立體幾何坐標法教師版

立體幾何坐標法:一：一般的公式：1、空間角⑴(線線)設異面直線I】，l2的方向向量分別為mvm2,則I】與l2的夾角e滿足cose=lcos〈m】，m"I.⑵(線面)設直線l的方向向量和平面a的法向量分別為m,m,則直線l與平面a的夾角e滿足sine=lcos〈m,n)I.(3)(面面)求二面角的大小(i)如圖①，AB、CD是二面角以-1書的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小e=〈AB,CD).①②③(ii)如圖②③，n1，n2分別是二面角a-l-p的兩個半平面a,&的法向量，則二面角的大小e滿足cose=cos〈n】，n2)或一cos〈n】，n2).2、距離(】)點面距的求法：設AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則B到平面a的距離'=岑|型.(2)線面距、面面距均可轉化為點面距iaBi⑶兩異面直線的距離求法：d=-jnF-(AB是異面直線上任意兩點 ):如何選擇建系:

8、在如圖所示的幾何體中，EA1平面ABC,DB1平面ABC,AC=BC=BD=2AE，m是AB的中點.（I） 求證：CM1EM；（II） 求CM與平面CDE所成的角.AC1BC，且AC1BC，且19.（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.）如題（19）圖，在四面體ABCD中，平面ABC1平面ACD，AB1BC，AD=CD，ACAD=30。.（I） 若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積；（II） 若二面角C-AB-D為60。，求異面直線AD與BC所成角的余弦值.題（19）圖28.【2012高考四川文19】（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，ZAPB=90。，ZPAB=60°，AB=BC=CA，點P

在平面ABC內的射影O在AB上。求直線PC與平面ABC所成的角的大小;求二面角B-AP-C的大小。三：添加z軸，通過公式算出來的：S點。全國的19.(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)????????.如圖，四棱錐s-ABCD中，AB^CD,BC±CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2,CD=SD=1. s-(I)證明：SD1平面548；(II)求AB與平面SBC所成角的大小.三：經典練習;26.【2012高考全國文19】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上.???.作答無效）????如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA1底面ABCD，AC=2克,PA=2,E是PC上的一點，PE=2EC。（I） 證明：PC1平面BED；（II） 設二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。成都二診:（18）（本小題滴分12分）如風成如棱帽P-ARCD申調面ZBCD是邊徑為$的差形.旦ZDAB=60*.薨彩ABCD的兩條對旗線的交點為O,PA=PGPB=PD,且P0=3.點6是蠲段已4曲中點,連接印,EB,EC.（I） 證明函線QE#平而PBQ（II） 求二而甬￡—配-。的大小.數老二御^試演（艾）第3頁《共4頁）19.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為8,E、F分別為AD1,CD1中點，G、H分別為棱DA,DC上動點，且EH±FG.求GH長的取值范圍；當GH取得最小值時，求證：EH與FG共面；并求出此時EH與FG的交點P到直線BB的距離.19、如圖，四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,四邊形ABCD中，AB±AD,AB+AD=4,CD=、2,ZCDA=45。.求證：平面PAB±平面PAD； * 設AB=AP. 若直線PB與平面PCD所成的角為30。，求線段AB的, C長；在線段AD上是否存在一個點G,使得點G到點P,B,C,D的距離都相等？說明理由。22.在三棱柱ABC-A1BC1中，已知AB=AC=AA1=^5,BC=4，在A1在底面ABC的1投影是線段BC的中點0。1求點C到平面A1ABB］的距離；求二面角A-BC1-B1的余弦值;若M,N分別為直線AA1,BC上動點，求MN的最小值。用向量法做幾何題:

