軸對(duì)稱(chēng)、等腰三角形經(jīng)典練習(xí)題

【知識(shí)點(diǎn)回顧】軸對(duì)稱(chēng)：一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。這條直線叫作對(duì)稱(chēng)軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：1、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形全等。2、如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等線段垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形：等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”。）推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半【典型例題】例1.如圖，中，，BD平分。求證:。分析：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BCJL截取，只需證明，考慮到，想到在BC±截取,連結(jié)DE,易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出。證明：在BC±截取，連結(jié)DE、DF在和中，又即【隨堂作業(yè)】TOC\o"1-5"\h\z1、下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形B.有一個(gè)內(nèi)角是45。直角三角形C.有一個(gè)內(nèi)角是30。的直角三角形D.有兩個(gè)角分別是30。和120。的三角形2、下列說(shuō)法中正確的是（）角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等角是軸對(duì)稱(chēng)圖形③線段不是軸對(duì)稱(chēng)圖形④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等A.①②③?B.①②③C.②④D.②③?3、小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示實(shí)際時(shí)間是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：014、下列推理中，錯(cuò)誤的是（）A????ZA=ZB=ZC,???△ABC是等邊三角形B????AB=AC,且ZB=ZC,/.△ABC是等邊三角形C????ZA=60°,ZB=60°,???△ABC是等邊三角形D????AB=AC,ZB=60°,/.△ABC是等邊三角形TOC\o"1-5"\h\z5、等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2cm和5cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A?9cmB?12cmC.9cm和12cmD.在9cm與12cm之間6、若等腰三角形的一個(gè)外角為130。，則它的底角為?7、如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)是8、如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，若的最小值為2,則的周長(zhǎng)是（）A.】B?C?D?9、在等邊三角形ABC中，CD是ZACB的平分線，過(guò)D作DEIIBC交AC于E,若△ABC的邊長(zhǎng)為a,則△ADE的周長(zhǎng)為（）A?2aB?C?1?5aD?a10、如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則等于（C）A?B?C?D?11、如圖7-llb在RtAABC中，B為直角,DE是AC的垂直平分線，E在BC±,ZBAE：ZBAC=1：5,則ZC=?12、如圖7-112,ZBAC=30。，AM是ZBAC的平分線，過(guò)M作HEIIBA交AC于E,作MD丄BA,垂足為D,ME=10cm,則MD=?13、已知：如圖7-120,等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,D為BC中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且滿足EA=CF.求證：DE=DF.14、已知：如圖△ABC中，AB=AC,AD和EE是高，它們交于點(diǎn)H,且AE=EE,求證：AH=2BD.【課后作業(yè)】1、如圖：等邊三角形AEC中，BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則TOC\o"1-5"\h\zZAPE的度數(shù)是（）A.45。E?55°C?60°D?75°2、等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm,一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不對(duì)3、如圖，AABC中，AB=AC,ZA=36°,ED、CE分別為ZABC與ZACE的角平分線，且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有（）A.6個(gè)B7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)4、如圖，ZMPN=25°,又PA=AB=EC=CD,則ZDCM=度。5、已知：在厶ABC中,ZA=20〈D為AB上一點(diǎn)、AD=DC.且ZACD:ZBCD=2:3,則ZABC=?6、等邊△ABC中，點(diǎn)P在AAEC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC夕卜，且ZABP=ZACQ,EP=CQ,問(wèn)AAPQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論.7、已知：如圖，AD平分ZBAC,EF垂直平分AD交EC延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF?求證:ZB=ZCAF.8、如圖，AABC中，ZABC=2ZC,AD是EC邊上的高，B到點(diǎn)E,使EE=ED求證：AF=FC一、選擇題（每小題3分，共30分）下列圖案中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）以下四個(gè)圖形中對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最多的一個(gè)圖形是（）到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)已知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，點(diǎn)Q在線段AB的中垂線外，則（）不能確定（）a.pa+pb>qa+qbb.pa+pb<qa+qbc.pa+pb=qa+qed.不能確定（）等腰三角形的一個(gè)外角等于100。，則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為A.40°,40°B.80°,20°C.50°,50°D.50°,50?；?0。，20°下列說(shuō)法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長(zhǎng)相等：③等腰三角形的腰一定人于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8,—邊長(zhǎng)為16,那么它的周長(zhǎng)是32或40.其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4在△ABC中，AB=AC,ED平分ZABC,若ZBDC=75°,則ZA的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.45°D.60°在等腰三角形ABC中，AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A.7B.11C.7或11D.7或10如圖，在厶ABC中，AC=AD=ED,ZDAC=80。，則ZE的度數(shù)是（）A.40°B.35°C.25°D.20°如圖，直線1是一條河，P,Q兩地相距8km,P,Q兩地到1的距離分別為2km,5km,欲在1上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P,Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）二、填空題（每小題3分，共24分）TOC\o"1-5"\h\z粗圓體的漢字“I1”“天”等都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出至少三個(gè)以上這樣的漢字.如圖，AABC中，DE垂直平分AC,與AC交于點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)D,ZC=15°,ZBAD=60°,則△ABC是三角形.