第7課時一元二次方程及其應(yīng)用

第7課時一元二次方程及其應(yīng)用中考考點(diǎn)清單考點(diǎn)一一元二次方程及其解法1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①_____的整式方程叫做一元二次方程.2.一般形式為:ax2+bx+c=0(其中a、b、c為常數(shù)，a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).23.一元二次方程必須具備三個條件：（1）必須是整式方程；（2）必須只含有一個未知數(shù)；（3）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.4.一元二次方程的解法（1）直接開平方法形如（x±m(xù)）2=n（n≥0）的方程，可直接開方求解（2）因式分解法可化為（ax+m）（bx+n）=0的方程，用因式分解法求解（3）公式法求根公式：x=②____________（b2-4ac≥0）（4）配方法若ax2+bx+c=0不易于分解因式，可考慮配方為a（x+h）2=k，再直接開方求解考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系（2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容）如何利用判別式確定實(shí)根的個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式b2-4acb2-4ac③___0時，方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根；b2-4ac④___0時，方程有兩個相等實(shí)數(shù)根；b2-4ac⑤___0時，方程無實(shí)數(shù)根>=<根與系數(shù)關(guān)系若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1,x2x1+x2=x1x2=【溫馨提示】利用根的判別式可以判別一元二次方程根的情況，也可以由方程根的情況確定方程中字母系數(shù)的符號；進(jìn)行根的情況的判別時方程必須化為一般形式.考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用（高頻考點(diǎn)）

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟一樣，分審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步.2.列一元二次方程解應(yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類和利潤類問題是?？純?nèi)容：(1)增長率等量關(guān)系：A.增長率＝×100％；B.設(shè)a為原來量，當(dāng)m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量時，則有a(1+m)n＝b；當(dāng)m為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時，則有a(1-m)n＝b.增長量基礎(chǔ)量(2)利潤等量關(guān)系：A.利潤＝售價-成本；B.利潤率＝×100％.成本利潤常考類型剖析典例精講類型一解一元二次方程例1解方程:x2-4x+2=0.解法一（公式法）：∵a=1，b=-4，c=2，b2-4ac=(-4)2-8=8>0，∴x∴x1=2+，x2=.解法二（配方法）：x2-4x=-2，x2-4x+4=2.(x-2)2=2，∴x-2=或x-2=-.∴x1=2+,x2=2-.用配方法解一元二次方程【歸納總結(jié)】1.解一元二次方程需仔細(xì)審題，針對題目特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê啽憬獬?選擇解法的一般順序是：直接開平方法→因式分解法→配方法→公式法.2.本考點(diǎn)主要的思想方法是：降次轉(zhuǎn)化法、換元法以及配方法等數(shù)學(xué)思想.針對演練1.一元二次方程x2=4x+5的解是（）A.5B.5或-1C.-1D.此方程無實(shí)數(shù)解B【解析】原方程變形為：x2-4x-5=0,即（x-5）（x+1）＝0，解得：x＝5或x＝-1，故本題選B一題多解本題還可以利用公式法來解.∵x2-4x-5＝0，∴x＝∴

＝5，

＝-1.2.解方程：x2-6=-2（x+1）.解：方程整理得：x2+2x=4,配方得：x2+2x+1=5，即（x+1）2=5,開方得：x+1=±，解得：x1=-1+，x2=-1-.類型二一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系例2（’14江西）若α，β是方程x2-2x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則α2+β2＝_______.運(yùn)用韋達(dá)定理求代數(shù)式或參數(shù)的值10【解析】本題考查一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系.由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=2，αβ=-3，α2+β2＝（α+β）2-2αβ=4-2×(-3)=10.【方法指導(dǎo)】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，則根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-

，x1·x2=

.在利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值時，除熟記兩個式子外，還要熟練運(yùn)用等式x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，，將所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2

