數(shù)學(xué)建模-擬合模型剖析課件

§3.2

擬合模型

與

最小二乘法

一.數(shù)據(jù)資料與數(shù)學(xué)模型數(shù)據(jù)資料數(shù)據(jù)資料是在實際問題中收集到的觀測數(shù)值。數(shù)據(jù)攜帶有實際問題大量的信息，是組建數(shù)學(xué)模型的重要依據(jù)。數(shù)據(jù)誤差觀測數(shù)據(jù)中一般都包含有誤差。正確對待和處理這些誤差是數(shù)學(xué)建模中不可回避的問題.

系統(tǒng)誤差：偏差，來自于系統(tǒng)，有規(guī)律，可避免。

隨機誤差：無偏，來自隨機因素，無規(guī)律，不可免數(shù)據(jù)獲取年鑒報表、學(xué)術(shù)刊物、網(wǎng)絡(luò)資源、實驗觀測等等2.數(shù)據(jù)資料與數(shù)學(xué)模型

數(shù)據(jù)可以為模型的設(shè)計提供信息數(shù)據(jù)也可以為模型參數(shù)的估計給出數(shù)值基礎(chǔ)數(shù)據(jù)也是檢驗?zāi)Ｐ秃侠硇缘闹匾罁?jù)

3.擬合模型10.對于情況較復(fù)雜的實際問題（因素多且不易化簡，作用機理不詳）可直接尋找數(shù)據(jù)表達(dá)的因果變量之間簡單的數(shù)量關(guān)系組建模型，從而對未知的情形作預(yù)報。這樣組建的模型稱為擬合模型。20.擬合模型的組建主要是處理好數(shù)據(jù)的誤差使用數(shù)學(xué)近似表達(dá)因果變量之間的關(guān)系。其實質(zhì)是數(shù)據(jù)擬合的精度和數(shù)學(xué)表達(dá)式簡化程度間的一個折中。折中方案的選擇將取決于實際問題的需要30.經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃筒逯的Ｐ徒?jīng)驗?zāi)Ｐ停褐饕翘接懽兞块g的內(nèi)在規(guī)律，容許出現(xiàn)一定的誤差。在簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式中選擇擬合效果好的插值模型：以數(shù)據(jù)擬合的效果為主。要求精確地擬合觀測數(shù)據(jù)，即在觀測點之間插入適當(dāng)?shù)臄?shù)值。4.其他利用數(shù)據(jù)組建的模型判別模型,主成分模型,分類模型,因子模型趨勢面模型,時間序列模型等。二.經(jīng)驗?zāi)Ｐ团c最小二乘法1.經(jīng)驗?zāi)Ｐ图捌浣M建在簡單模型中選擇擬合效果好者。例人口預(yù)測1949年—1994年我國人口數(shù)據(jù)資料如下：年份xi

49545964697479848994人數(shù)yi

5.46.06.77.08.19.19.810.311.111.8

建模分析我國人口增長的規(guī)律,預(yù)報99年我國人口數(shù)

1.在坐標(biāo)系上作觀測數(shù)據(jù)的散點圖。

2.根據(jù)散點分布的幾何特征提出模型

3.利用數(shù)據(jù)估計模型的參數(shù)

4.計算擬合效果

假設(shè)：人口隨時間線性地增加模型：y=a+bx參數(shù)估計觀測值的模型：

yi=a+bxi+εi，i=1,…,n

擬合的精度:

Q=i2=(yi-a–bxi)2,

誤差平方和最小二乘法：

求參數(shù)a和b，使得誤差平方和Q最小參數(shù)估計可以算出：a=–1.93，b=0.146模型：y=–1.93+0.146x擬合效果

年份xi49545964697479848994人數(shù)yi5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8模型5.245.976.77.438.168.909.6210.3611.0911.82誤差.16.030-.43-.06.20.18-.06.01-.02

Q1=∑ε2=0.2941

模型二：y=a+bx+cx2

y=-1.0387+0.1203x+0.0002x2

Q2=0.2832Q2=0.2832模型三人口自然增長模型

設(shè)數(shù)據(jù)滿足最小二乘法算得

擬合精度模型結(jié)論1.Q1=0.2915<0.7437=Q2.

