開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制課件

Wednesday,July26,20231開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制（奈氏圖）開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制（波德圖）非最小相位系統(tǒng)的頻率特性本節(jié)主要內(nèi)容Wednesday,July26,20232一、開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制奈氏圖）

開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個(gè)有理分式，不論那種形式，都可由下面的方法繪制。

使用MATLAB工具繪制。

將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成或 的形式，根據(jù)不同的算出或可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之為曲線。（手工畫法）。[繪制方法]：Wednesday,July26,20233[例5-1]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。當(dāng)繪制奈氏圖。解：當(dāng)時(shí)，

找出幾個(gè)特殊點(diǎn)（比如，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對(duì)準(zhǔn)確，可以再算幾個(gè)點(diǎn)。Wednesday,July26,202340-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。Wednesday,July26,20235下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。Wednesday,July26,20236[例5-2]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。[解]：[分析]1、當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，的漸進(jìn)線是一條通過實(shí)軸點(diǎn)，且平行于虛軸的直線。2、與實(shí)軸的交點(diǎn)。令：，解得：，這時(shí)：3、當(dāng)時(shí)，，漸進(jìn)線方向向下。Wednesday,July26,20237Wednesday,July26,20238[具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn)]：頻率特性可表示為：其相角為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。Wednesday,July26,20239下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻部分，可計(jì)算一些特殊點(diǎn)的來(lái)確定。如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等。Wednesday,July26,202310二、增加零極點(diǎn)對(duì)極坐標(biāo)圖形狀的影響設(shè)KWednesday,July26,202311⒈增加有限極點(diǎn)設(shè)Wednesday,July26,202312設(shè)Wednesday,July26,202313Wednesday,July26,202314結(jié)論：假如G(s)增加n個(gè)有限負(fù)極點(diǎn)(時(shí)間常數(shù)形式)，則G(jw)的極坐標(biāo)圖在w=0時(shí)幅值不變；在w→∞時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)過np/2(弧度)。Wednesday,July26,202315⒉增加在原點(diǎn)處的極點(diǎn)設(shè)在w取有限值時(shí)與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)。Wednesday,July26,202316設(shè)在w取有限值時(shí)與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)。Wednesday,July26,202317結(jié)論：假如G(s)乘上因子1/sn，則G(jw)的極坐標(biāo)圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過np/2(弧度)。并且只要在原點(diǎn)處存在極點(diǎn)，極坐標(biāo)圖在w=0的幅值為無(wú)窮大。Wednesday,July26,202318⒊增加有限零點(diǎn)設(shè)Wednesday,July26,202319設(shè)Wednesday,July26,202320與沒有零點(diǎn)的極坐標(biāo)圖比較知：交點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，且當(dāng)w→∞時(shí)，極坐標(biāo)圖趨于原點(diǎn)時(shí)的相角為-180°。Wednesday,July26,202321Wednesday,July26,202322二、開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制波德圖）開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：Wednesday,July26,202323幅頻特性：相頻特性：且有：

由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個(gè)典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后相加。Wednesday,July26,202324[例]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。[解]：該系統(tǒng)由四個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。一個(gè)比例環(huán)節(jié)，一個(gè)積分環(huán)節(jié)兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。Wednesday,July26,202325

實(shí)際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線（漸進(jìn)線）組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。

確定和各轉(zhuǎn)折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上；

確定低頻漸進(jìn)線：，就是第一條折線，其斜率為，過點(diǎn)（1，20logk）。實(shí)際上是k和積分的曲線。具體步驟如下：Wednesday,July26,202326

高頻漸進(jìn)線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。

相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時(shí)，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階慣性）時(shí)，斜率下降-40dB/Dec;

