高中數(shù)學(xué)選修2-3題型總結(jié)與強(qiáng)化訓(xùn)練：第九講統(tǒng)計案例

高中數(shù)學(xué)選修2-3題型總結(jié)與強(qiáng)化訓(xùn)練：第九講統(tǒng)計案例

第九講統(tǒng)計案例一、回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析是一種常用的統(tǒng)計分析方法，用于分析兩個相關(guān)變量之間的關(guān)系。其基本步驟包括繪制散點(diǎn)圖、求解回歸方程和使用回歸方程進(jìn)行預(yù)測。線性回歸模型是一種常見的回歸分析模型，其方程為y=bx+a+e。其中，自變量x是解釋變量，因變量y是預(yù)測變量，e是隨機(jī)誤差。回歸直線的斜率估計值b表示當(dāng)x增加一個單位時，y平均增加的單位數(shù)?？坍嫽貧w效果的方式包括R2和殘差圖。R2越接近1，表示回歸效果越好；殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高。殘差平方和越小，模型的擬合效果越好。二、獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用獨(dú)立性檢驗是一種用隨機(jī)變量K來判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的方法。分類變量是指不同值表示個體所屬不同類型的變量。列聯(lián)表是兩個分類變量的頻數(shù)表，常用2×2列聯(lián)表來表示。如果兩個分類變量沒有關(guān)系，應(yīng)滿足ad-bc≈0，因此|ad-bc|越小，關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)。等高條形圖是一種展示列表數(shù)據(jù)頻率特征的圖形，可以更直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響。(2)公式：$K=\frac{(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$為樣本容量。【知識運(yùn)用】題型一：概念辨析【例1】有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程$y\hat{}=bx\hat{}+a$可以估計觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗。其中正確命題的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4【答案】C①反映的正是最小二乘法思想，故正確。②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確。③解釋的是回歸方程的作用，故也正確。④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系?！咀兪健?．在對兩個變量$x$，$y$進(jìn)行線性回歸分析時，有下列步驟：①對所求出的回歸直線方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)$，$i=1,2,\ldots,n$；③求線性回歸方程；④求相關(guān)系數(shù)；⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖。如果根據(jù)可行性要求能夠作出變量$x$，$y$具有線性相關(guān)的結(jié)論，則在下列操作順序中正確的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①解析：選D。對兩個變量進(jìn)行回歸分析時，首先收集數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)$，$i=1,2,\ldots,n$，根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖。觀察散點(diǎn)圖的形狀，判斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，求相關(guān)系數(shù)，寫出線性回歸方程，最后依據(jù)所求出的回歸直線方程作出解釋；故正確順序是②⑤④③①，故選D。題型二：線性回歸模型【例2】一臺機(jī)器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些會缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：|轉(zhuǎn)速$x$(轉(zhuǎn)/秒)|每小時生產(chǎn)缺損零件數(shù)$y$(件)||--------------|--------------------------||16|11||14|9||12|8||8|5|（1）作出散點(diǎn)圖；（2）如果$y$與$x$線性相關(guān)，求出回歸直線方程；（3）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（結(jié)果保留整數(shù)）附：線性回歸方程$y\hat{}=bx\hat{}+a$中，$b=\frac{\sum\limits_{i=1}^nxy-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx\sum\limits_{i=1}^ny}{\sum\limits_{i=1}^nx^2-\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^nx)^2}$，其中$x,y$為樣本平均值，$a=\overline{y}-b\overline{x}$。【例3-1】為研究重量x（單位：克）對彈簧長度y（單位：厘米）的影響，對不同重量的6個物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：|x|y||---|---||5|7.25||10|8.12||15|8.95||20|9.90||25|10.9||30|11.8|（1）作出散點(diǎn)圖，并求回歸方程：根據(jù)數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖如下：根據(jù)最小二乘法，求得回歸方程為：y=0.3625x+6.4375（2）求相關(guān)指數(shù)R，并判斷模型的擬合效果：相關(guān)指數(shù)R為0.985，說明模型的擬合效果較好，變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。組別鉛中毒病人對照組總計陽性數(shù)29938陰性數(shù)72835總計363773圖中陰影部分表示鉛中毒病人和對照組中尿棕色素為陽性的比例。從圖中可以看出，鉛中毒病人中尿棕色素為陽性的比例明顯高于對照組，可以認(rèn)為鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有一定的關(guān)系。一、鉛中毒與尿棕色素陽性的關(guān)系通過圖形可以明顯看出鉛中毒病人與對照組中尿棕色素陽性的頻率存在差異，因此可以得出鉛中毒與尿棕色素陽性有關(guān)系的結(jié)論。二、性格類型與考前心情緊張的關(guān)系對高三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，在性格內(nèi)向的學(xué)生中有較高比例的人在考前心情緊張，而在性格外向的學(xué)生中則有較低比例的人在考前心情緊張。因此可以得出考前心情緊張與性格類型有關(guān)的結(jié)論。