線性模型更適合中國人口的增長。2.預(yù)報：1999年12.55億，13.43億3.人口白皮書：

2005年13.3億，2010年14億模型I2005年13.43億，2010年14.16億模型II14.94億，16.33億討論

xi49545964697479848994yi5.46.06.77.08.19.19.810.311.011.8

yi5.245.976.707.438.168.909.6210.3611.0911.820.160.030.00-0.43-0.060.200.18-0.060.01-0.02

yi5.556.066.627.237.908.649.4410.3111.2612.31-0.15–.060.08–0.230.200.460.36–.01–0.13–0.512.線性最小二乘法

模型：y=a，數(shù)據(jù)：精度：估計：模型：y=bx，數(shù)據(jù)：精度：估計：討論：模型：x=[1,2,3];y=[2.3,4,6.2]y/x=[2.3,2,2.1];b1=2.133x×y=[2.3,8,18.6];x2=[1,4,9]b2=28.9/14=2.064x123y2.346.2b1x2.1334.2666.399

1i0.167-0.266-0.199b2x2.0644.1286.192

2i

0.236-0.1280.008模型：y=a+bx，精度：估計：數(shù)據(jù)：模型：y=b1x1+b2x2，數(shù)據(jù)：精度：模型：y=a+b1x1+b2x2，數(shù)據(jù)：精度：估計：

3.直線擬合的效果（相關(guān)系數(shù)）

(模型值）4.可化簡的非線性最小二乘法10.y=a+b1f1(x)+b2f2(x)+…+bnfn(x)

令ui=fi(x),

則有

y=a+b1u1+…+bnun.20.y=aebx.

令z=lny,

則有

z=lna+bx=a*+bx.30.y=axb.

令z=lny,u=lnx,

則有

z=lny=lnａ＋blnx=a*+bu40.y=1/(a＋bx)

令z=1/y,

則有

z=1/y=a+bx.

50.y=x/(b+ax)

令z=1/y,u=1/x,

則有

z=1/y=a+b/x=a+bu60.y=(1+ax)/(1+bx)?例4.2表列數(shù)據(jù)為1977年以前六個不同距離的中短距離賽跑成績的世界紀(jì)錄.試用這些數(shù)據(jù)建模分析賽跑的成績與賽跑距離的關(guān)系。距離x(m)10020040080010001500時間t(s)9.9519.7243.86102.4133.9212.1模型:t=a+bx參數(shù):a=-9.99,b=0.145t=-9.99+0.145xQ1=82.04檢驗:當(dāng)x<68.89m時,t<0.

當(dāng)x=100m時,t=4.51s

與實際情形差距較大!

中間數(shù)值偏低模型:t=axb,令z=lnt,u=lnx,則有

z=lnt=lna＋blnx=a*+bu參數(shù):

a*=-3.0341,a=ea*=0.048,b=1.145t=0.048x1.145.Q2=23.55<82.04=Q1x10020040080010001500t

9.9519.7243.86102.4133.9212.1I4.5619.1048.20106.4135.5208.2

II9.3920.7845.96101.68131.29208.9

III

9.00

20.23

45.45

102.11

132.51

212.77

t=0.041x1.1678

Q3=6.1319討論1.經(jīng)驗?zāi)Ｐ褪潜姸嘁蛩刈饔镁C合在因果關(guān)系上的結(jié)論。會因時因地發(fā)生變化且不宜在另外的環(huán)境下套用和從機理作過多的分析。2.前面的最小二乘法實質(zhì)上是近似求解線性方程組a+xkb=yk，k=1,…,n或討論3.關(guān)于最小二乘的算法和技術(shù)手算或簡單計算器使用計算器計算xi

49545964697479848994yi

5.46.06.77.08.19.19.810.311.111.8

y=–1.93+0.146x使用excel計算:excel(左上角圖標(biāo))\選項\加載項\分析工具庫excel\數(shù)據(jù)\數(shù)據(jù)分析\回歸\

使用MATLAB計算>>x=49:5:94;y=[5.466.778.1…];>>A=[ones(10,1),x’];b=A\y’;>>z=b(1)+b(2)*x;>>plot(x,z,’b’,x,y,’r*’)4.關(guān)于最小二乘MATLAB算觀察數(shù)據(jù)(x,y)，擬合線性模型y=a+bx>>A=[ones(size(y),1),x’];>>b=A\y’

%解線性方程組>>[b,bint]=regress(y‘,A)%線性回歸>>z=b(1)+b(2).*x;>>b=polyfit(x,y,1)%擬合一階多項式>>z=b(2)+b(1).*x;>>[b,r]=nlinfit(x,y,fun,d0)

%擬合非線性函數(shù)fun要取好初值d0>>nlintool(x,y,fun,d0)%非線性擬合工具討論4.關(guān)于誤差

yk=a+bxk+k,k:縱軸誤差

yk=a+b(xk+k),k:橫軸誤差距離誤差5.關(guān)于精度

Q=i2

=(yk-a-bxk)2.Q=|i|=|yk-a-bxk|6.不規(guī)范的數(shù)據(jù)建模問題問題1.利用賽艇比賽成績的數(shù)據(jù)建模分析運動員的人數(shù)n與賽艇成績t的關(guān)系.n1248t7.1256.8786.3405.8352.P867,8*3.

