2023年上海高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)

2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試

上海數(shù)學(xué)試卷〔理工農(nóng)醫(yī)類〕

一、填空題

1.計(jì)算：lim"+20=___

I-3〃+13

【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)列極限的運(yùn)算.

【考查方式】給出了數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)極限運(yùn)算法那么算出極限.

【難易程度】容易

【參考答案】-

3

1+20

【試題解析】根據(jù)極限運(yùn)算法那么，lim3上型■=lim―a=1.

n—>oo3〃+13勺,133

2.設(shè)meR,加2+/〃—2+（，”2—］）i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，那么加=

【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)的根本概念.

【考查方式】給出復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的根本概念算出m的值.

【難易程度】容易

【參考答案】m=-2

【試題解析】卜":"T=°nm=-2.

加2_］彳0

X2V?XX

3.假設(shè),=，那么x+y=______.

-11y-y

【測(cè)量目標(biāo)】行列式的初步運(yùn)算.

【考查方式】給出行列式，由行列式的運(yùn)算法那么計(jì)算出x+y的大小.

【難易程度】容易

【參考答案】0

【試題解析】f+y2=—2盯二%+丁二。.

4.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c,假設(shè)3/+2出?+3/一3c?=0,那么

角C的大小是.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【測(cè)量目標(biāo)】余弦定理，反三角函數(shù).

【考查方式】利用余弦定理解出角C,再用反三角函數(shù)值表示.

【難易程度】中等

【參考答案】C=TT-arccos，

3

9

【試題解析］3?2+2ab+3b2-3c2=0^c2=a2+b2+-ab,

3

故cosC=——,C=TI-arccos—.

33

5.設(shè)常數(shù)aeR,假設(shè)（小+0）的二項(xiàng)展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為一"，那么。=

【測(cè)量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.

【考查方式】根據(jù)某一項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出未知量的值.

【難易程度】容易

【參考答案】一2

【試題解析】7；句=（2；（/）5-，（與，,2（5—「）一「=7=〃=1,故?；4=-10=。=一2.

x

31

6.方程-—+-=3'T的實(shí)數(shù)解為______.

3V-13

【測(cè)量目標(biāo)】指數(shù)方程.

【考查方式】給出了指數(shù)方程，化簡(jiǎn)求值.

【難易程度】容易

【參考答案】x=log34

2t

【試題解析】原方程整理后變?yōu)?-2?3、-8=0=3'=4nx=log34.

7.在極坐標(biāo)系中，曲線P=cos6+l與pcos6=l的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為

【測(cè)量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程，兩點(diǎn)間的距離公式.

【考查方式】給出參數(shù)方程，聯(lián)立方程組得到兩點(diǎn)的距離.

【難易程度】容易

【參考答案】上述

2

【試題解析】聯(lián)立方程組得。（P一l）=】n/?=與后（步驟1）,

又夕…0,故所求為一^.（步驟2）

8.盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，那么這兩

個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.

【測(cè)量目標(biāo)】古典概型，隨機(jī)事件的的概率

【考查方式】所求事件為一個(gè)隨機(jī)事件，利用隨機(jī)事件概率的求法求出答案

【難易程度】容易

13

【參考答案】—

18

C213

【試題解析】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為1-二=巴.

C：18

9.設(shè)AB是橢圓廠的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在廠上，且NC84='，假設(shè)A8=4,BC=6,那么廠

4

的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為.

【測(cè)量目標(biāo)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì).

【考查方式】寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其性質(zhì)求出焦點(diǎn)間的距離.

【難易程度】容易

【參考答案】2c二蛔

3

22

【試題解析】不妨設(shè)橢圓，的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+與=1,于是可算得C(l,l)(步驟1),得

4b~

=孚」步驟2)

10.設(shè)非零常d是等差數(shù)列%,尤2，芻，，西9的公差，隨機(jī)變量J等可能地取值天,々,芻，，m9,

那么方差

【測(cè)量目標(biāo)】隨機(jī)變量的期望和方差.

