法中反復執(zhí)行的步驟,因此可用

來實現(xiàn).求n個一次多項式的值vo=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)循環(huán)結構返回-1-學點一輾轉相除法用輾轉相除法求90與36的最大公約數(shù).

【分析】本題考查輾轉相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟.使用輾轉相除法求90與36的最大公約數(shù)時,先用90除以36,余數(shù)為18,用36除以18,余數(shù)為0,18就是90與36的最大公約數(shù).順便提示一下,兩個數(shù)a,b的最大公約數(shù)一般寫成(a,b),如90與36的最大公約數(shù)為18,寫成(90,36)=18.

【解析】令m=90,n=36,m=2n+18,r=18.令m=36,n=18.又有36=18×2,即m=2n,返回-1-此時r=0.令m=18,n=0.故90與36的最大公約數(shù)為18.程序步驟如下:

INPUT

m=;n=;

m=90;n=36;

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOP

UNTIL

r=0

PRINT

“90與36的最大公約數(shù)為:”;m

END返回-1-

【評析】輾轉相除法是當大數(shù)被小數(shù)除盡時,結束除法運算,較小的數(shù)就是最大公約數(shù);更相減損術是當大數(shù)減去小數(shù)的差等于小數(shù)時停止減法,較小的數(shù)就是最大公約數(shù).返回-1-用輾轉相除法求80與36的最大公約數(shù),并用更相減損術檢驗所得結果.解：用輾轉相除:80=36×2+8,36=8×4+4,8=4×2+0;用更相減損術檢驗:80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20,20-8=12,12-8=4,8-4=4.故80和36的最大公約數(shù)是4.返回-1-學點二更相減損術1.有甲、乙、丙三種溶液,分別重

kg,

kg,

kg.先要將它們分別全部裝入小瓶中,每個小瓶裝入液體的重量相同.問:每瓶最多裝多少?

【分析】本題考查更相減損術的計算步驟及思想.根據(jù)題意,每個小瓶裝的溶液的質量應是三種溶液質量的最大公約數(shù).先求任意兩個數(shù)的最大公約數(shù),然后再求這個數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù).

【解析】返回-1-

即

和

的最大公約數(shù)是

.

即

的最大公約數(shù)是

.

【評析】本題考查更相減損術.返回-1-2.用更相減損之術求98和63的最大公約數(shù).

【分析】由于63不是偶數(shù),把98和63以大數(shù)減小數(shù),并輾轉相減.

【解析】98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7.所以98和63的最大公約數(shù)為7.

【評析】等值算法是當大數(shù)減去小數(shù)的差等于小數(shù)時停止減法,較小的數(shù)就是所求的最大公約數(shù).返回-1-有甲、乙、丙三種溶液分別重147kg,343kg,133kg,現(xiàn)要將它們分別全部裝入小瓶中,每個小瓶裝入液體的質量相同,問每瓶最多裝多少?

解：由題意,每小瓶裝的溶液的質量應是三種溶液質量的最大公約數(shù),先求147與343的最大公約數(shù):

343-147=196,

196-147=49,

147-49=98,

98-49=49.

所以147與343的最大公約數(shù)是49.

再求49與133的最大公約數(shù):

133-49=84,

84-49=35,

49-35=14,

35-14=21,

21-14=7,

14-7=7.

所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.

故每瓶最多裝7kg.返回-1-學點三秦九韶算法1.已知函數(shù)f(x)=x4-2x2-5x+6,用秦九韶算法求f(10)的值.

【分析】本題考查秦九韶算法求值的步驟.根據(jù)秦九韶算法,我們需要處理多項式的系數(shù)以及最高次項的系數(shù).該多項式函數(shù)沒有中間的三次項,應先把多項式變形為f(x)=x4+0×x3-2x2-5x+6再處理.

【解析】v0=1,

v1=1×10+0=10,

v2=10×10-2=98,

v3=98×10-5=975,

v4=975×10+6=9756,

∴f(10)=9756.返回-1-

【評析】當多項式函數(shù)中間出現(xiàn)空項要以系數(shù)為零的齊次項補齊.否則,在處理問題時,多項式運算的次數(shù)不會達到對應的次數(shù).因此,我們在應用秦九韶算法求多項式的值時,先要依次從最高次項往常數(shù)項觀察各項是否都存在,再進行處理.返回-1-2.求多項式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1當x=-2時的值.

【解析】解：先改寫多項式,再由內向外計算.

f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.

而x=-2,所以有:

v0=1,v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3,

v2=v１x+a3=3×(-2)+10=4,

v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2,

v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1,

v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1.

所以當x=-2時，多項式的值為-1.返回【分析】本題考查秦九韶算法.-1-

【評析】利用秦九韶算法計算多項式的值關鍵是能正確地將所給多項式改寫,然后由內向外逐次計算,由于后項計算需用到前項的結果,故應認真、細心,確保中間結果的準確性.返回-1-已知一個5次多項式為:f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求這個多項式當x=5時的值.解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,

當x=5時,

v0=5;

v1=5×5+2=27;

v2=27×5+3.5=138.5;

v3=138.5×5-2.6=689.9;

v4=689.9×5+1.7=3451.2;

v5=3451.2×5-0.8=17255.2.

所以當x=5時,多項式的值為17255.2.返回-1-學點四進位制將8進制數(shù)314706(8)轉化為十進制數(shù).

【分析】本題考查進位制的換算步驟及注意事項.利用把k進制數(shù)轉化為十進制數(shù)的一般方法就可以把8進制數(shù)314706(8)化為十進制數(shù).

【解析】314706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902.

所以314706(8)化為十進制數(shù)是104902.

8進制數(shù)314706中共有6位,因此可令a=314706,k=8,n=6.

【評析】本題考查進位制.返回-1-將389化成四進制數(shù)的末位是

.

1(,末位是第一個余數(shù),389=12011(4).注意:余數(shù)自下而上排列.)4

389

余4

97

14

24

14

6

04

1

2

0

1第一個余數(shù)返回-1-1.如何理解輾轉相除法?

輾轉相除法是西方古代數(shù)學中的一個典型算法.更相減損術和秦九韶算法都是我國古代數(shù)學中的著名算法,而排序法和進位制算法是計算機科學中普遍使用的算法.這些算法案例不僅蘊涵著深刻的算法思想,而且也更能體現(xiàn)出算法的重要性和有效性.因此,要切實理解算法案例的內容及具體算法的關鍵步驟.返回-1-2.如何掌握進位制?

進位制是一種記數(shù)方式,用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值.可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù),基數(shù)為n,即可稱n進位制,簡稱n進制.現(xiàn)在最常用的是十進制,通常使用10個阿拉伯數(shù)字0~9進行記數(shù).

對于任何一個數(shù),我們可以用不同的進位制來表示.比如:十進數(shù)57,可以用二進制表示為111001,也可以用八進制表示為71,用十六進制表示為39