三、學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作態(tài)度的關(guān)系通過對某班50名學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗，得出K值為11.5，大于臨界值10.828，因此可以有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作態(tài)度存在關(guān)系。其中，積極參加班級工作的學(xué)生概率為24/50，不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生概率為19/50。某中學(xué)將100名高一新生分成甲、乙兩個平行班，每班50人。陳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班級進(jìn)行教改實(shí)驗。為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，作出莖葉圖。記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”。(1)在乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個，求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率。解：本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取兩個，包含的基本事件是：(86,93)、(86,96)、(86,97)、(86,99)、(93,96)、(93,97)、(93,99)、(96,97)、(96,99)、(97,99)、(99,99)，共有15種結(jié)果。符合條件的事件數(shù)是(93,96)、(93,97)、(93,99)、(96,97)、(96,99)、(97,99)共有6種結(jié)果。根據(jù)等可能事件的概率得到P=6/15=2/5。(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)。解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，計算得隨機(jī)變量K的觀測值為3.137。由于3.137>2.706，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)。【變式】某市教育局邀請教育專家深入該市多所中小學(xué)，開展聽課、訪談及隨堂檢測等活動。他們把收集到的180節(jié)課分為三類課堂教學(xué)模式，教師主講的為A模式，少數(shù)學(xué)生參與的為B模式，多數(shù)學(xué)生參與的為C模式，A、B、C三類課的節(jié)數(shù)比例為3∶2∶1。(1)為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統(tǒng)課堂模式，B、C統(tǒng)稱為新課堂模式。根據(jù)隨堂檢測結(jié)果，把課堂教學(xué)效率分為高效和非高效。根據(jù)檢測結(jié)果統(tǒng)計得到如下2×2列聯(lián)表（單位：節(jié)）：新課堂模式傳統(tǒng)課堂模式總計高效6040100非高效305080總計9090180(2)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“課堂教學(xué)效率”與“課堂教學(xué)模式”有關(guān)。解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算得到隨機(jī)變量K的觀測值為1.542。由于1.542<2.706，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下不能認(rèn)為“課堂教學(xué)效率”與“課堂教學(xué)模式”有關(guān)。1.根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布情況，可以判斷變量x，y具有相關(guān)的關(guān)系。因此選D。2.由題意可知，相應(yīng)的回歸直線的斜率應(yīng)為正，且直線必過點(diǎn)(3,3.5)。代入選項A和B，發(fā)現(xiàn)只有A符合條件。因此選A。3.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以得出k>3.841，因此可以有把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的百分比為95%。因此選B。4.首先根據(jù)選取的數(shù)據(jù)，可以得到以下三組數(shù)據(jù)：(10,23)，(12,26)，(8,16)。根據(jù)公式可以求出回歸方程為y=2.4x+0.4。接下來使用剩下的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，代入公式計算得到誤差分別為1.2和1.6，均不超過2。因此可以認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的。5.根據(jù)已有的數(shù)據(jù)可以得到回歸方程為y=2.4x+0.4。代入x=14，可以預(yù)測發(fā)芽數(shù)為y=34.2。根據(jù)公式求得，b的值為-3，因此y關(guān)于x的線性回歸方程為y?=x-3。另外，當(dāng)x=10時，y?=17；當(dāng)x=8時，y?=32，說明該研究所得到的線性回歸方程是可靠的。當(dāng)溫差為14℃時，預(yù)測發(fā)芽數(shù)約為32顆。下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖：（1）由折線圖可知，y與t之間的相關(guān)系數(shù)r為0.99，說明二者之間的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系。（2）根據(jù)附注中的參考數(shù)據(jù)，得到t的值為4，y的值為9.32，斜率b的值為0.10，截距a的值為0.92。因此，y關(guān)于t的回歸方程為y?=0.92+0.10t。將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得到預(yù)測值為1.82億噸，即預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸。（3）本次抽取的樣本數(shù)據(jù)中有30天在供暖季，其中8天為重度污染。根據(jù)這個數(shù)據(jù)，可以完成下面的2×2列聯(lián)表，用于判斷本市本年空氣重度污染是否與供暖有關(guān)，能否有95%的把握認(rèn)為有關(guān)。供暖季非供暖季合計非重度污染226385重度污染8715合計3070100根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可以求得K的觀測值k=10.828，而P(K2≥k)=0.005<0.05，因此有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)。（10）觀察表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)使用年數(shù)與平均價格之間存在一定的關(guān)系。為了更好地分析這種關(guān)系，可以作出散點(diǎn)圖。從散點(diǎn)圖中可以看出，平均價格與使用年數(shù)之間具有