2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁(yè)2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若，則的值為()

A.B.C.D.

2.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為()

A.B.C.D.

3.函數(shù)的部分圖象大致為()

A.B.

C.D.

4.如圖，在中，為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且若，則()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，則()

A.B.C.D.

6.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)在上單調(diào)遞增

C.若，則

D.函數(shù)的最小值為

7.如圖等腰直角三角形，，以為直徑作一半圓，點(diǎn)為半圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是()

A.

B.

C.

D.

8.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若，則的最小值為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是()

A.B.C.D.

10.函數(shù)的部分圖像如圖所示，若函數(shù)的圖像由圖像向左平移個(gè)單位得到，則關(guān)于函數(shù)的描述正確的是()

A.

B.

C.函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)

D.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)

11.窗花是貼在窗子或窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則()

A.與能構(gòu)成一組基底

B.

C.在向量上的投影向量的模為

D.的最大值為

12.由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得()

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若，則______．

14.已知向量，，且與垂直，則______．

15.函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恰好取得一次最小值，則的取值范圍是______．

16.已知非零向量，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量，．

若，求的值；

若，求的值．

18.本小題分

已知函數(shù)．

求函數(shù)的最小正周期，最大值及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；

如果，求的取值范圍．

19.本小題分

已知函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，且圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為．

求函數(shù)的解析式；

設(shè)，，且，若，求的值．

20.本小題分

設(shè)是半徑為的圓內(nèi)接正邊形，是圓上的動(dòng)點(diǎn)．

求的取值范圍；

試探究是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

21.本小題分

如圖，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，設(shè)．

求的值；

若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

在的條件下，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．

22.本小題分

某小區(qū)地下車(chē)庫(kù)出入口通道轉(zhuǎn)彎處是直角拐彎雙車(chē)道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車(chē)道寬為米現(xiàn)有一輛汽車(chē)，車(chē)體的水平截面圖近似為矩形，它的寬為米，車(chē)體里側(cè)所在直線(xiàn)與雙車(chē)道的分界線(xiàn)相交于、，記．

若汽車(chē)在轉(zhuǎn)彎的某一刻，，都在雙車(chē)道的分界線(xiàn)上，直線(xiàn)恰好過(guò)路口邊界，且，求此汽車(chē)的車(chē)長(zhǎng)；

為保證行車(chē)安全，在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎時(shí)，車(chē)體不能越過(guò)雙車(chē)道分界線(xiàn)，求汽車(chē)車(chē)長(zhǎng)的最大值；

某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了里側(cè)車(chē)道的平均道路通行密度輛，統(tǒng)計(jì)如下：

時(shí)間：：：：：

里側(cè)車(chē)道通行密度

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：

；

，

請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的函數(shù)模型來(lái)描述里側(cè)車(chē)道早七點(diǎn)至八點(diǎn)的平均道路通行密度單位：輛與時(shí)間單位：分的關(guān)系其中為：至：所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，例如：即分，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

則．

故選：．

由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．

本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，即，

則．

故選：．

由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．

本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，有?/p>

函數(shù)為奇函數(shù)，排除，

在區(qū)間上，，，

在區(qū)間上，，，排除，

故選：．

根據(jù)題意，用排除法分析：分析函數(shù)的奇偶性排除，分析函數(shù)值的符號(hào)排除，即可得答案．

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由可得，

所以

，

，．

故選：．

由已知，點(diǎn)是線(xiàn)段的一個(gè)四等分點(diǎn)，得出與的關(guān)系，再由向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求得，的值．

本題考查平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，

所以將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，

得，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象．

故選：．

由題意將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的的圖象，從而可求出的解析式．

本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：，

的圖像如圖所示．

對(duì)于，因?yàn)?，所以?duì)；

對(duì)于，根據(jù)圖像知錯(cuò)；

對(duì)于，當(dāng)，，，但，，所以錯(cuò)；

對(duì)于，根據(jù)圖像知錯(cuò)．

故選：．

根據(jù)對(duì)稱(chēng)條件判斷；根據(jù)圖像判斷；舉反例判斷；根據(jù)圖像判斷．

本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，

點(diǎn)在圓的左上半圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)，

則，

即，

則，

即的最大值是．

故選：．

由圓的方程，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．

本題考查了圓的方程，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：因?yàn)闉檩o助角的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

所以，

解得，

所以，，

若，則的最小值為．

故選：．

由已知利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性先求出，再由正弦函數(shù)的周期性可求．

本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，周期性及最值取得條件的應(yīng)用，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，函數(shù)為偶函數(shù)，又時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A符合題意；