生物學(xué)家認(rèn)為，正在休息的溫血動物體內(nèi)的能量就是為了保持其體溫，體內(nèi)的能量與通過心臟的血流量成正比，建立一個數(shù)學(xué)模型將通過心臟的血流量與體重聯(lián)系起來。進一步建立心搏率與體重的關(guān)系，討論你模型中的假設(shè)，并用下面數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ?。動物名體重（克）脈搏率（/分）蝙蝠4660鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072馬45000038牛50000040象300000048三.插值模型當(dāng)數(shù)據(jù)量不夠，需要補充，且認(rèn)定已有數(shù)據(jù)可信時,

通常利用函數(shù)插值方法建立插值模型.目標(biāo)：根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)(xi,yi)i=0,1,2,…,n.

尋找函數(shù)關(guān)系y=(x)

滿足yi=(xi)i=0,1,2,…,n

如果(x)在每個區(qū)間段[xi-1,xi]上是線性函數(shù)，則稱(x)是這組數(shù)據(jù)的線性插值函數(shù).

如果(x)在每個區(qū)間段[xi-1,xi]上k次多項式，且在區(qū)間(x0,xn)上(x)及其直到k-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

則稱(x)是這組數(shù)據(jù)的樣條插值函數(shù)。例4.3設(shè)一水庫將河道分為上、下游兩個河段.預(yù)測上游流量Q（t）(米3/秒)為t（時）812162430444856Q（t）360054007800920010100350025001600已知水庫中水的庫容量V(108米3)與水位高程H(米)的數(shù)值關(guān)系V23.9324.0624.2024.3324.4724.624.75H168.75168.8168.85168.9168.95169169.05降雨的開始時刻為8時,這時水位的高程為168米,水庫容量為21.9*108

米3.如果從當(dāng)日8時起,水庫一直保持每秒1000米3的泄流量,請按所給數(shù)據(jù),預(yù)報當(dāng)日20時水庫中水的庫容量與水的高程.假設(shè):1已知數(shù)據(jù)準(zhǔn)確,無誤差.2相鄰兩個時刻之間的流量變化是線性的.3相鄰兩個高程之間的水位高程對水的庫容量的變化也是線性的.建模求解：由(ti,Qi)線性插值得Q(t),到20時上游流量Q(20)=7800+4×(9200-7800)/(24-16)=8500米3/秒水庫容量(原庫存量+流入量-泄流量)到20時,V(20)=24.24*108立方米由(Vi,Hi)線性插值得H(V),于是H(t)=H(V(t)).到20時水庫水位高程H(20)=168.87米Matlab插值程序>>t=[8,12,16,24,30,44,48,56,60];>>q=[36,54,78,92,101,35,25,16,13];>>t1=8:60;>>q1=interp1(t,q,t1,'linear');>>plot(t,q,‘r*',t1,q1)>>t0=min(find(t1>=20));>>q1(t0)

水庫容量和水位高程圖插值圖、水庫容量和水位高程圖

從已知數(shù)據(jù)(xi,yj),當(dāng)x[xi,xi+1]時,可由直線方程的兩點式給出線性插值函數(shù)的表達(dá)式。如果插值函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項式，則稱是這組數(shù)據(jù)的三次樣條插值函數(shù)。多項式樣條:光滑連接起來的分段的多項式曲線。給定區(qū)間[a，b]的一個分劃若函數(shù)

Sk（x）滿足條件：(1)在節(jié)點

xi

處等于給定的數(shù)值yi=Sk(xi)（i=0,1,…,n）(2)在每個子區(qū)間[xi-1,xi],(i=1,2,…,n)上是

k次多項式(3)Sk(x)及其直到

k-1階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。則稱

Sk(x)是關(guān)于分劃Δ的一個

k次多項式樣條函數(shù)。稱

x0,x1,…,xN為樣條節(jié)點，稱

x1，x2,…,xN-1為內(nèi)節(jié)點，稱

x0,xN為邊界點。這種方法既保留了低次多項式插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性，所以有廣泛的應(yīng)用。為了構(gòu)造具體的

k次多項式樣條函數(shù)，引入如下記法：稱

x+k為

k次半截冪函數(shù)。特別，當(dāng)

k=0時，是單位階躍函數(shù)。不難看出，函數(shù)是一個階梯函數(shù)，為了提高樣條函數(shù)的光滑度，對

S0(x)積分

k次，得到一個新的函數(shù)

Sk(x)稱為

k次樣條函數(shù)

例4.4山地高程繪圖（1994