2010年河南預賽：6.已知一個正三棱柱的底面邊長為1,兩個側面的異面對角線互相垂直.該正三棱柱的側棱長為?解:填圣.2設三棱柱ABC-ABC，側棱長為.，側面的異面對角線AB,BC互相垂直，則TOC\o"1-5"\h\z111 1 1AB-BC=0n(BB+BA)(BB-BC)=0n 111_1 1BB-BB+BB-BC+BA-bb+BA-Be=0n1 1 1 11 1 11一a2+cos60=0n<2a .9、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2*2ZPAB=60.證明AD1平面PAB；求異面直線PC與AD所成的角的大小；求二面角P一BD一A的大小.BA(2)求二面角BA(2)求二面角C—AB—B的大?。?3)求點C到平面CBA的距離.兀已知斜三棱柱ABC-ABC的各棱長均為2,側棱BB與底面ABC所成角為一,111 1 3且側面ABB]A】1底面ABC. B(1)證明：點B在平面ABC上的射影O為AB的中點；所以PC1平面占占》……所以PC1平面占占》……6分A在平面ABC內的射影O在AB上。答案:(19)解法一:(I)因為底面ABCD為豪形，所以HSLMC，XPA_L底面ABCD＞所以pciiiD. ……z分設/iCnEDMF,連結EF.因為AC=2?、p/q,P￡=1EC.故PC0&菖"專，心。，從而告=J&『告=J&*FC 從-因為—,EJE“心『所以FCECAFCE50PG4,Zf￡C=￡PAC二90。，由此知PCLEF.PC與平面錐刀內兩條相交宜線EEF都乖直,28.【2012高考四川文19】(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，ZAPB=90°,ZPAB=60°,AB=BC=CA求直線PC與平面ABC所成的角的大??；求二面角B—AP—C的大小。命題立意：本題主要考查本題主要考查直線與平面的位置關系，線面角的概念，二面角的概念等基礎知識，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.【答案】【解析】

髀法：(I)雄如N：.由BH.為就淺W小/枇M癖部.計“。中*J頊,性％m、e一四為.1甘?加.'-r'，L峙：身.力.；Mi【耳丹頊斗=偵r"皿=時彼展△熱m為等執(zhí)-知豚不她憤倒二妙i>n1."■5,冊-?；，斯以m二"4.m」n/?\C/7-?.I*'F2-.13ffP% u>/l；KiAW*if*,i^.M：P，十'&r［綻f*C1*T帙i淡用，'腳「芯FJ角"J火小為aM;n: , * <> if(11》過MW g娜3：.dn^i?4f!?.cd■腳J皿K據-頂流定呷一虬任—ff\■所以.(Ef)J;:血角占-M<：的燦佑.1IH3）如*f7) L；(lHI.HJ肥十.麗匚EH....-tilr /5故涌詢E—(敢大小為癡函N」<I)沒彌的中威為"，連沽皿V；力〃打業(yè)魴加仲；而時。|.的饑分.所以EIt；ft|AHi：.歐口P"UJJfPM<J>.i!；\li-ML■Cl,I-!(：fr..1〃設￡為就?鹽.心敏*#M0tiiOA.±m(xù)就一一w如園ma加知向:*,w聽的'哉分州方■…114：蚓興m?"1出口小時:，mL護］偵」J"ms…11峭霓伊財UL.mI?).o：(：<1?LE.EO0in所1'丫.『"(i.:L…4)加|門"-5SU；我Ti可睥:褂亍詞向;出江虹Art找祁*-；仁噸皿日誠潞f(i.t.,. 1 福"* 1)HI+.1I八TOC\o"1-5"\h\z場階相“ 72 .異；-叫;i?1上1故在地板!也-冊成的布的火亦為mwh &分rll）!|H），."'=：!.0,-3.\（：= ,偷i』尸廠的個溢M肝為Hu（A|hV,..T;},J；:. 5■帶“n,< 卜-t.t： -g,、"、：.）?（【0#）=U.