的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.針對演練1.若x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的兩個根，則x1·x2的值是()A.2B.-2C.3D.-3D【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的兩個根，∴x1·x2=-3.2.（’14廣東）關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.m>B.m<C.m=D.m<-利用判別式求參數(shù)的取值范圍B【解析】先根據(jù)判別式的意義得到b2-4ac=（-3）2-4m＞0，然后解不等式即可.根據(jù)題意得b2-4ac=（-3）2-4m＞0，解得m＜類型三一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用——利潤問題例3（’14桂林）電動自行車已成為市民日常出行的首選工具.據(jù)某市某品牌電動自行車經(jīng)銷商1至3月份統(tǒng)計(jì)，該品牌電動自行車1月份銷售150輛，3月份銷售216輛.（1）求該品牌電動自行車銷售量的月平均增長率；（2）若該品牌電動自行車的進(jìn)價為2300元，售價為2800元，則該經(jīng)銷商1至3月共盈利多少元?（1）【思路分析】設(shè)該品牌電動自行車2、3月份的月平均增長率為x.等量關(guān)系為：1月份的銷售量×(1+增長率)2=3月份的銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可；解：設(shè)該品牌電動自行車2、3月份的月平均增長率為x，根據(jù)題意列方程：150(1+x)2=216，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（不合題意，舍去）.答：該品牌電動自行車銷售量的月平均增長率為20%.（2）【思路分析】用售價減去進(jìn)價即可求得每輛電動自行車的利潤，再乘以1至3月總的銷售量即可求得總的利潤.解：（2800-2300）×［150+150×（1+20%）+216］=273000(元)，答：該經(jīng)銷商1至3月共盈利273000元.【方法指導(dǎo)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用主要是根據(jù)題意列出方程，備考時要注意以下幾個方面：（1）認(rèn)真審題，弄清題中數(shù)量之間的關(guān)系，如關(guān)于變化率的問題，弄清哪個量是“基準(zhǔn)量a”，變化后的量等于這個量加上變化的量，通常用a(1+x)m來表示，其中x表示變化率，m表示變化次數(shù)；（2）找出題中的等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，關(guān)于連續(xù)兩次變化的變化率問題有兩種類型，一是直接給出兩次變化后的量b，我們用“a(1±x)2=b”這一等量關(guān)系可以列出方程求解；還有一類是已知變化前的量、變化一次的量與變化兩次的量的和，列方程時就要把三者加在一起得出方程求解.針對演練1.（’14廣元）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對教育經(jīng)費(fèi)的投入，2013年投入5000萬元，預(yù)計(jì)2015年投入8000萬元.設(shè)教育經(jīng)費(fèi)連續(xù)兩年的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A.5000（1+x）2=8000B.5000x2=8000C.5000(1+x%)2=8000D.5000(1+x)+5000(1+x)2=8000A【解析】本題為增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)這個增長率為x，根據(jù)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)5000萬元，2014年投入5000（1+x）萬元，2015年投入5000（1+x）（1+x）萬元即可得出方程.2.（’15原創(chuàng)）國家一直在設(shè)法控制大城市房價的增長速度，某城市的房均價2012年為6000元/平方米，今年（2014年）房均價為7260元/平方米，則這個城市的房均價這兩年增長率是_____.10%【解析】設(shè)個城市的房均價這兩年增長率是x，根據(jù)題意，得：6000（1+x）2=7260化簡，得（1+x）2＝1.21，解得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去），故答案為：10%．3.（’14新疆）如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？第3題圖

解：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為（100-4x）米．根據(jù)題意得（100-4x）x=400，解得

x1=20，x2=5．則100-4x=20（米）或100-4x=80（米）.∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20（米），BC=20（米）.答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.失分警示

失分點(diǎn)5忽略一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件關(guān)于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足()A.a≥1B.a＞1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5

解：∵關(guān)于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，第一步∴16+4(a-5)≥0,第二步∴a≥1，故選A.第三步

上述解題過程從第____步開始出錯，錯誤的原因?yàn)開____________________________，請給出正確的解題過程.二方程為一元二次方程時，a-5≠0解：關(guān)于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，∴16+4(a-5)≥0a-5≠0，∴a≥1且a≠5，故選C.【名師提醒】在解一元二次方程的過程中，應(yīng)考慮到二