數(shù)解法本征值問(wèn)題課件

第九章二階常微分方程的本征值問(wèn)題級(jí)數(shù)解法§9.2常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法§9.3正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法§9.4施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題§9.1特殊常微分方程的本征值問(wèn)題§9.1特殊常微分方程的本征值問(wèn)題1.rxyz歐勒型常微分方程這是球函數(shù)方程，稱為球函數(shù)。歐拉(Euler，1707－1783)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國(guó)的彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無(wú)窮小分析引論》（1748），《微分學(xué)原理》（1755），以及《積分學(xué)原理》（1768-1770）都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支（如無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分方程等）的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函數(shù)：如果球坐標(biāo)的極軸是對(duì)稱軸，則u

與φ無(wú)關(guān)，從而m=0．在m=0的情況下，方程成為：勒讓德方程連帶的勒讓德方程Legendre：生：1752年法國(guó)巴黎。卒：1833年法國(guó)巴黎。國(guó)籍：法國(guó)勒讓德為法國(guó)著名算學(xué)家，著有測(cè)地學(xué)、最小二乘方、數(shù)論、橢圓積分與橢圓函數(shù)等論文與書籍。他也研究數(shù)論上的問(wèn)題，I830年將結(jié)果發(fā)表在《數(shù)論》中。1794年撰寫通俗但具影響力的幾何學(xué)教科書《幾何元素》，對(duì)於微積分與力學(xué)的發(fā)展有所貢獻(xiàn)。

常和拉格朗日、拉普拉斯並列為法國(guó)數(shù)學(xué)界的”3L”。他在數(shù)論（1798，1808）、橢圓函數(shù)（1832）等方面都有重要貢獻(xiàn)。在確定慧星軌道的論文（1805）中比高斯更早地發(fā)現(xiàn)了最小二乘法的原理。他的初等幾何著作《幾何原理》也很有名，在這裡他證明了π的無(wú)理性。在柱坐標(biāo)下的分離變量0=Du2.rxyzx,y,z本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函數(shù)：(1)（2）（3）貝塞爾重新訂正了《布拉德萊星表》，并加上了歲差和章動(dòng)以及光行差的改正；他編制了包括比九等星更亮的75000多顆恒星的基本星表，后來(lái)由他的繼承人阿格蘭德擴(kuò)充成著名的《波恩巡天星表》。

1837年，貝塞爾發(fā)現(xiàn)天鵝座61正在非常緩慢地改變位置，第二年，他宣布這顆星的視差是0.31弧秒，這是世界上最早測(cè)定的恒星視差之一。貝塞爾（FriedrichWilhelmBessel1784-1846）德國(guó)著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)的奠基人。1810年，貝塞爾奉普魯士國(guó)王之命在柯尼斯堡組建天文臺(tái)，并被任命為臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。3.波動(dòng)方程和運(yùn)輸方程Helmholtz方程(HermannvonHelmholtz1821～1894)德國(guó)物理學(xué)家、生理學(xué)家。1821年10月31日生于柏林的波茨坦。中學(xué)畢業(yè)后由于經(jīng)濟(jì)上的原因未能進(jìn)大學(xué)，以畢業(yè)后需在軍隊(duì)服役8年的條件取得公費(fèi)進(jìn)了在柏林的王家醫(yī)學(xué)科學(xué)院。1842年獲得醫(yī)學(xué)博士學(xué)位后，被任命為駐波茨坦駐軍軍醫(yī)，1849年他應(yīng)聘任柯尼斯堡大學(xué)生理學(xué)和普通病理學(xué)教授。1858年任海德?tīng)柋ご髮W(xué)生理學(xué)教授。1871年接替馬格諾斯任柏林大學(xué)物理學(xué)教授。1873年當(dāng)選為英國(guó)倫敦皇家學(xué)會(huì)的外國(guó)會(huì)員，被授予柯普利獎(jiǎng)?wù)隆?882年受封爵位。1887年被任命為新成立的柏林夏洛滕堡物理技術(shù)學(xué)院院長(zhǎng)。1894年9月8日在夏洛滕堡逝世。亥姆霍茲對(duì)物理學(xué)的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了能量守恒定律。他原來(lái)是研究生理學(xué)的，在對(duì)生理過(guò)程和動(dòng)物熱的來(lái)源進(jìn)行分析的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)著名化學(xué)家李比希的活力學(xué)說(shuō)有問(wèn)題。李比希認(rèn)為活的機(jī)體會(huì)從一種“活力”取得能量。亥姆霍茲認(rèn)為，如果生物機(jī)體除了從食物發(fā)熱取得能量外，還可以從某種“活力”得到能量，那么生物機(jī)體就成了永動(dòng)機(jī)。說(shuō)得通俗一點(diǎn)，就是人不吃飯也可以從“活力”中得到能量而活下去。亥姆霍茲認(rèn)為永動(dòng)機(jī)是不可能實(shí)現(xiàn)的。他把自己的觀點(diǎn)加以整理，寫成《論力的守恒》一文，送到德國(guó)《物理學(xué)年鑒》。它遭到了同邁爾論文一樣的厄運(yùn)，被主編波根道夫退了回來(lái)。1847年7月23日，亥姆霍茲在柏林物理學(xué)會(huì)的一次講演中報(bào)告了這篇論文。他全面闡述了能量守恒和轉(zhuǎn)換來(lái)表示“活力”，也就是現(xiàn)在所說(shuō)的動(dòng)能。這篇論文表明，亥姆霍茲是能量守恒定律的創(chuàng)立者之一。3.Helmholtz方程1)球坐標(biāo):半奇數(shù)階Bessel方程2）柱坐標(biāo)小結(jié)：本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函數(shù)：§9.2常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法1.標(biāo)準(zhǔn)二階線性齊次常微分方程2.勒讓德方程的級(jí)數(shù)解(3)3.收斂半徑4.勒讓德方程的本征值問(wèn)題,L多項(xiàng)式以后專門討論§9.3正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法1.奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解2.正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解若解（2）中含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則z0為方程（1）的正則奇點(diǎn)，其解為正則解。3.Bessel方程的級(jí)數(shù)解1)νBessel方程和νBessel方程函數(shù)-ν階Bessel函數(shù)ν階Bessel函數(shù)注：2)Neumann函數(shù)3)半奇數(shù)階Bessel函數(shù)諾伊曼(1903-1957)