對(duì)于，，且函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

且函數(shù)在上單調(diào)遞減，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B符合題意；

對(duì)于，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C不符合題意；

對(duì)于，記，

則，，

函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不符合題意．

故選：．

逐項(xiàng)研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：由圖象知，則，

，，得，

，，

則，

由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得，

得，得，

則，

將圖像向左平移個(gè)單位得到，

則，故A錯(cuò)誤，B正確，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故C正確，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故D正確，

故選：．

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)圖象變換得到的解析式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)條件求函數(shù)和的解析式，利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．

11.【答案】

【解析】解：連接，

，，

，，

，

以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，

，

，

與平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯(cuò)誤；

，，，，

，B正確；

，，，

在向量上的投影向量的模長(zhǎng)為，C正確；

取的中點(diǎn)，則，，

，，

兩式相減得：，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，

最大值為，

的最大值為，D正確．

故選：．

選項(xiàng)，作出輔助線(xiàn)，證明出，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與平行，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)，求出得到B正確；

選項(xiàng)，求出，，利用投影向量的計(jì)算公式求出答案；

選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，得到，求出的最大值，從而得到的最大值．

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的共線(xiàn)定理，投影向量的定義，函數(shù)思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于，，則，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，，則，故B正確；

對(duì)于，由于，即，變形可得，即，

解可得：或舍，則有，即，C正確；

對(duì)于，由的結(jié)論，，則，D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)題意，結(jié)合切比雪夫多項(xiàng)式的方法依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

利用誘導(dǎo)公式，即可得出答案．

本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，向量，，

且，，

若與垂直，則，

解可得：，

故答案為：．

根據(jù)題意，求出與的坐標(biāo)，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得關(guān)于的方程，解方程可得答案．

本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由題意可得，可得，

因?yàn)?，所以?/p>

解得；

因?yàn)樯锨『萌〉靡淮巫钚≈担?/p>

則，

所以，解得，

又因?yàn)樯鲜菧p函數(shù)，則，

則且，

解得且，即，

因?yàn)椋?/p>

綜上所述：的取值范圍為：

故答案為：

由在上是減函數(shù)，可得的范圍，再由在上恰好取得一次最小值，可得的范圍，進(jìn)而求出的范圍．

本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，

對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，

對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，

，

，

即，

即，

，，

當(dāng)，即時(shí)，等式成立，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，令，，

此時(shí)是以為斜邊的直角三角形，

，此時(shí)，

綜上，的取值范圍為．

故答案為：．

將條件式兩邊同時(shí)平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，再求解即可．

本題考查向量和一元二次不等式恒成立的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

17.【答案】解：向量，，，

，，

，．

，，，

，

，，

，，

．

【解析】由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解；

將已知條件兩邊同時(shí)平方，可得，由向量垂直的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合，求出的值，再由余弦的二倍角公式即可求解．

本題考查平面向量的運(yùn)算，考查向量平行、向量垂直、向量的模、向量數(shù)量積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、余弦二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

18.【答案】解：

分

的最小正周期．

當(dāng)，時(shí)，取得最大值分

由，得，

，

的值域?yàn)榉?/p>

【解析】利用三角函數(shù)的倍角公式與輔助角公式將轉(zhuǎn)化為，即可求得函數(shù)的最小正周期，最大值及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；

由可求得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．

本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為，

，即，即，得，

則，

的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，

，，得，，

，當(dāng)時(shí)，，

則

當(dāng)，，，

設(shè)，則函數(shù)，則上的對(duì)稱(chēng)軸為，

由，得，

即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

，，

即，

則．

【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，求出和的值即可．

求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出，然后代入求值即可．

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．

20.【答案】解：

是半徑為的圓內(nèi)接正邊形，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)，重合時(shí)，，

當(dāng)是直徑時(shí)，，即，

即的取值范圍是．

是半徑為的圓內(nèi)接正邊形，

，

則，為定值．

【解析】利用向量加法和減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

利用向量長(zhǎng)度與向量數(shù)量積關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

本題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，根據(jù)向量加法和減法法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．

21.【答案】解：由題意知：，，

；

由得：，

令，

解得：，

的單調(diào)遞增區(qū)間為；

由得：，

令，則，

是開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，

當(dāng)，即時(shí)，，解得：，

當(dāng)，即時(shí)，，解得：，

綜上所述：或．

【解析】由三角函數(shù)定義可得，，將直接代入即可求得；

由可得，根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可求得結(jié)果；

結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，采用換元法可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，討論對(duì)稱(chēng)軸位置即可利用最小值構(gòu)造方程求得的值．

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．

22.【答案】解：作，垂足為，作，垂足為，

因?yàn)?，所以?/p>

在中，，在中，，

在中，，在中，，

所以米，

所以當(dāng)時(shí)，汽車(chē)車(chē)長(zhǎng)為米；