工程控制第三章-課件

第三章時(shí)間響應(yīng)分析3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成3.2典型輸入信號3.3一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.4二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.5二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.6系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：時(shí)間響應(yīng)、性能指標(biāo)、穩(wěn)態(tài)誤差的分析計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：性能指標(biāo)與系統(tǒng)特征參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)間關(guān)系穩(wěn)態(tài)誤差的分析與計(jì)算1.掌握一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)；2.掌握二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)；3.掌握欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)；4.掌握控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差的分析計(jì)算。本章教學(xué)大綱經(jīng)典控制論分析系統(tǒng)性能的方法時(shí)域分析法：根軌跡法：時(shí)間響應(yīng)分析根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉氏為數(shù)學(xué)工具，直接解算出系統(tǒng)的輸出量隨時(shí)間變化的規(guī)律，并由此來確定系統(tǒng)的性能。頻域分析法：頻率特性分析特點(diǎn)：1）是一種直接分析方法，易于接受，而且也是一種比較準(zhǔn)確的方法，能夠提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。2）是一種需求解系統(tǒng)輸出的解析法，比較煩瑣，適合低階系統(tǒng)（3階以下）。3）最基本的分析方法，學(xué)習(xí)復(fù)域法、頻域法的基礎(chǔ)。3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成1.定義

系統(tǒng)在輸入信號的作用下，其輸出隨時(shí)間的變化過程稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。它反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。2.組成按振動性質(zhì)分自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)按振動來源分零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)穩(wěn)定一般情況下，設(shè)系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：式中：

si（i=1,2,···,n）為方程的特征根。自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)方程的解一般形式為：零狀態(tài)響應(yīng)（零初始狀態(tài)下，完全由輸入所引起）。零輸入響應(yīng)（系統(tǒng)無輸入，完全由初始狀態(tài)所決定）。例子-3，-4是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（特征根）零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)——系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)——時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。

通常將時(shí)間響應(yīng)中實(shí)際輸出與理想輸出的誤差進(jìn)入系統(tǒng)規(guī)定的誤差帶之前的過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)過程，之后的過程稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離系統(tǒng)希望值的程度可用來衡量系統(tǒng)的精確程度表征系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和抗干擾的能力。瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)的動態(tài)性能

表征系統(tǒng)的振蕩特性和快速性ts±△注意：系統(tǒng)的階次n和si取決于系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的初態(tài)無關(guān)；由所求得的輸出是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；對于線性定常系統(tǒng)，若x(t)引起的輸出y(t)，則引起輸出為。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才3.系統(tǒng)特征根與自由響應(yīng)的關(guān)系制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才(1)(2)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)特征根，自由響應(yīng)衰減振蕩，|Im[s]|越大，振蕩加劇，|Re[s]|與衰減所需時(shí)間，即響應(yīng)快速性有關(guān)。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才(3)(4)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)特征根，|Re[s]|越小，衰減所需時(shí)間越長，響應(yīng)快速性變差。實(shí)部為0時(shí)，特征根為共軛純虛根，自由響應(yīng)為等幅振蕩。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才(6)(5)具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)特征根，|Im[s]|≠0，自由響應(yīng)為發(fā)散幅振蕩，輸出響應(yīng)不收斂。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才(7)(8)Im[s]=0，具有正實(shí)數(shù)根，自由響應(yīng)不振蕩，輸出響應(yīng)不收斂，（發(fā)散）；具有負(fù)實(shí)數(shù)根，自由響應(yīng)不振蕩，輸出響應(yīng)收斂。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才特征根實(shí)部Re[si]的正負(fù)決定自由響應(yīng)的收斂性.Re[si]<0,自由響應(yīng)收斂，絕對值越大收斂越快；Re[si]>0,自由響應(yīng)發(fā)散，絕對值越大發(fā)散越快。特征根虛部Im[si]的大小決定自由響應(yīng)的振蕩頻率若所有特征根具有負(fù)實(shí)部系統(tǒng)自由響應(yīng)收斂系統(tǒng)穩(wěn)定若存在特征根的實(shí)部大于零系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散系統(tǒng)不穩(wěn)定若有一對特征根的實(shí)部為零其余特征根均小于零系統(tǒng)自由響應(yīng)最終為等幅振蕩系統(tǒng)臨界穩(wěn)定此時(shí)，自由響應(yīng)為瞬態(tài)響應(yīng)。制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才結(jié)論：1.

特征根的實(shí)部影響自由響應(yīng)項(xiàng)的收斂性若所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)自由響應(yīng)收斂(系統(tǒng)穩(wěn)定)若存在特征根的實(shí)部為正，則系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散(系統(tǒng)不穩(wěn)定)若存在特征根的實(shí)部為零，其余實(shí)部為負(fù)，則系統(tǒng)的自由響應(yīng)等幅振蕩(系統(tǒng)臨界穩(wěn)定)2.