【考查方式】給出等差數(shù)列，求出隨機(jī)變量的方差.

【難易程度】中等

【參考答案】而|d|

【試題解析】

s19x18

"4_19MH------dJ

EJ=%々…*9=-----------------2——=x+9d=xl(1(步驟1〕

1919110

D^=^-(92+82++12+02+12++92)=30/.(步驟2)

12

11.假設(shè)cosxcosy+sinxsiny=],sin2x+sin2y=§,那么sin(x+y)=

【測(cè)量目標(biāo)】?jī)山呛团c差的正余弦，二倍角公式.

【考查方式】給出三角函數(shù)的值，利用兩角和與差的余弦公式和等量代換求出值.

【難易程度】中等

2

【參考答案】

3

1

【試題解析】故

*'2-.........................3

./、2

sin(x+y)=§.

2

12.設(shè)。為實(shí)常數(shù)，y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)^9x+—+7,假

x

設(shè)/(X)…。+1對(duì)一切尤…()成立，那么。的取值范圍為.

【測(cè)量目標(biāo)】奇函數(shù)的性質(zhì).

【考查方式】給出了在某段定義域內(nèi)的函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出。的范圍.

【難易程度】中等

Q

【參考答案】--

7

【試題解析】/(0)=0,故0屋a+l=a-1(步驟1)；當(dāng)x〉0時(shí)

2

f(x)=9x+---7…a+1(步驟2)

x

o

即61al…。+8,又明,-1,故a”—(步驟3)

13.在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧(x—l)2+y2=9…1)和(x—3)2+y2=i(x…3)、兩條

直線y=l和y=-l圍成的封閉圖形記為。，如圖中陰影局部.記。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾

何體為0,過(O,y)(|yL,1)作、所得截面面積為4兀一L+8兀,試?yán)米姘?、一個(gè)平

放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出C的體積值為.

第13題圖

【測(cè)量目標(biāo)】合情推理.

【考查方式】給出了封閉圖形，利用祖瞄原理求出其體積.

【難易程度】中等

【參考答案】2^+16兀

【試題解析】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1,高為2兀的圓柱平放，一個(gè)高為2,底面面積8兀的長(zhǎng)

方體，這兩個(gè)幾何體與。放在一起，根據(jù)祖唾原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故

它們的體積相等，即0的體積值為7i.l2.27r+2.8?1=27+16兀.

14.對(duì)區(qū)間/上有定義的函數(shù)g(x),記g(/)={y|y=g(x),xe/},定義域?yàn)閇0,3]的函數(shù)

y=/(x)有反函數(shù)y=/\x),且尸([0,1))=口,2),尸((2,4])=[0,1),假設(shè)方程

/(x)—x=0有解％,那么/=.

【測(cè)量目標(biāo)】反函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷.

【考查方式】給出了反函數(shù)的解析式，在特定定義域內(nèi)求出它的反函數(shù)解析式并求出新函數(shù)

的解.

【難易程度】中等

【參考答案】d=2

【試題解析】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)xe[0,l)時(shí)，f(x)e(2,4](步驟1)；xe[l,2)時(shí),

/(x)e[O,l),而y=/(x)的定義域?yàn)閇0,3](步驟2),故當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(尤)的取值應(yīng)在

(—8,0)[1,2](4,+00),故假設(shè)/(%)=/，只有/=2.(步驟3)

二、選擇題

15.設(shè)常數(shù)aeR,集合A={x|(x-l)(x—a)龐0},8={x|xa-\],假設(shè)4B=R,

那么a的取值范圍為()

A(—co,2)B(—co,2]C(2,+oo)D[2,+oo)

【測(cè)量目標(biāo)】集合的根本運(yùn)算，解一元二次不等式.

【考查方式】給出兩個(gè)集合，根據(jù)它們的并集求出a的取值范圍.