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20。，則其頂角的大小為.如圖，已ABC中，AB=AC,AB邊上的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,D為垂足,若ZABE：ZEBC=2：1,則ZA=.在△ABC中，AB=AC,ZA=36。，角平分線EE與CD相交于點(diǎn)F,如果不添加其他線和字母，那么圖中等腰三角形有個(gè).如圖，AD是ZkABC的中線，ZADC=60°,BC=4,把△ADC沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落在C的位置上，那么EC的長(zhǎng)為.如圖，在厶ABC中，AB=AC,AD是ZBAC的平分線，點(diǎn)E是AD的任一點(diǎn)，若△ABC的面積為12cm,則圖中陰影部分的面積是cm.△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是EC邊上的任意一點(diǎn)，DE丄AB于點(diǎn)E,DF丄AC于點(diǎn)F,BN丄AC于點(diǎn)N,則DE,DF,EN三者的數(shù)量關(guān)系為?三、解答題（共46分）（6分）（2013.鹽城）如圖①是3x3正方形方格，將其中兩個(gè)方格涂黑，并且使涂黑后的整個(gè)圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖②中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有幾種？（6分）已知：如圖，AECE、AACD分別是以EE、AD為斜邊的直角三角形，且BE=AD,ACDE是等邊三角形.求證：AAEC是等邊三角形.答案:82.52?3?2204?105。3686?7秒或25秒7?（2,>-2）8.10°9?D10.B11.B12.B或14?關(guān)系：DE=DB,???CD=CE,???ZE=ZEDC,又???ZACB=60%???ZE=30°,又???ZDBC=30%???ZE=ZDBC,?ADB=DE15?（1）①③或②③（2）己知①②求證△ABC是等腰三角形?證：先證AEEO絲ADCO?得OE=OC,得ZDEC=ZECE?:.ZABC=ZACB?即厶ABC是等腰三角形16.（1）ADEF是等邊三角形，提示證△ADF^ABED^ACFE?即得△DEF是等邊三角形（2）AD=BE=CF成立.證略.【例題經(jīng)典】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1.在厶ABC中，AE=AC,Z1=ZABC,Z2=ZACE,BD與CE相交于點(diǎn)O,如圖，ZBOC的人小與ZA的人小有什么關(guān)系？若Z1=ZABC,Z2=ZACB,則ZBOC與ZA人小關(guān)系如何？若Z1=ZABC,Z2=ZACE,則ZBOC與ZA人小關(guān)系如何？【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過(guò)程中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，Z1=Z2,ZABD=ZACE,即可得到Z1=ZABC,Z2=ZACB時(shí)，ZBOC=90°+ZA；Z1=ZABC,Z2=ZACB時(shí)，ZBOC=120°+ZA：Z1=ZABC,Z2=ZACB時(shí),ZBOC=-180°+ZA?【點(diǎn)評(píng)】在例1圖中，若AE=AB,AD=AC?類(lèi)似上題方法同樣可證得ED=CE??上述規(guī)律仍然存在.例2?如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中線BD?將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng).【分析】要分AB+AD=15,CD+EC=6和AB+AD=6,CD+EC=15兩種情況討論?利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3?（2006年常德市）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PE、PC,?以EP為邊作ZPBQ=60°,且EQ=EP,連結(jié)CQ?（1）觀察并猜想AP與CQ之間的犬小關(guān)系，并證明你的結(jié)論?（2）若PA：PB：PC=3：4：5,連結(jié)PQ,試判斷APQC的形狀，并說(shuō)明理由.【分析】（1）把AABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60唧可得到ACEQ.?利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP^ACBQ,得到AP=CQ?（2）連接PQ,則厶PBQ是等邊三角形?PQ=PB,AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5,.?-APQC是直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明?【考點(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練TOC\o"1-5"\h\z如圖1,在厶ABC中，AB=AC,ZA=50°,BD為ZABC的平分線，則ZBDC=。?（1）（2）（3）如圖2,是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，?若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是m則六邊形的周長(zhǎng)是?3?如圖3,一個(gè)頂角為40。的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則Z1+Z2=度?（2006年煙臺(tái)市）如圖4,在等腰直角AAEC中，ZB=90°,將AABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。后得到△ABC,則ZBAC等于.（4）（5）（6）（2006年包頭市）如圖5,沿AC方向開(kāi)山修渠，為了加快施工進(jìn)度，?要在小山的另一邊同時(shí)施工.從AC上的一點(diǎn)E取ZABD=135°,ED=,ZD=45°,如果要使A、C、E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D的距離約為米（精確到）.（2006年諸亶市）等腰△ABC的底邊EC=，腰長(zhǎng)AE=,—?jiǎng)狱c(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)E開(kāi)始向點(diǎn)C以/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P?運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為如圖6,等邊△ABC,B點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\zA：?的坐標(biāo)為?（2006年江陰市）如圖7,在ZkABC中，AB=AC,ZBAD=20*°,且AE=?AD,則ZCDE=?（7）（8）（9）（2005年常州市）如圖8,在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZA=44°,CD丄AB于D,則ZDCB等于（）A?44°B.68°C.46°D?22°（2006年海南?。┤鐖D9.要在離地面處引拉線固定電線桿，?使拉線和地面成60。角，若考虎既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，則在庫(kù)存的Ll=,L2=,L3=,L4=的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（）A?LIE?L?L3D?L411?（2006年口照市）如圖10,在厶ABC中，AB=AC,D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD??則ZA等于（）A?30°E?36。C?45。D?72°(11)(10)(11)12?（2006年懷化市）同學(xué)們都玩過(guò)蹺蹺板的游戲.如圖11所示，?是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB?當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，ZOAC=25%?則當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí)，ZAOA，等于（）A?25°E?50°C?60°D?130。二、能力提升13?如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為和兩部分，求它的底邊長(zhǎng)?已知如圖△ABC是等邊三角形，ED是AC邊上的高，延長(zhǎng)EC到E使CE=CD.?試判斷DE與DE之