諾伊曼（Neumann，Johnvon)，是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，于1945年提出了“程序內(nèi)存式”計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)思想。這一卓越的思想為電子計(jì)算機(jī)的邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，已成為計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的基本原則。由于他在計(jì)算機(jī)邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的偉大貢獻(xiàn)，他被譽(yù)為“計(jì)算機(jī)之父”。

諾伊曼于1903年出生于匈牙利的布達(dá)佩斯。他是一個(gè)數(shù)字神童，12歲的諾伊曼就對(duì)集合論，泛函分析等深?yuàn)W的數(shù)學(xué)領(lǐng)域了如指掌。青年時(shí)期，諾伊曼從著名數(shù)學(xué)家希爾伯特，在獲得數(shù)字博士之后，他成為美國(guó)普林斯頓大學(xué)的第一批終身教授，那時(shí)，他還不到30歲。

他精通七種語(yǔ)言，在化學(xué)方面也有相當(dāng)?shù)脑煸?，曾獲蘇黎世高等技術(shù)學(xué)院化學(xué)系大學(xué)學(xué)位。他并不僅僅局限于純數(shù)學(xué)上的研究，而是把數(shù)學(xué)應(yīng)用到其他學(xué)科中去。他對(duì)經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)和流體力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行過(guò)深入的研究，并獲得重大成果。如：同理：4)整數(shù)階Bessel函數(shù)5)Bessel方程的本征值問(wèn)題4.虛宗量Bessel方程1)ν階虛宗量Bessel方程2)m階虛宗量Bessel函數(shù)§9.4施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題1.

施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題任何含有參量λ的二階齊次常微分方程：可以化為：（1）稱為施圖姆-劉維爾型方程，加上邊界條件，則稱為施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾（J.Liouville）生：1809年3月24日在法國(guó)聖?奧蒙卒：1882年9月8日

在法國(guó)巴黎著作：(１)劉維爾數(shù)字命名：0.1100000000000000000100...(２)Sturm-Liouville理論。瑞士-法國(guó)數(shù)學(xué)家施圖姆（Charles-Fran?oisSturm）Born:

29Sept1803inGeneva,Switzerland

Died:

18Dec1855inParis,France2.邊界條件的提法3.本征值問(wèn)題的性質(zhì)(1)如k(x),k’(x),q(x)連續(xù)或者最多以x=a,x=b為一階極點(diǎn)，則存在無(wú)限多個(gè)本征值:λ1≤λ2≤λ3≤λ4≤λ5≤λ6≤…，相應(yīng)地有無(wú)限多個(gè)本征函數(shù)，

y1(x),y2