【難易程度】中等

【參考答案】B

【試題解析】當(dāng)a>l時(shí)，A=(-oo,1][a,+oo),Z?=[a-l,+oo),(步驟1)

假設(shè)A18=R,那么。一1?1,:A<a?2,(步驟2)

當(dāng)a=l時(shí)，易得A=R，此時(shí)A3=R成立，(步驟3)

當(dāng)aVl時(shí)，A-(-oo,a][l,+oo),B=[a-l,+oo),

假設(shè)AB=R,那么a—l?。顯然成立(步驟4)

/.?<1；綜上“的取值范圍是(F,2],應(yīng)選B(步驟5)

16.錢大姐常說“廉價(jià)沒好貨"，她這句話的意思是：“不廉價(jià)"是"好貨”的0

A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分也非必要條件

【測(cè)量目標(biāo)】充分必要條件.

【考查方式】給出日常生活問題，判斷命題的充分必要性.

【難易程度】容易

【參考答案】B

【試題解析】根據(jù)等價(jià)命題，廉價(jià)=沒好貨，等價(jià)于，好貨=不廉價(jià)，應(yīng)選B.

17.在數(shù)列伍“}中，假設(shè)一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素

a..=a..?.+?,+a.,(z=l,2,,7;；=1,2,,12)那么該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)

數(shù)為()

A18B28C48D63

【測(cè)量目標(biāo)】指數(shù)函數(shù)模型.

【考查方式】給出了數(shù)列矩陣以及行列元素的關(guān)系，求出矩陣元素不同數(shù)值的個(gè)數(shù).

【難易程度】容易

【參考答案】A

【試題解析】①=叩火+4+%=2'*j—1,而i+j=2,3,,19,故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè),

選A.

18.在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為

at,a2,a3,a4,a5；以。為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為4,4,4,4,4―假設(shè)也加分

別為（4+%+W）44，+4+4）的最小值、最大值，其中

億1/,%}={1,2,3,4,5},{r,s,f}工{1,2,3,4,5},那么"M滿足（）.

Am=O,M>OBm<O,M>0Cm<0,M=0Dm<0,M<0

【測(cè)量目標(biāo)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用.

【考查方式】根據(jù)平面幾何中的向量性質(zhì)，容易求出答案.

【難易程度】中等

【參考答案】D

【試題解析】由題意記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為q,%,%,%；以。為

起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為4，4，4,4,4，利用向量的數(shù)量積公式，只有

AF?DE=AB-DC>0,其余均有q.4”0,應(yīng)選D.

三、解答題

19.（此題總分值12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-AiBiG。中，AB=24O=14p4=l,證明直線

BC,平行于平面D.AC,并求直線BG到平面DXAC的距離.

第19題圖

【測(cè)量目標(biāo)】直線與平面平行的判定，錐的體積.

【考查方式】給出長(zhǎng)方體及假設(shè)干條件，根據(jù)直線與平面平行的判定定理以及三棱錐的體積

公式求出答案.

【難易程度】容易

【試題解析】因?yàn)锳BC?！狝SG。為長(zhǎng)方體，ABCR,AB=Cn，

故A8G。為平行四邊形，故BCtAD}（步驟1）,顯然B不在平面RAC上，于是直線BC}

平行于平面"AC（步驟2）；直線BG到平面OAC的距離即為點(diǎn)8到平面OAC的距離設(shè)

為〃考慮三棱錐ABC。的體積，以A8C為底面，可得V=gx（gxlx2）xl=；（步驟3）

而△A〃C中，AC=D、C=#>,AD\=0,故1c=g

所以，V=-1x3-x/?=-1^//=-2,即直線BG到平面。N2C的距離為工.（步驟4）

32333

20.（6分+8分）甲廠以x千克〃卜時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求1領(lǐng)Jx10）,

每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是100（5x+l-』）元.

X

（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求尢的取值范圍；

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利

潤(rùn).

【測(cè)量目標(biāo)】二次函數(shù)模型的建立，求函數(shù)的最值.

【考查方式】給出實(shí)際問題建立函數(shù)模型，求出其最值.

