一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

北師大版九年級(jí)上冊(cè)第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的求根公式思考：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c還有其它關(guān)系嗎？2用判別式b2-4ac來(lái)判斷一元二次方程根的情況？對(duì)一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.解下列方程：(1)x2-2x+1=0;二、探究新知(3)2x2-3x+1=0因式分解配方法公式法方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x+1=02x2-3x+1=0112-1-11思考：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？二、探究新知思考：對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都成立嗎？證明：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，則二、探究新知二、探究新知證明：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，則一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，那么1.滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.二、探究新知2.注意符號(hào)問(wèn)題

方程

x1+x2

x1·x2

x2-3x+1=02x2-9x+5=01.不解方程，寫出下列方程兩個(gè)根的和與兩個(gè)根的積：31鞏固理解鞏固理解2.判斷方程的根是否正確(1)x2-5x+4=0；

解得x1=1，x2=4(2)2x2-3x-1=0；

解得x1=3，x2=X解:(1)x1+x2=-5,

x1●

x2=4(2)x1+x2=,

x1●

x2=X例1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.三、典例精析（2）2x2-3x-2=0.解：這里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.三、典例精析例1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.例2：已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.解：設(shè)方程5x2+kx-6=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，

其中x1=2

.∴x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一個(gè)根是，k=-7.三、典例精析例3：已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的兩根，(1)求x12+x22的值(2)求(x1-x2)2的值三、典例精析解：由題意，得

x1+x2=4，x1·x2=1

∴x12+x22=

(x1+x2)2-

2x1x2=16-2×1=14∴(x1-x2)2=

(x1+x2)2-4x1x2=16-4×1=12總結(jié)常見(jiàn)的求值:(2)(x1-x2)2(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

(x1+x2)2-4x1x2(1)x12

+x22=

(x1+x2)2-2x1x2

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.四、課堂檢測(cè)1.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是()A.-10B.10C.-16D.16A四、課堂檢測(cè)2.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax-2b=0的兩實(shí)數(shù)根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，則ba的值是（）A.1/4B.-1/4C.4D.-1A3.若方程x2-4x-1=0的兩根分別是x1，x2，則x21+x22的值為（）A.6B.-6C.18D.-18四、課堂檢測(cè)C4.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：（1）x2+3x-1=0;

（2）2x2-4x+1=0.解：(1)這里a=1,b=3,c=-1.

Δ

=b2

-4ac=32-4×1×(-1)=13>0∴有實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-3,x1x2=-1.四、課堂檢測(cè)4.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：（1）x2+3x-1=0;

（2）2x2-4x+1=0.解：(2)這里a=2,b=-4,c=1.

Δ

=b2

-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0∴有實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=2,x1x2=.四、課堂檢測(cè)5.已知方程3x2-18x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值.解：設(shè)方程3x2-18x+m=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=1.

∴x1+x2=1+x2=6，即：x2=5

.

由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一個(gè)根是5，m=15.三、典例精析6.設(shè)x1,x2是方程3x2+4x–3=0的兩個(gè)根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）四、課堂檢測(cè)7.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求m的取值范圍；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個(gè)根，且x21+x22=8，求m的值.三、典例精析解:(1)∵方程x2+2x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=22-4×1×2m=4-8m＞0，解得m＜.∴m的取值范圍為m＜.(2)∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=-2，x1·x2=2m.∴x21+x22=（x1+x2)2-2x1·x2=4-4m=8，解得m=-1.當(dāng)m=-1時(shí)，Δ=4-8m=12＞0.∴