線性代數(shù) 行列式展開

第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.6

在n階行列式D中,

(k階)子式N任選k行k列相交處元素構(gòu)成的行列式.(N的)余子式M劃去N所在行列后,剩余元素構(gòu)成的行列式.

一、余子式與代數(shù)余子式第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月(N的)代數(shù)余子式AM帶上N的符號N所在的行N所在的列第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例如:四階行列式

D的2階子式N的余子式N的代數(shù)余子式2110111111320121---=D1113=MMA-=-=+++111314131）（）（）（第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2110111111320121---=D再如:四階行列式

D的1階子式余子式代數(shù)余子式21111111311--=M12211111113)1(111111-=--=-=+MA第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2110111111320121---=D

D的1階子式余子式代數(shù)余子式21011111212--=M9210111112)1(122112=---=-=+MA第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2110111111320121---=D21011113213-=M5210111132)1(133113-=-=-=+MA

D的1階子式余子式代數(shù)余子式第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2110111111320121---=D

D的1階子式余子式11011113214-=M2110111132)1(144114-=--=-=+MA代數(shù)余子式第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月n階行列式D等于它的任意一行(列)各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即二、n階行列式展開定理定理1.3按行展開第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月或按列展開注意

按某行（列）展開，是降階簡化計算行列式的重要方法，特別適用于某行（列）零元較多的情形。第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例解（1）直接按第一行展開計算2110111111320121---=D1414131312121111AaAaAaAaD+++=第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月3121010001431110---=2110111111320121---=D（2）先化簡再展開321043110--=3210431101133---=+））（（11=第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例計算范德蒙行列式解從第n行開始，依次減去上一行的倍。第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月得第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月按第一列展開后，從每列提取一個公因式得原行列式與低一階的范德蒙行列式間的關(guān)系第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月依此類推，可得第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)計算行列式解2764812591642534251111=D）（）（）（）（）（）（343242354525-×-×-×-×-×-=D第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.4（拉普拉斯定理）若在n階行列式D中，任意選取k行k列，這樣組成的所有k階子式其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式D的值。（證略）第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

三、小結(jié)與思考第21頁，課