轉(zhuǎn)化與化歸思想分類討論思想【全國一等獎】

第2講轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想[思想概述]轉(zhuǎn)化化歸思想的基本內(nèi)涵是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常將待解決的數(shù)學(xué)問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一問題B，而問題B是相對較容易解決的或已經(jīng)有固定解決模式的問題，且通過問題B的解決可以得到原問題A的解．用框圖可直觀地表示為：轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性，等價轉(zhuǎn)化策略就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法．通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題．在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證．預(yù)測2016年高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查的基本類型和重點為：(1)常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等；(2)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：如解析幾何中的斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等；(3)數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化．[類型講解]類型一具體與抽象、特殊與一般的轉(zhuǎn)化【例1】

已知f(θ)＝sin2θ＋sin2(θ＋α)＋sin2(θ＋β)，問是否存在常數(shù)α，β，滿足0≤α＜β≤π，使得f(θ)為與θ無關(guān)的定值．

規(guī)律方法(1)由于題目中的參數(shù)和變量較多，所以直接求解難以入手，因此對參數(shù)θ取特殊值，進(jìn)行推理求解．(2)當(dāng)問題難以入手時，可以先對特殊情況或簡單情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，并加以證明．解假設(shè)存在適合條件的m，由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)＝0.又在[0，＋∞)上是增函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù)．由題設(shè)條件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞0.又由f(x)為奇函數(shù)，可得f(cos2θ－3)＞f(2mcosθ－4m)，∴cos2θ－3＞2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0.規(guī)律方法(1)本題正確求解的關(guān)鍵有三點：①去對應(yīng)法則“f”，②將“cosθ”用“t”代換，將較復(fù)雜的三角函數(shù)不等式化為二次不等式，③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值．(2)在求解過程中，①切記注意t∈[0,1]，②分離參數(shù)注意不等式的性質(zhì)，不要弄錯不等號的方向．對于形式較復(fù)雜的式子，我們常通過更換某個(或某部分)變量的方法轉(zhuǎn)化為相對簡單易解的問題．(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.證明(1)連接A1B，設(shè)A1B與AB1交于E，連接DE.∵點D是BC中點，點E是A1B中點，∴DE∥A1C，∵A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.∴∠BDB1∠＝BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°，∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.規(guī)律方法(1)根據(jù)問題的特點轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題的常用思路．(2)本題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，三維降為二維，難度降低，易于解答．二、分類討論思想[思想概述]分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度．分類討論的常見類型：

(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．(3)由數(shù)學(xué)運算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負(fù)，對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式)的運算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同等．

(4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系需討論，如二次函數(shù)圖象的開口方向，點、線、面的位置關(guān)系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等．分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點．考查的重點是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式(方程)問題，與等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的計算推理，點、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等．規(guī)律方法(1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對應(yīng)關(guān)系不同，必需進(jìn)行討論．由數(shù)學(xué)定義引發(fā)的分類討論一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問題要求熟練掌握并理解概念的內(nèi)涵與外延．(2)在數(shù)學(xué)運算中，有時需對不同的情況作出解釋，就需要進(jìn)行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等．

規(guī)律方法(1)本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關(guān)系，需按直角頂點不同的位置進(jìn)行討論．(2)涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論．類型三由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論【例3】

已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.規(guī)律方法(1)利用等比數(shù)列的前n項和公式時，需要分公比q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項和公式?jīng)Q定的．一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論．(2)由性質(zhì)、定理、公式等引起的討論，主要是應(yīng)用的范圍受限時，存