畫好低頻漸進(jìn)線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時(shí)，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時(shí)，斜率增加+40dB/Dec;Wednesday,July26,202327[例5-3]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進(jìn)線：斜率為，過點(diǎn)（1，20）3、波德圖如下：Wednesday,July26,202328紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。Wednesday,July26,202329[例5-4]已知，試畫波德圖。[解]：1、2、低頻漸進(jìn)線斜率為，過（1，-60）點(diǎn)。4、畫出波德圖如下頁(yè)：3、高頻漸進(jìn)線斜率為：Wednesday,July26,202330紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。Wednesday,July26,202331[例5-5]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。作業(yè)：5-3(b),(c);5-5(a),(c)Wednesday,July26,202332例：已知，畫出其對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。解：⒈將傳函寫成時(shí)間常數(shù)形式這可以看作是由五個(gè)典型環(huán)節(jié)構(gòu)成的⒉求20lgK=20dBWednesday,July26,202333序號(hào)環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率后斜率累積斜率1K———2(jw)-1—－20－2030.5－20－4041+jw1+20－20520－40－60注意轉(zhuǎn)折頻率是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)⒊列表Wednesday,July26,202334wwL(w)j(w)200Wednesday,July26,202335相頻特性w0.10.20.512j(w)-95.8°-104.5°-109.4°-110.4°-106.6°w5102050100j(w)-106.2°-117.9°-181.4°-252.1°-262°Wednesday,July26,202336三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性

在前面所討論的例子中，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻漸進(jìn)線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于。具有這種特征的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。在最小相位系統(tǒng)中，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。[結(jié)論]：在s右半平面上沒有零、極點(diǎn)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù)；反之為非最小相位系統(tǒng)。Wednesday,July26,202337定義：在右半S平面上既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)，同時(shí)無(wú)純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在右半S平面上具有極點(diǎn)或零點(diǎn)，或有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

在幅頻特性相同的一類系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位移最小，并且最小相位系統(tǒng)的幅頻特性的斜率和相頻特性的角度之間具有內(nèi)在的關(guān)系。

對(duì)最小相位系統(tǒng)：w=0時(shí)j

(w)=-90°×積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)

；

w=∞時(shí)j

(w)=-90°×(n-m)

。

不滿足上述條件一定不是最小相位系統(tǒng)。滿足上述條件卻不一定是最小相位系統(tǒng)。Wednesday,July26,202338例：有五個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下。系統(tǒng)的幅頻特性相同。Wednesday,July26,202339設(shè)，可計(jì)算出下表，其中為對(duì)數(shù)坐標(biāo)中與的幾何中點(diǎn)。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°Wednesday,July26,202340由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)w從0變化至∞時(shí)，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如j1(w)

)。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢(shì)與幅頻特性的變化趨勢(shì)不一致(如j4(w))。Wednesday,July26,202341最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

在最小相位系統(tǒng)中，對(duì)數(shù)頻率特性的變化趨勢(shì)和相頻特性的變化趨勢(shì)是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時(shí)，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對(duì)數(shù)幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。伯德證明，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，對(duì)數(shù)相頻特性在某一頻率的相位角和對(duì)數(shù)幅頻特性之間存在下述關(guān)系：式中j

(w0)為系統(tǒng)相頻特性在觀察頻率w0處的數(shù)值，單位為弧度；u=ln(w/w0)為標(biāo)準(zhǔn)化頻率；A=ln|G(jw)|；dA/du為系統(tǒng)相頻特性的斜率，當(dāng)L(w)的斜率等于20dB/dec時(shí)，dA/du

=1；函數(shù)為加權(quán)函數(shù)，曲線如圖Wednesday,July26,202342最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)上述公式稱為伯德公式。該式說明對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性與相頻特性緊密聯(lián)系的，當(dāng)給定了幅頻特性，其相頻特性也隨之而定，反之亦然。因此，可只根據(jù)幅頻特性（或只根據(jù)相頻特性）對(duì)其進(jìn)行分析或綜合；而非最小相位系統(tǒng)則不然，在進(jìn)行分析或綜合時(shí)，必須同時(shí)考慮其幅頻特性與相頻特性。在u=0(w=w0)時(shí)；在u=±2.3，即在w0上下十倍頻程處，；偏離此點(diǎn)，函數(shù)衰減很快。即相頻特性在w0處的數(shù)值主要決定于在w0附近的對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率。在u=±0.69（在w0上下倍頻程處，；Wednesday,July26,202343最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。解：⒈由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個(gè)積分環(huán)節(jié)；⒉在w=1處，L(w)=15dB，可得

20lgK=15，K=5.6⒊在w=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)⒋在w=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1)Wednesday,July26,202344最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：⒈由于低頻段斜率為-40dB/dec所以有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)；⒉在w=0.8處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/0.8+1)⒊在w=30處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1)⒋在w=50處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)(s/50+1)Wednesday,July26,202345最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在w=4時(shí)，L(w)=0，這時(shí)可以不考慮轉(zhuǎn)折頻率在w=4以上的環(huán)節(jié)的影響Wednesday,July26,2