【難易程度】容易

【試題解析】(1)根據(jù)題意，200(5x+l-』)JS3000n5x—14-20

XX

又1領(lǐng)Jx10,可解得3領(lǐng)k10(步驟1)

⑵設(shè)利潤(rùn)為y元,那么y=—.100(5x+l--)=9x104［-3(---)2+—］

xxx612

故x=6時(shí)，ymax=457500元.［步驟2)

21.(6分+8分)函數(shù)/(x)=2sin(gx),其中常數(shù)①>0；

(1)假設(shè)y=/(x)在［-：7F,亍271］上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)令。=2,將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移士7T個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)

6

y=g(x)的圖像，區(qū)間3,例(a,—eR且a<b)滿足:y=g(x)在［a,b］上至少含有30個(gè)

零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的3,切中，求。的最小值.

【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，圖像及其變化.

【考查方式】將三角函數(shù)進(jìn)行變化求出。的取值范圍；將三角函數(shù)進(jìn)行平移和變換求出零點(diǎn)

進(jìn)而求出答案.

【難易程度】中等

【試題解析】(1)因?yàn)椤！?,根據(jù)題意有

71兀

---?！?--

<42no<0”-(步驟1)

2兀兀4

兀71

(2)/(%)=2sin(2x),g(x)=2sin(2(x+—))+1=2sin(2x+—)+1

63

兀］715

g(x)=0=>sin(2x+—)=--=>x=kn-—^x=E+■^兀MeZ,

IT27r

即g(x)的零點(diǎn)相離間隔依次為m和,(步驟2)

故假設(shè)y=g(x)在［a,b］上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，

2717143兀

那么方—a的最小值14X巧+15'4=士吧.(步驟3)

333

22.(3分+5分+8分)如圖，曲線C：］—)2=1,曲。2：1田=1幻+1，P是平面上一點(diǎn)，假

設(shè)存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，那么稱P為“G—C2型點(diǎn)”.

(1)在正確證明G的左焦點(diǎn)是“G—C2型點(diǎn)"時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這

樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證)；

(2)設(shè)直線y=履與G有公共點(diǎn)，求證|的>1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“G—C2型點(diǎn)”；

(3)求證：圓/+尸=；內(nèi)的點(diǎn)都不是，，G—C2型點(diǎn)”.

第22題圖

【測(cè)量目標(biāo)】圓錐曲線的探索性問題.

【考查方式】給出了“G—C2型點(diǎn)”的概念，證明3個(gè)命題的正確性.

【難易程度】較難

【試題解析】：(1)G的左焦點(diǎn)為尸(-6,0),過尸的直線x=-G與Ci交于(-6,±”)，

2

與C2交于(一百，土(百+1)),故Cl的左焦點(diǎn)為“G-C2型點(diǎn)"，

且直線可以為x=〔步驟1)

(2)直線y=H與C2有交點(diǎn)，那么

\'y=kxn(|%|—l)|x|二l,假設(shè)方程組有解，那么必須(步驟2)

3=|幻+1

直線y=依與C2有交點(diǎn)，那么

《2，=>(1-2公)/=2,假設(shè)方程組有解，那么必須二<上

[%2-2/=22

故直線y=近至多與曲線Ci和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“G-C2型點(diǎn)”.(步驟3)

(3)顯然過圓V+y2=；內(nèi)一點(diǎn)的直線/假設(shè)與曲線CI有交點(diǎn)，那么斜率必存在；

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線/斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)(r/+l)(r…0)，那么

直線/與圓/+y2=J.內(nèi)部有交點(diǎn)，故?三g〈也

27F7T2

化簡(jiǎn)得，(1+好求)2〈耳左2+<①(步驟4)

2

假設(shè)直線/與曲線Ci有交點(diǎn)，那么

y=kx-kt-\-t+\

^)x2+2k(l+t-kt)x+^+t-kt)2+\=0(步驟5)

./=><k--

---y2=1

l2

化簡(jiǎn)得，（1+t—切2…2伏2—g）②

由①@得，2（公_3）,,（1+f—4,&2+]）=%2<]（步驟6）

但此時(shí)，因?yàn)?龐0,[1+?1-幻]21,1（后2+1）<],即