太原理工微積分與數(shù)學(xué)模型10年修改版第二章理工大高數(shù)

第二節(jié) 函數(shù)的極限~

函數(shù)極限的定義二 函數(shù)極限的性質(zhì)一、函數(shù)極限的定義本節(jié)仿照數(shù)列極限討論給出函數(shù)極限，先給出函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近某個(gè)確定常數(shù)，那么這一確定常數(shù)就叫作在這一過程中函數(shù)的極限。函數(shù)的極限與自變量的變化過程有關(guān)。自變量的變化過程不同，函數(shù)極限的形式就不同。主要研究?jī)煞N情形：1.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量

x

fi

￥

表示

x

fi

+￥

及x

fi

-￥

，對(duì)正數(shù)X

，|

x

|>

X

表示

x

>

X

及

x

<-X定義1

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式|

x

|>X

的一切x

，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f

(x)都滿足不等式|

f

(x)-A

|<e，那么常數(shù)A

就叫函數(shù)f

(x)當(dāng)x

fi

￥

時(shí)的極限，記作xfi

￥lim

f

(

x)

=

A2)x

fi-￥

情形:lim

f

(

x)

=

Ax

fi

-￥"e

>0,$X

>0,使當(dāng)x

<-X時(shí),恒有f

(x)-A

<e1)x

fi+￥

情形:"e

>0,$X

>0,使當(dāng)x

>X時(shí),恒有f

(x)-A

<elim

f

(

x)

=

Ax

fi

+￥另兩種情形lim

f

(

x)

=

Axfi

￥lim

f

(

x)

=

A且

lim

f

(

x)

=

Axfi

+￥

xfi

-￥結(jié)論幾何解釋--

XX當(dāng)x

<

-

X或x

>

X時(shí),

函數(shù)

y

=

f

(

x)圖形完全落在以直線y

=

A為中心線,

寬為2e的帶形區(qū)域內(nèi)y

=

sin

xxAxy

=

sin

x例1xxfi

￥證明lim

sin

x

=0證：

sin

x

-

0

=

sin

x

<

1

<

1

=x

x

x

Xe"e>0,

取X

=1

,則當(dāng)

x

>

X時(shí)恒有-

0

<

e,xsin

xxsin

x故lim

=

0xfi

￥定義如果lim

f

(x)=c,則直線y

=c是函數(shù)xfi

￥y

=f

(x)的圖形的水平漸近線。例2證明lim(e

-x

+1)=1xfi

+￥證明：

因?yàn)?/p>

e-x

+1

-1

=

e-x

"

e>

0,要使

e-

x

+

1

-

1

<

e,

即e-

x

<

e也即

x

>

ln

1

故取

X

=

ln

1則當(dāng)

x>

X時(shí)恒有

e-x

+

1

-1

<

e所以

lim

(

e

-

x

+

1)

=

1x

fi

+￥2.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限考慮自變量

x

趨近于有限值

x0

，記這一變化過程為x

fix0仿照數(shù)列極限的定義，給出x

fi數(shù)的極限的定義。x0

時(shí)函"

e

>

0,

$d

>

0,

使當(dāng)0

<

x

-

x0

<

d

時(shí),恒有

f

(

x

)

-

A

<

e成立。lim

f

(

x)

=

Axfi

x0“e

-d

”定義就叫函數(shù)f

(x)當(dāng)x

fi定義2

設(shè)函數(shù)

f

(

x)在點(diǎn)

x0

的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小），總存在正數(shù)d

，使得對(duì)于適合不等式0

<|

x

-

x

|<

d

的一切

x

,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f

(x)0都滿足不等式|

f

(

x)

-

A

|<

e

，那么常數(shù)

Ax

時(shí)的極限，記作0或

f

(

x)

fi

A

(

x

fi

x0

)y

=

f

(

x)A

-

eA

+

eAx0

-dx0

+dx0ddxyo寬為2e的帶形區(qū)域內(nèi)圖形完全落在以直線y

=A為中心線,域時(shí),函數(shù)y

=f

(x

)0當(dāng)x在x

的去心

d鄰3)

幾何解釋注:1)

