2023年三門峽市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量，且，則（）A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．652．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．在極坐標(biāo)中，O為極點(diǎn)，曲線C：ρ=2cosθ上兩點(diǎn)A、A．34 B．34 C．34．若，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．46．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．對于一個數(shù)的三次方，我們可以分解為若干個數(shù)字的和如下所示：…，根據(jù)上述規(guī)律，的分解式中，等號右邊的所有數(shù)的個位數(shù)之和為（）A．71 B．75 C．83 D．888．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且滿足，則的離心率滿足（）A． B． C． D．9．若是的增函數(shù),則的取值范圍是()A． B． C． D．10．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．11．學(xué)校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學(xué)校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直三棱柱中，.有下列條件：①；②；③.其中能成為的充要條件的是__________．（填上序號）14．某一批花生種子，如果每粒發(fā)芽的概率為，那么播下粒這樣的種子恰有粒發(fā)芽的概率是__________．15．如圖，把數(shù)列中的所有項(xiàng)按照從小到大，從左到右的順序?qū)懗扇鐖D所示的數(shù)表，且第行有個數(shù).若第行從左邊起的第個數(shù)記為，則2019這個數(shù)可記為______.16．已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，且面積的最大值為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，過作的垂線交橢圓于，兩點(diǎn).證明：直線平分線段.18．（12分）盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球（Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列.19．（12分）的展開式一共有13項(xiàng).（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．21．（12分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.月收入（單位百元）頻數(shù)贊成人數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有的把握認(rèn)為“月收入以元為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；月收入不低于百元的人數(shù)月收入低于百元的人數(shù)合計贊成__________________________________________不贊成__________________________________________合計__________________________________________（2）若對在、的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考值表：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】由題得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.3、A【解析】

將A、B兩點(diǎn)的極角代入曲線C的極坐標(biāo)方程，求出OA、OB，將A、B的極角作差取絕對值得出∠AOB，最后利用三角形的面積公式可求出ΔAOB的面積。【詳解】依題意得：A3,π6、所以SΔAOB=1【點(diǎn)睛】本題考查利用極坐標(biāo)求三角形的面積，理解極坐標(biāo)中極徑、極角的含義，體會數(shù)與形之間的關(guān)系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面積公式求解弦長、角度問題以及面積問題，能起到簡化計算的作用。4、A【解析】

對于A，用不等式的性質(zhì)可以論證，對于B，C，D，列舉反例，可以判斷．【詳解】∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故結(jié)論A成立；取a＝﹣2，b＝﹣1，則∵，∴B不正確；，∴，∴C不正確；，，∴，∴D不正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用不等式的性質(zhì)，對于不正確結(jié)論，列舉反例．5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及虛部定義求解即可【詳解】由，得，所以虛部為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部，考查運(yùn)算求解能力.6、B【解析】

由題意得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，即可作出解答.【詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)坐標(biāo)的表示，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個正奇數(shù)，因此，，故所有數(shù)的個位數(shù)之和為83.【詳解】觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個正奇數(shù)，所以的分解式中第一個數(shù)為，最后一個是，因此，所有數(shù)的個位數(shù)之和為83，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的歸納推理能力。8、D【解析】分析：聯(lián)立圓與漸近線方程，求得M的坐標(biāo)，由，得點(diǎn)在雙曲線右支上，代入雙曲線方程化簡即可求．詳解：由，得，即，由，，即由，化簡得，即，故選D.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．9、A【解析】

利用函數(shù)是上的增函數(shù)，保證每支都是增函數(shù)，還要使得兩支函數(shù)在分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小，即，然后列不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由于函數(shù)是的增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，即；且有，即，得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)，在求解分段函數(shù)的單調(diào)性時，要注意以下兩點(diǎn)：（1）確保每支函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)的單調(diào)性一致；（2）結(jié)合圖象確保各支函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系．10、C【解析】

