第五章-大數(shù)定律與中心極限定律1課件

大數(shù)定律

中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1

大數(shù)定律定義記為設(shè)是一個隨機(jī)變量序列，a是一個常數(shù)，若對任意>0,有或則稱隨機(jī)序列依概率收斂于a或定理1（貝努利大數(shù)定律）設(shè)

Xn(n=1,2,…)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列,且P{Xn=1}=pP{Xn=0}=q0<p<1,p+q=1則對任意>0,有注：通常令則定理的結(jié)論可寫成或證：根據(jù)切比雪夫不等式，有因為所以設(shè)n是n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，令顯然n=X1+X2+...+Xn=因此，貝努利大數(shù)定律也可寫為第i次試驗出現(xiàn)A第i次試驗不出現(xiàn)Ap是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，貝努利大數(shù)定律說明，事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率p，在實際應(yīng)用中，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，用頻率來代替概率.（常常還需要考慮在n次獨(dú)立試驗中,事件A發(fā)生的概率pk隨試驗次數(shù)k的變化而變化.對這種情況，有下面的定理）定理2（泊松大數(shù)定律）設(shè)

Xn(n=1,2,…)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且P{Xn=1}=pnP{Xn=0}=qnpn+qn=1則對任意>0,有或證：根據(jù)切比雪夫不等式，有因為所以(前面兩個定理說明，只要則大數(shù)定律就成立，下面的定理說明了這一點(diǎn))當(dāng)n充分大時能任意地小，的方差定理3（切比雪夫大數(shù)定律）上界，即

D(Xn)=n2≤C<+，(n=1,2,…)則對任意>0,有或設(shè)

Xn(n=1,2,...)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們的期望方差都存在，并且方差有共同的由切比雪夫不等式得：證：當(dāng)n時

切比雪夫大數(shù)定律表明，對于獨(dú)立隨機(jī)序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的

概率接近于1.

隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時，差不多不再是推論：

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,則對任給

>0,(前面三個定理都是假定方差存在且一致有界,但在許多問題中,往往不能滿足上面的要求,僅知道獨(dú)立同分布)注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊定理4（辛欽大數(shù)定律）

若E(Xi)=a，(i=1,2,…)則對任意的>0，有

設(shè)

Xn(n=1,2,...)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，情況.辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.提供了一條實際可行的途徑.例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時，可用它作為整個地

強(qiáng)大數(shù)定律簡介定義記為設(shè)是一個隨機(jī)變量序列，a是一個常數(shù)，若或稱以概率為1收斂于a或則稱幾乎處處收斂于a定理5（波雷爾強(qiáng)大數(shù)定律）設(shè)

X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且P{Xn=1}=pP{Xn=0}=q0<p<1,p+q=1則注：波雷爾得到比貝努利大數(shù)定理更強(qiáng)的結(jié)果.§5.2中心極限定理在概率論中,設(shè)

Xn(n=1,2,…)是一些隨機(jī)變量,如果

求X1+X2+...+Xn的分布,除了若干例外,一般算起來很復(fù)雜,因此自然會提出問題:能否利用極限的方法進(jìn)行近似計算?事實證明,這不僅可能,而且更有利的是,在很一般的情況下,和的極限分布就是正態(tài)分布.這增加了正態(tài)分布的重要性.(在概率論中,習(xí)慣上把和的極限分布收斂于正態(tài)分布的那一類定理稱為中心極限定理)設(shè)

Xn(n=1,2,…)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,定義假定EXk,DXk都存在,令(Yn

是

的標(biāo)準(zhǔn)化)若對于xR,一致地有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從中心極限定理中心極限定理是研究使成立的條件

如果一個量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.（Levy-Lindberg定理）定理1E(Xi)=

，D(Xi)=

2

，i=1,2,…，則隨機(jī)（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）設(shè)Xn(n=1,2,...)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且變量序列{Xn}服從中心極限定理即這里定理1表明，無論Xn(n=1,2,...)服從什么分布,只要獨(dú)立同分布,當(dāng)n充分大時，N(0,1)~近似例1、根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由所給條件可知，Xi之間相互獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1P(Y1920)

=1

(0.8)1=1

0.7881=0.2119=1定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)設(shè)隨機(jī)序列Xn(n=1,2,…)

獨(dú)立同分布，且P{Xk=1}=p,P{Xk=0}=q,(k=1,2,...)其中0<p<1,p+q=1則隨機(jī)序列{Xn}服從中心極限定理即這里(這是因為,隨機(jī)變量Xn可以分解為n個相互獨(dú)立的定理2是最早的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1,2,…)

服從參數(shù)為n,p(0<p<1),則對任意x，有q=1p的二項分布定理2的另一種表達(dá)方式顯然,定理2是定理1的特殊情況且均服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和)

定理2表明，當(dāng)n很大時,可以用正態(tài)分布去

近似二項分布.

第二章的泊松定理表明，也可以用泊松分布去近似二項分布.

當(dāng)n很大，0<p<1是一個定值時,

(當(dāng)p很小,np不很大時,用泊松近似較好當(dāng)p固定

,n很大,

即np很大時，用正態(tài)近似較好)(或者說，np也很大時)，二項分布近似正態(tài)分布

N(np,np(1p)).推論：設(shè)隨機(jī)變量n(n

=1,2,…)

服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布,說明：這個公式給出了n較大時二項分布的概率計算方法。當(dāng)n

充分大時有：例2某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)

(2)np=20npq=16根據(jù)中心極限定理,有

P{14≤X≤30}≈

=(5/2)(3/2)=0.99371+0.9331=0.9268解:(1)X～B(100,0.2)且不多于30戶的概率的近似值(2)

利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶(1)

寫出X的概率分布例3

某單位有1000臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時間要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？解：設(shè)有X臺分機(jī)同時使用外線，則有設(shè)安裝N條外線,由題意有由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得因此有查表得故取即所以至少安裝62條外線例4某車間有200臺車床，它們獨(dú)立地工作著，開工率為0.6,開工時耗電各為1千瓦，問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。解：設(shè)至少要供給這個車間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。由題意有：設(shè)某時在工作著的車床數(shù)為X,則即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。例5.現(xiàn)有一批種子，其中良種占1/6。今任取6000粒，問能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差不超過多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個范圍內(nèi)？解：由德莫佛-拉普拉斯定理設(shè)良種數(shù)為X,則X~B(n,p)其中設(shè)不超過的界限為,則應(yīng)有故近似地有良種粒數(shù)X的范圍為即查表得解出即例6設(shè)X1,X2,...,X48為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且均服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布,令求解:顯然,X1,X2,...,X48滿足定理1的條件,且EXi=

DXi=(i=1,2,...,48)則有容易算出所以

切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的

概率接近于1.

隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時，差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述用頻率估計概率時誤差的估計：由上面的定理知用