大學(xué)物理-第三章課件

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轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。3

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)平面角位移

角坐標(biāo)<0q0>q規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

角速度矢量

方向：右螺旋參考方向角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)向可用角速度的正負(fù)來(lái)表示。3.2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能M剛體的動(dòng)能：ri任一小質(zhì)元?jiǎng)幽埽嘿|(zhì)量連續(xù)分布：I－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（rotationalinertia）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

1計(jì)算公式－質(zhì)量不連續(xù)分布－質(zhì)量連續(xù)分布－線分布λ＝m/l－面分布σ＝m/S－體分布ρ＝m/V2

決定I的三要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置O′O

解

設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′為處的質(zhì)量元

例1

一質(zhì)量為、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

.O′O如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒例2圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例3圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlOmROmrdrR3

平行軸公式P

質(zhì)量為m的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO圓盤對(duì)P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：O均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

4

(薄板)垂直軸公式ML

求對(duì)圓盤的一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知

yx

z

圓盤

R

C

mx,y軸在薄板內(nèi)；z

軸垂直薄板。zxyAm,

lm,Rω

系統(tǒng)由一細(xì)桿和一圓盤組成，求繞過(guò)A點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。課后思考下圖中的

J

如何求？zlDmCaazm3.3力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律P*O

:力臂

剛體繞

Oz

軸旋轉(zhuǎn)

,力

作用在剛體上點(diǎn)

P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)

P的徑矢

.

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z

的力矩

一力矩(momentofforce)

O

1）若力

不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為代數(shù)和）

其中

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩說(shuō)明力是連續(xù)分布的：xLOMy例已知棒長(zhǎng)L,質(zhì)量M

，在摩擦系數(shù)為的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)解根據(jù)力矩xdxTT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算求摩擦力對(duì)y軸的力矩3）

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二轉(zhuǎn)動(dòng)定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)

與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比

.

轉(zhuǎn)動(dòng)定律OI的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度

.與牛二定律相比，有：M相應(yīng)F

，I相應(yīng)

m

，

相應(yīng)

a(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區(qū)別例4求一輕繩繞在半徑

r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見(jiàn)圖)

例5

質(zhì)量為

的物體

A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為

R、質(zhì)量為

的圓柱形滑輪

C，并系在另一質(zhì)量為

的物體

B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).（1）兩物體的加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體

B

從

再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為ABCABCOO

解

（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率ABC（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)定律結(jié)合（1）中其它方程圓盤以

0

在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng),受摩擦力而靜止解例6求到圓盤靜止所需時(shí)間取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩R

例7

一長(zhǎng)為

質(zhì)量為

勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈

O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解

細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得3.4力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩的功一力矩的功

力的空間累積效應(yīng)

力的功,動(dòng)能,動(dòng)能定理.力矩的空間累積效應(yīng)力矩的功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,動(dòng)能定理.

力矩的功率：(2)力矩的功就是力的功(3)內(nèi)力矩作功之和為零說(shuō)明(1)合力矩的功二轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量

.剛體重力勢(shì)能：質(zhì)心位置剛體的機(jī)械能：對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立例1

一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸

O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置解由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求它由此下擺

角時(shí)的

此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解OlmCxRhm'mm

和、分別為圓盤終了和起始時(shí)的角坐標(biāo)和角速度.

例2

一質(zhì)量為

、半徑為

R

的圓盤，可繞一垂直通過(guò)盤心的無(wú)摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m

的物體.問(wèn)物體在靜止下落高度

h

時(shí)，其速度的大小為多少?設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)

.

解

拉力

對(duì)圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉力

的力矩所作的功為m物體由靜止開始下落解得并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理m3.5角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

力矩的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理.

力的時(shí)間累積效應(yīng)沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理.

一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（angularmomentumofaparticle）角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要的物理量，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用。

LmOpr·

質(zhì)點(diǎn)m對(duì)慣性系中的固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定義為：?jiǎn)挝唬簁gm2/s大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）動(dòng)量矩Lrvm·O質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量的大小為:方向圓面不變。同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，其角動(dòng)量卻可以隨固定點(diǎn)的不同而改變。例如：方向變化方向豎直向上不變OlO錐擺m

作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)

O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.二質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理（微分形式）質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理（積分形式）稱沖量矩（角沖量），用H表示——力矩對(duì)時(shí)間的積累作用。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)O

，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.—質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理錐擺的角動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)：合力矩不為零，角動(dòng)量變化。對(duì)O點(diǎn)：合力矩為零，角動(dòng)量大小、方向都不變。（合力不為零，動(dòng)量改變?。㎡lO錐擺m三質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律──角動(dòng)量守恒定律（LawofConservationofAngularMomentum）(2)通常對(duì)有心力：例如由角動(dòng)量守恒可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律(1)角動(dòng)量守恒是物理學(xué)基本定律之一，它不僅適用宏觀體系，也適用微觀體系，且在高速低速范圍均適用說(shuō)明m行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積過(guò)O點(diǎn),M=0,角動(dòng)量守恒

例1

一半徑為R的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A(該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心O的水平面上),然后從A點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn)B時(shí)對(duì)環(huán)心O的角動(dòng)量和角速度.

解

小球受重力和支持力作用,支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理考慮到得由題設(shè)條件積分上式當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心4R時(shí)，以速度v

0發(fā)射一解引力場(chǎng)（有心力）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒例2

發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為M、半徑為R的行星，質(zhì)量為m的儀器。要使該儀器恰好掠過(guò)行星表面

求θ角及著陸滑行的初速度多大？1

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O四剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律，則若

在沖擊等問(wèn)題中常量說(shuō)明

有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.自然界中存在多種守恒定律

動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水思考:溫室效應(yīng)對(duì)地球自轉(zhuǎn)的影響貓的下落（A）貓的下落（B）

觀察表明，貓從高處掉下，受傷程度隨高度增加而減少，據(jù)報(bào)導(dǎo)，有貓從32層樓掉下，也僅有胸腔和一顆牙齒有輕微損傷。為什么？

貓下落時(shí)，身體無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，總角動(dòng)量為零。尾巴一甩而具有角動(dòng)量，據(jù)角動(dòng)量守恒，身體須反轉(zhuǎn)，產(chǎn)生反向角動(dòng)量。另外貓很靈活，它在甩尾時(shí)能調(diào)節(jié)身體各部位，使身體快速轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣，四肢朝下先著地，不會(huì)傷害身體其它部位。

圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒

.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒

.子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)思考

例3

一長(zhǎng)為

l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)

.一質(zhì)量為、速率為

的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問(wèn)子彈的初速率為多少

?解把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng)，子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒

.m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸均質(zhì)圓盤（水平）R例4

如圖示，求：碰撞后的瞬刻盤

P轉(zhuǎn)到

x軸時(shí)盤

解：m下落：(1)mPhv對(duì)（m+盤），碰撞中重力對(duì)O軸力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，θ

=60系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：

(3)

對(duì)（m+