特征根的虛部影響自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩性虛部絕對值越大，自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩越劇烈。教材P:79Re[si]——穩(wěn)定性，快速性Im[si]——振蕩性，準(zhǔn)確性

3.2典型輸入信號

時(shí)域分析中，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。

對典型輸入信號的要求

形式簡單，便于解析分析；實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)；能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下?？刂葡到y(tǒng)中的典型輸入信號（時(shí)域）序號函數(shù)時(shí)域圖形原函數(shù)象函數(shù)例1234單位脈沖信號撞擊后座力電脈沖單位階躍信號開關(guān)量等速跟蹤單位斜坡信號單位拋物線信號制作：華中科技大學(xué)熊良才、吳波、陳良才三、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)微分方程傳遞函數(shù)1.一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)為Laplace變換對過渡過程（調(diào)整過程）時(shí)間響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之間誤差為△之前的過程調(diào)整時(shí)間ts（過渡過程時(shí)間）過渡過程所需的時(shí)間△=0.02時(shí)，ts=4T;△=0.05時(shí)，ts=3T

調(diào)整時(shí)間ts反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。Tts

，時(shí)間響應(yīng)的過渡過程，響應(yīng)快速性。2.一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：三、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)兩個(gè)重要的特征點(diǎn)：A點(diǎn)t=T，xo(t)=0.632xo穩(wěn)零點(diǎn)t=0，切線斜率=，切線與穩(wěn)態(tài)值相交對應(yīng)的時(shí)間恰為T?！?0.02時(shí)，ts=4T;△=0.05時(shí)，ts=3T

時(shí)間常數(shù)T反映了一階系統(tǒng)的固有特性，T，系統(tǒng)的慣性，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。結(jié)論

例3-1已知某一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。

解：令故該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)xo(t)為由圖知，

且當(dāng)t=0，切線斜率為，

且當(dāng)t=0，切線斜率為，

∴T=2s3.一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：輸入輸出1t如果輸入函數(shù)等于某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則該輸入函數(shù)所引起的輸出等于這個(gè)函數(shù)所引起的輸出的導(dǎo)函數(shù)。結(jié)論1：4.時(shí)間常數(shù)對時(shí)間響應(yīng)的影響單位脈沖響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)慣性越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快；時(shí)間常數(shù)T越大，系統(tǒng)慣性越大，系統(tǒng)響應(yīng)越慢。結(jié)論1：單位階躍輸入作用下，其響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值相差等于容許誤差所需要的時(shí)間。D越小，精度要求越高，調(diào)整時(shí)間ts越長；調(diào)整時(shí)間反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性設(shè)相對容許誤差DT越大，系統(tǒng)慣性越大，調(diào)整時(shí)間ts越長。5.一階系統(tǒng)性能指標(biāo)——調(diào)整時(shí)間在控制工程實(shí)踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛，如我們熟悉的現(xiàn)象——鐘鈴、彈簧、以及電路在受到?jīng)_擊后的短暫振動，都是二階系統(tǒng)動態(tài)性能的的外在表現(xiàn)。此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義。研究的必要性：四、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)ξ—阻尼比；ωn—無阻尼固有頻率ξ與ωn是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的特性。傳遞函數(shù)：特征方程：特征根：欠阻尼系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)一、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)——有阻尼固有頻率—衰減振蕩—等幅振蕩—無振蕩，衰減指數(shù)—無振蕩，衰減指數(shù)衰減得更快衰減振蕩，自由響應(yīng)收斂，欠阻尼系統(tǒng)穩(wěn)定ωn一定，ξ

振蕩頻率ωd振蕩越劇烈衰減時(shí)間常數(shù)表征系統(tǒng)的慣性特點(diǎn)慣性系統(tǒng)快速性衰減速度取決于，衰減得越快，系統(tǒng)快速性等幅振蕩，自由響應(yīng)不收斂，無阻尼系統(tǒng)不穩(wěn)定特點(diǎn)無振蕩，自由響應(yīng)收斂特點(diǎn)無振蕩，自由響應(yīng)收斂。ξ響應(yīng)快速性特點(diǎn)圖3.2

二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)曲線二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）教材P:86或穩(wěn)態(tài)項(xiàng)瞬態(tài)項(xiàng)（2）（3）（4）當(dāng)時(shí)，比衰減得快得多,過渡過程的變化以項(xiàng)起主要作用（1）其響應(yīng)特征與欠阻尼二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一致圖3.3

二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線結(jié)論：1)二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性;=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。

0＜＜1時(shí)，衰減振蕩，振蕩越劇烈，響應(yīng)越靈敏

≥1時(shí)，無振蕩，過渡過程長。

2)工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。3)一定時(shí)，n

瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越快，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性。通常，系統(tǒng)的性能指標(biāo)由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)給出。單位階躍信號易產(chǎn)生，且響應(yīng)也較易求得；單位階躍信號作為輸入往往是實(shí)際中最不利的輸入情況，用它來定義系統(tǒng)性能更能反映系統(tǒng)的性能情況。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)欠阻尼二階系統(tǒng)(通常取ξ=0.4~0.8)振蕩適宜，過渡過程時(shí)間較短。3.5二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)一、常見的性能指標(biāo)1.上升時(shí)間tr2.峰值時(shí)間tp3.最大超調(diào)量Mp4.調(diào)整時(shí)間ts5.振蕩次數(shù)N靈敏度、快速性、振蕩性能1.