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、.?,：.2?［傘加j-021',t?為■J】-9.*hrLt1!1］、=!.r，=】，J0「i7If"!-■/^.t.>J北?湎捫占-mKWiM你為比易如鄉(xiāng)為說似州而枷M個上向時為mm頃，則12分、顧m："小為心12分19.解法一：連結SE,則SE1AB,SE=0(I)取AB中點E,連結連結SE,則SE1AB,SE=0又SD=1，故ED2=SE2+SD2,所以ZDSE為直角。由AB1DE,AB1SE,DE^SE=E,得AB1平面$?！?，所以AB1SD。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。所以SD1平面SAB。(II)由AB1平面SDE知，平面ABCD1平面SED。作SF1DE,垂足為F,則SF1平面ABCD,寧SDxSE氣3SF= = DE2作FG1BC,垂足為G,則FG=DC=1。連結SG,則SG1BC,又BC1FG,S^}FG=G,故BC1平面$「6,平面SBC1平面SFG。作FH1SG,H為垂足，則FH1平面SBC。FH=竺穿=豆，即f到平面SBC的距離為QSG <7 721由于ED//BC,所以￡。//平面SBC,E到平面SBC的距離d也有——7設AB與平面SBC所成的角為a,12分則sin1=逝,a=arcsin12分EB7 7解法二：以解法二：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，設D(1,0,0),則A(2,2,0)、B(0,建立如圖所示的空間直角坐標系C—xyz。2,0)。又設S3,y,z)，則］>0,y>0,z>0.(I)AS=3-2,y-2,z),BS=3,y-2,z),DS=(x-1,y,z)由IAS1=1BSI得

(x—2)2+(y—2)2+z2=.x2+(y—2)2+z2,故x=1。由IDS1=1得y2+z2=1,又由IBS1=2得x2+(y—2)2+z2=4,1 ；3即y2+z2—4y+1=0,故y=^,z=—^-DS=(0,1,于是S(1,2^23),AS=(—1,—2,孕,BS=(1,—DS=(0,1,,DS-AS=0,DS-BS=0.故DS1AD,DS1BS,又A^[BS=S,所以SD1平面SAB。(II)設平面SBC的法向量a=(m,n,p),則a1BS,a1CB,a-BS=0,a-CB=0.又BS=(1,—；,、),CB=(0,2,0),m——n+—p=0,古攵]2 2'[2n=0.取p=2得a=(f3,0,2),又~AB=(—2,0,0)。cos，：；ab,a=|abb?；|=號.故AB與平面故AB與平面SBC所成的角為arcsin74、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA上底面ABCD,四邊形ABCD中，ABXAD,AB+AD=4,CD=\2，ZCDA=45。.求證：平面PAB1平面PAD；設AB=AP.若直線PB與平面PCD所成的角為30。，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等?說明理由。 /本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，滿分14分。解法一：(I)因為PA1平面ABCD，ACu平面ABCD，所以PA1AB，又AB1AD,P^AD=A,所以AB1平面PAD。又ABu平面PAB，所以平面PAB1平面PAD。(II)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz(如圖)在平面ABCD內，作CE//AB交AD于點E，則CE1AD.在RtACDE中，de=CD?cos45。=1，CE=CD?sin45o=1,設AB=AP=t，貝IB(t，0，0)，P(0，0，t)由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E(0,3-1,0),C(1,3-1,0),D(0,4-1,0)，CD=(-1,1,0),PD=(0,4-1,-t).(i)設平面PCD的法向量為n=3,y,z)，由n1CD由n1CD，n1PD，一x+y=0,(4—t)y—tx=0.取x=t，得平面PCD的一個法向量n={t,t,4—t}，又PB=（t,0,-t），故由直線PB與平面PCD所成的角為30。，得cos60。=1I,cos60。=1I,即I2t2—4tI4 4解得t=-或t=4（舍去，因為4 4解得t=-或t=4（舍去，因為AD=4-1>0），所以AB=-.（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，設G（0，m，0）（其中0<m<4-1）則GC=(1,3-1-m,0),GD=(0,4-1-m,0),GP=(0,-m,t)，由IGCI=IGDI得（4-1-m）2=m2+12，（2）由（1）、（2）消去t，化簡得m2-3m+4=0（3）由于方程（3）沒有實數根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I） 同解法一。（II） （i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz（如圖）在平面ABCD內，作CE//AB交AD于E，則CE1AD。在平面ABCD內，作CE//AB交AD于點E，則CE1AD.在RtACDE中，de=CD?cos45。=1，CE=CD?sin45°=1,設AB=AP=t，貝，B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E（0,3-1,0）,C（1,3-1,0）,D（0,4-1,0），CD=(-1,1,0),PD=(0,4-1,-t).設平面PCD的法向量為n=3,y,z），由n由n1CD，n1PD，一x+y=0,(4—t)y—tx=0.取x=t，得平面PCD的一個法向量n={t,t,4-1}，又PB=（t,0,-t），故由直線PB與平面PCD所成的角為30°，得