設(shè)正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進(jìn)而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【詳解】如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，設(shè)其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求得表面積與體積的計算問題，同時考查了組合體及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用球的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由題意可知這是一個分類計數(shù)問題.一類是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計數(shù)原理，求出學(xué)校不同的選派方法的種數(shù).【詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時，有種方法,故學(xué)校不同的選派方法有，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了分類計數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論思想.12、C【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布求對應(yīng)概率【詳解】，所以選C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】分析：由題意，對所給的三個條件，結(jié)合直三棱柱中，，作出如圖的圖象，借助圖象對的充要條件進(jìn)行研究.詳解：若①，如圖取分別是的中點(diǎn)，可得，由直三棱柱中，可得都垂直于側(cè)面，由此知都垂直于線，又，所以平面，可得，又由是中點(diǎn)及直三棱柱的性質(zhì)知，故可得，再結(jié)合垂直于線，可得面，故有，故①能成為的充要條件，同理③也可，對于條件②，若，可得面，，若，由此可得平面形，矛盾，故不為的充要條件，綜上，①③符合題意，故答案為①③.點(diǎn)睛：本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.14、【解析】分析：每1粒發(fā)芽的概率為，播下3粒種子相當(dāng)于做了3次試驗(yàn)，由題意知獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)服從二項(xiàng)分布，即，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率求法，求出結(jié)果．詳解：：∵每1粒發(fā)芽的概率為定值，播下3粒種子相當(dāng)于做了3次試驗(yàn)，

由題意知獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)服從二項(xiàng)分布即即答案為．點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布要滿足的條件是每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．15、【解析】

前行用掉個自然數(shù)，由可判斷2019所在行，即可確定其位置.【詳解】因?yàn)榍靶杏玫魝€自然數(shù)，而，

即2019在11行中，又第11行的第1個數(shù)為，

則2019為第11行的第個數(shù)，即第996個數(shù)，

即，，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，等比數(shù)列求和，屬于中檔題．16、-1【解析】

計算的值，找出周期，根據(jù)余數(shù)得到答案.【詳解】依次計算得：….周期為32019除以3余數(shù)為0，故答案為-1【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的相關(guān)知識，計算數(shù)據(jù)找到周期規(guī)律是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解析】分析：（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓方程.（2）由題意設(shè)，，，線段的中點(diǎn).則，①易知平分線段；②，，因點(diǎn)，在橢圓上，根據(jù)點(diǎn)差法整理得，所以，直線平分線段.詳解：解：（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)時面積最大.∴有，解得，故橢圓的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，，，線段的中點(diǎn).則，，由（Ⅰ）可得，則直線的斜率為.當(dāng)時，直線的斜率不存在，由橢圓性質(zhì)易知平分線段，當(dāng)時，直線的斜率.∵點(diǎn)，在橢圓上，，整理得：，又，，∴，直線的斜率為，∵直線的斜率為，∴直線平分線段.點(diǎn)睛：題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點(diǎn)在一起時，就要想到“點(diǎn)差法”.（1）設(shè)點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（2）把代入曲線的方程，并作差，利用平方差公式對結(jié)果因式分解，得到與兩點(diǎn)斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程，再根據(jù)具體題干內(nèi)容進(jìn)行分析.（3）點(diǎn)差法常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求（過定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線、定值問題。18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）可以求其反面，一個紅球都沒有，求出其概率，然后求取出的1個球中至少有一個紅球的概率，從而求解；（Ⅱ）可以記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，求出事件B和C的概率，從而求出1個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1，分別求出其概率【詳解】解：（Ⅰ）取出的1個球中至少有一個紅球的概率：（1分）（Ⅱ）記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則．…（6分）（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1．…（7分），，，．…（11分）ξ的分布列為：ξ0121P考點(diǎn)：1古典概型概率;2分布列19、（1）；（2）7920【解析】

先由的展開式一共有13項(xiàng)得，則直接可得（1）的結(jié)果，（2）根據(jù)展開式的通項(xiàng)，令，即可求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】解：由的展開式一共有13項(xiàng)得，（1）由得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為；（2）由得展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，其中的展開式通項(xiàng)的熟練運(yùn)用是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）見解析【解析】

由橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，列方程給，求出，，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，由，得，由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．【詳解】橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點(diǎn)，不滿足題意，直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，，則，，，要使對任意實(shí)數(shù)k，為定值，則只有，此時，，在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足兩直線的斜率和為定值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、斜率、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．21、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：（1）每個學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程，每一個人都有4種選擇，共有，名學(xué)生選學(xué)課程互