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北京四中2014-2015學(xué)年下學(xué)期高一年級期中數(shù)學(xué)試卷后有答案
北京四中2014-2015學(xué)年下學(xué)期高一年級期中數(shù)學(xué)試卷試卷分為兩卷,卷(I)100分,卷(II)50分,共計150分??荚嚂r間:120分鐘。卷(I)一、選擇題:(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.若實數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式一定成立的是()A.a^2<b^2B.1/a<1/bC.a^2>b^2D.a^3>b^32.等差數(shù)列{an}中,若a2=1,a4=5,則{an}的前5項和S5=()A.7B.15C.20D.253.不等式(1/x-1)>1的解集為()A.{x>1}B.{x<1}C.{x>2}D.{x<2}4.△ABC中,三邊a,b,c的對角為A,B,C,若B=45°,b=23,c=32,則C=()A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.30°5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),則a5=()A.32B.31C.16D.156.等差數(shù)列{an}中,an=6-2n,等比數(shù)列{bn}中,b5=a5,b7=a7,則b6=()A.42B.-42C.±42D.無法確定7.△ABC中,若∠ABC=π/2,AB=2,BC=3,則sin∠BAC=()A.4/5B.3/10C.5/10D.1/108.計算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的,所謂二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”,如(1101)2表示二進(jìn)制的數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13,那么將二進(jìn)制數(shù)(11...1)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是(){共9位}A.512B.511C.256D.2559.不等式①x2+3>3x;②a2+b2≥2(a-b-1);③ba+≥2,其中恒成立的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③10.臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A.0.5小時二、填空題:(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11.不等式x2+x-2<0的解集為_________。解:(-2,1)12.遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,a3=a2/2,a5=3,則a6=_________。解:51.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n^2-9n,第k項滿足5<ak<8,則k=()答案:C解析:由題意得,an=Sn-Sn-1=n^2-9n-(n-1)^2+9(n-1)=2-7n,因此5<ak<8轉(zhuǎn)化為5<2-7k<8,解得k=7。2.已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+3/11,β=b+4/11,則α+β的最小值為()答案:B解析:由題意得,α+β=a+b+7/11=18/11,因此最小值為18/11÷2=9/11。3.△ABC中,三邊a,b,c的對角為A,B,C,若C=120°,c=2a,則a和b的大小關(guān)系為()答案:B解析:由正弦定理得,b/sinB=c/sinC=2a/sin120°=2a×2/√3,因此b=4a/√3,即a:b=1:4/√3>1。4.不等式xx<x的解集為___________。答案:x<0或x>1解析:將不等式化簡得x(x-1)<0,解得x<0或x>1。5.△ABC中,三邊a,b,c的對角為A,B,C,若a,b,c成等差數(shù)列,則角B的最大值為_________。答案:60°解析:設(shè)公差為d,則b=a+d,c=a+2d,由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4,因此角B的最大值為60°。6.數(shù)列{an}的通項公式為an=n*cos(π/2+nπ),其中n為正整數(shù)。7.(I)在△ABC中,由勾股定理得AC=5。根據(jù)題意,AD=4/5*AC=4,DC=1/5*AC=1,所以BD=BC-CD=2。(II)在△CBD中,由正弦定理得sin∠CBD=BD/BC=2/3。8.(I)設(shè)等比數(shù)列{bn}的通項公式為b1*q^(n-1),則由題意得b2+b1*q=12,解得q=6/5。設(shè)等差數(shù)列{an}的通項公式為a1+(n-1)*d,則由等差數(shù)列前n項和公式得Sn=n/2*(2a1+(n-1)*d),代入已知條件得S2=2a1+3d=12-b2,代入b2的通項公式得2a1+3d=12-(3/5)a1,解得a1=15/7,d=6/7,所以an=15/7+(n-1)*6/7,bn=(6/5)^(n-1)。(II)根據(jù)題意,S1+S2+...+Sn=(-1)^(n-1)*(n/2)*(3n-1),代入已知條件得111/(S1*S2*...*Sn)=111/(n*(n+1)/2*(15/7+6n/7)*(6/5)^(n-1)),化簡得111/(S1*S2*...*Sn)=5*(3/2-2/(5^n)),所以S1*S2*...*Sn=111/(5*(3/2-2/(5^n))),由于bn>0,所以Tn=S1*S2*...*Sn*b1*b2*...*bn>0,即111/(5*(3/2-2/(5^n)))*(6/5)^(n*(n-1)/2)>0,解得n<=5或n>=6,所以x的取值范圍為(-∞,0)和(3,∞)。解:根據(jù)題意,我們對文章進(jìn)行格式、內(nèi)容上的修改:解題過程:(II)解:由已知,得:$$\begin{aligned}a_4&=a_{4+m}\\a_{4+m}&=a_{4+n}\end{aligned}$$因此$a_{4+n}=a_4$,即$2m+4=4(2n+4)$,化簡得$n=\frac{1}{2}(m+2)^2-2$。又因為$f(x)=\frac{1}{(x+2)^2-2}$,所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。又知$f(1)=\frac{5}{3}$,$f(2)=\frac{6}{7}$,因此$m=2$時,$n$有最小值$6$。(I)由余弦定理,得:$$\begin{aligned}\cosC&=\frac{3}{5}\\\sinC&=\frac{4}{5}\\BD^2&=BC^2+CD^2-2BC\cdotCD\cdot\cosC=3^2+1^2-2\cdot3\cdot1\cdot\frac{3}{5}=\frac{10}{5}\\BD&=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\\sin\angleCBD&=\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{4\sqrt{10}}{25}\end{aligned}$$(II)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,得:$$\begin{aligned}a_n&=3n\\b_n&=3^n\end{aligned}$$又因為$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn=\frac{3+n\cdot3}{2}\cdotn=\frac{3n^2+3n}{2}$,$b_2+S_2=12$,因此$q=3$,$d=3$。所以$a_n=3n$,$b_n=3^{n-1}$。因此:$$\begin{aligned}S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=-\frac{3(3^n-1)}{2}\end{aligned}$$(III)由題意,得$c_n=x(-1)^{n-1}$,因此$c_n$是首項為$x$,公比為$-1$的等比數(shù)列。又因為$T_n=\frac{c_1(1-(-1)^n)}{1-(-1)}=x(1-(-1)^n)$,所以$1\leqT_n=\frac{x(1-(-1)^n)}{3}\leq3$。因此,$1\leqx(1-(-1)^n)\leq9$,即$\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{1-(-1)^n}$。當(dāng)$n$為偶數(shù)時,有:$$\begin{aligned}\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}\leq\frac{x}{n}\leq2\end{aligned}$$因此,$x$的取值范圍為$\left[\frac{2n}{3},2n\right]$。注意:文章中修改過程中,有些地方需要加上符號,例如分?jǐn)?shù)線、正負(fù)號等,需要注意細(xì)節(jié)。根據(jù)題意,當(dāng)$x\leq4$時,有$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$,即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$。因為$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$都是常數(shù),所以當(dāng)$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}$時,$x$的取值范圍為$1<x\leq3$;當(dāng)$\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$時,$x$的取值范圍為$3\leqx<4$。因此,當(dāng)$n$為偶數(shù)時,當(dāng)$1<x\leq3$時,對任意$n\inN^*$,$T_n\in[1,3]$恒成立。當(dāng)$n$為奇數(shù)時,有$1\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$,即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$。因為$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$都是常數(shù),所以當(dāng)$\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}
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