n-PB-cos60o=1 一I,即I2t2-4tI _1.、云=I2t2-4tI _1.、云=2,4_解得t=5或t=4（舍去，因為AD=4-1>0）,…4所以AB=5.C,D的距離都相等，(ii)假設在線段AD上存在一個點G,使得點G到點P,C,D的距離都相等，由GC=CD，得ZGCD=ZGDC=45。，從而ZCGD=90o，即CG±AD,GD=CD?sin45。=1,設AB=人，則AD=4-人，AG=AD—GD=3—人，在RtAABG中，GB=^AB2+AG2=偵％2+（3—人）2' 3 9=『("-)2+->1,I J J這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等19.解：（1）以D為原點，DA，DC，DD1分別為x輒y軸，z軸建立空間直角坐標系.設DG=a，DH=b，則E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）.:.EH=（—4，b，—4），FG=（a，—4，—4）.VEH±FG.:.EH?FG=—4a—4b+16=0，則a+b=4，即b=4—a.又G1H在棱DA，DC上，則0<a<8,0<b<8，從而0<a<4.TOC\o"1-5"\h\zI I iGH=。2+b2=,a2+（4—a）2=,q2（a—2）2+8.???GH取值范圍是[2巨，4]. ……6分（2）當GH=2\5時，a=2,b=2.???GH=（—2,2,0），EF=（—4,4,0），即EF=2GH.???EF〃GH，即EH與FG共面.—2—t（84 8、所以EF=2GH，EF〃GH，則EP=-EH=—-,-,—=.3 k33 3）

設P(x1,y1,z1),則EP=(X1—4,y,z1—4).TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 444?盤1=3'yi=3'zi=3,即P(3'3'3)?444 44則P(R，^'R)在底面上ABCD上的射影為M(衣，^'°),又B(8,8,0),20-所以\MB\=—履為點P到直線BB的距離. ……12分22.解:(1)連接AO,因為AO1平面ABC,所以AO1BC，因為AB=AC,OB=OC,得AO1BC,AO=JAB2-BO2=1,在AAOA1中，AO=2,在ABOA1中'A1B=2整,則5aaab=J6.又S^AB=2.設點C到平面AABB的距離為h,1 1則由v=v得'1S -h=1S -AO.從而h=2<6.……4分C-A1ABA1-ABC 3AA^AB 3ACAB1 3⑵如圖所示,分別以OA,OB,OA1所在的直線為x,y,z軸'建立空間直角坐標系，則A(1,0,0),C(0,-2,0),A1(0.0,2),B(0,2,0),B^—1,2,2),C、一1,-2,2)iCOyB設平面BCCB的法向量^=(x,y,z),11iCOyB又BB=(-1,0,2),cB=(0,4,0).'n^BB=0 ]-x+2z=0由〈-一^1 ，得<』n，[nCB=0 [4y=0令z=1,得x=2,y=0,即n=(2,0,1)設平面ABC1的法向量m=(a,b,c),又aB=(-1,2,0),AC^=(-2,-2,2).m^AB=0,得m^AB=0,得〈0-a+2b=0mAC=q1-2a-2b+2c=0'令bT,得。=2C=3，即m=山所以一一mn<70cos<m,n>= ———=——-所以ImI-1nI10由圖形觀察可知'二面角A-BC1-B1為鈍角'70 .所以二面角A-BC1-B1的余弦值是-*.……9分⑶方法1.在AAOA中，作OE1AA于點E,因為AA//BB,得OE1BB.i i ii 1因為AO1平面ABC,所以AiO1BC，因為AB=AC,OB=OC,得AO1BC,所以BC1平面AAiO，所以BC1OE,所以OE1平面BBCC.從而OE1BC在AAOA中，OE=孥為異面直線AA,BC的距離，即為MN的最小值。……14分i 5 ii方法2.設向量九=3,y,z)且品1AA,九1BC.iiii,