上升時(shí)間tr欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需要的時(shí)間。當(dāng)ξ一定時(shí)，ωn

tr；當(dāng)ωn一定時(shí)，ξ

tr；tr靈敏度

特點(diǎn)2.

峰值時(shí)間tp欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第一次達(dá)到峰值所需要的時(shí)間。tp是有阻尼振蕩周期2π/ωd

的一半。當(dāng)ξ一定時(shí)，ωn

tp；當(dāng)ωn一定時(shí)，ξ

tp；tp靈敏度

特點(diǎn)tp是有阻尼振蕩周期2π/ωd

的一半。3.

最大超調(diào)量Mp

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差，再與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)。Mp只與阻尼比ξ有關(guān)，反映系統(tǒng)的阻尼特性。ξ=0.4～0.8時(shí)，相應(yīng)的Mp=25%～1.5%

。ξ

MP，系統(tǒng)振蕩得越劇烈

。特點(diǎn)4.

調(diào)整時(shí)間ts

在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值上下取±△（一般取2%或5%）倍的穩(wěn)態(tài)值作為誤差帶。響應(yīng)曲線達(dá)到并不再超出誤差帶范圍所需要的時(shí)間。當(dāng)當(dāng)△=2%，ξ=0.76時(shí)，ts為最小。當(dāng)△=5%，ξ=0.68時(shí)，ts為最小。最佳阻尼比特點(diǎn)5.

振蕩次數(shù)N

在過渡過程時(shí)間0≤t≤ts內(nèi)，xo(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值xo(∞)

次數(shù)的一半。當(dāng)（數(shù)值向上圓整）N只與阻尼比ξ有關(guān)，反映系統(tǒng)的阻尼特性。ξ

N

，系統(tǒng)振蕩得越平緩

，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。特點(diǎn)結(jié)論：1.二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ξ決定。通常根據(jù)系統(tǒng)允許的最大超調(diào)量Mp來確定

。2.二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能間往往存在矛盾。一般選擇=0.4~0.8，然后再調(diào)整n以獲得合適的ts

。ωn不變

ξ，Mp

，即

相對穩(wěn)定性、振蕩性能；ξ不變

ωn，Mp不變，tr、tp、ts

均

，即快速性和靈敏度。且當(dāng)ξ

≤0.7時(shí)，ξts

，tr、tp

；即快速性，但靈敏度；

當(dāng)ξ

＞0.7時(shí)，ξ

ts、tr、tp

均；即快速性和靈敏度均。最佳阻尼比ξ=0.707二、二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算舉例例3.3設(shè)系統(tǒng)的方框圖如下圖所示，其中ξ=0.6，ωn=5rad/s。當(dāng)有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)時(shí)，求其性能指標(biāo)tp、Mp和ts。解：由圖知該系統(tǒng)是典型二階系統(tǒng)。由已知條件和相關(guān)性能指標(biāo)公式，得：例3.4如圖(a)所示的機(jī)械系統(tǒng)，在質(zhì)塊m上施加，xi(t)=8.9N階躍力后，m的時(shí)間響應(yīng)xo(t)如圖(b)所示，試求系統(tǒng)的m,k和c值。解：分析已知條件。1）建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型該系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)。2）求k由圖(b)知3）求m由圖(b)可得，4）求c例3.5有一位置隨動系統(tǒng)，其方框圖如下圖(a)所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)，Mp≤5%，試（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在(a)系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋，如圖(b)示，求其時(shí)間常數(shù)τ。解：(1)分析圖(a)，該系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，此時(shí)，所以系統(tǒng)(a)的各參數(shù)不滿足Mp≤5%的性能要求；(2)分析圖(b)，該系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，為滿足條件Mp≤5%

，由當(dāng)系統(tǒng)加入微分負(fù)反饋時(shí)，相當(dāng)于增大了系統(tǒng)的阻尼比ξ，改善了系統(tǒng)的振蕩性能，即減小了Mp，但并未改變ωn。結(jié)論3.6系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算誤差：以輸出端為基準(zhǔn)定義準(zhǔn)確性—即系統(tǒng)的精度，是對控制系統(tǒng)的基本性能要求之一。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的性能指標(biāo)。一、系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差ε(t)誤差—理想輸出值與實(shí)際輸出的差;偏差：以輸入端為基準(zhǔn)定義偏差與誤差的關(guān)系：特別，當(dāng)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)偏差：二、誤差e(t)的一般計(jì)算其中，三、與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差其中K—開環(huán)增益；ν—系統(tǒng)型次；n—系統(tǒng)階次；ν—串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，也稱系統(tǒng)無差度，表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。ν＞2時(shí)系統(tǒng)難穩(wěn)定。工程上一般規(guī)定ν=0,1,2，為0型,Ⅰ型,Ⅱ型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差εss與系統(tǒng)的型次、開環(huán)增益、輸入信號有關(guān)。其中，位置無偏系數(shù)0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)有差，KεssⅠ、Ⅱ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)無差K或νεss,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；但ν

穩(wěn)定性,

K

相對穩(wěn)定性。