函數(shù)極限與f

(x)在點(diǎn)x0是否有定義無關(guān)；2)d與任意給定的正數(shù)e有關(guān)；顯然,找到一個(gè)d后,d越小越好例3證明lim(3

x

-1)=2xfi

1證：因?yàn)閨

f

(

x)

-

A

|=|

(3

x

-

1)

-

2

|=

3(

x

-

1)為使對(duì)于任意給定的正數(shù)，有3

|

x

-1

|<e3只要|

x

-1

|<e

,所以對(duì)任意3>0

，取d

=e則當(dāng)x

適合不等式0

<|x

-1

|<d

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f

(x)就滿足不等式|

f

(

x)

-

A

|=|

(3

x

-

1)

-

2

|<

elim(3

x

-

1)

=

2x

fi

1所以所以

lim

x

=

x0xfi

x00證：

f

(

x)

-

A

=

x

-

x任給e

>0,x0e}當(dāng)0

<

x

-

x0

<

d

時(shí)0x

-

x0x

+

x=要使f

(x)-A

<e取d

=min{

x0

,就有

x-

x0

<

e0xx

-

x￡

0只要

x

-

x0

<

x0ex

=

x0xfi

x0例4

證明當(dāng)x0

>

0時(shí),

lim討論單側(cè)極限驗(yàn)證lim

f

(

x

)

=

2xfi

02x

<

0x

+

2

x

?

0設(shè)f

(x)=

2

-xy

=

2

-

xyoy=

x2

+

2x2分x

>0和x

<0兩種情況分別討論x從左側(cè)無限趨近

0,

函數(shù)值無限接近于2x從右側(cè)無限趨近0,函數(shù)值無限接近于2左極限"e

>0,$d

>0,使當(dāng)x0

-d

<x

<x0時(shí),注意

{

x

0

<

x

-

x0

<

d}={

x

0

<

x

-

x0

<

d}

{

x

-

d

<

x

-

x0

<

0}xfi

x

-0右極限

"

e

>

0,

$d

>

0,

使當(dāng)

x0

<

x

<

x0

+

d

時(shí),恒有f

(x

)-A

<e恒有f

(x

)-A

<e記作

lim

f

(

x)

=

A

或

f

(

x0

-

0)

=

A+xfi

x0記作

lim

f

(

x)

=

A

或

f

(

x0

+

0)

=

Ayx1-

1oxfi

0左右極限存在但不相等，\lim

f

(x)不存在xx驗(yàn)證lim

不存在xfi

0例5x-

xxx

fi

-0

xlim

=

limx

fi

-0證：=

lim

(-1)

=

-1x

fi

-0xx

fi

+0

x

x

+0lim

x

=

lim

x

=

lim

1

=

1x

fi

+0f

(

x0

-

0)

=

f

(

x0

+

0)

=

Alim

f

(

x)

=

Axfi

x0結(jié)論二、函數(shù)極限的性質(zhì)局部有界性定理

若在某個(gè)過程下

,

f

(

x)有極限,則存在過程的某一時(shí)刻,在此時(shí)刻以后

f

(

x)有界。唯一性定理若lim

f

(x)存在，則極限唯一。若lim

f

(x)=A,且A

>0(或A

<0),則$d

>0，xfi

x0當(dāng)x

?

U

0

(

x

,d

)時(shí),

f

(

x)

>

0(或f

(

x)

<

0)0推論定理(保號(hào)性)f

(x)?0(或f

(x)￡

0),則A

?0(或A

￡

0)00xfi

x0若lim

f

(x)=A,且$d

>

0,當(dāng)x

?

U

(

x

,d

)時(shí),3.局部保號(hào)性4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)0

0

0有數(shù)列

{xn

}(

xn

?

a),

使得n

fi

￥

時(shí)xn

fi

a，則稱數(shù)列{f

(xn

)}即f

(x1

),f

(x2

),,f

(xn

),為函數(shù)f

(x

)當(dāng)x

fi

a時(shí)的子列。定義

設(shè)在過程

x

fi

a(a可以是x

,

x

+

,

或x

-

)中nfi

￥當(dāng)x

fi

a時(shí)的一個(gè)子列,則有l(wèi)im

f

(xn

)=Axfi

a若lim

f

(x)=A,數(shù)列{f

(xn

)}是f

(x)定理xy

=

sin

x例如,

limxfi

0=

1sin

xxlim