2022年新高考數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)第5章-數(shù)列-全章課件(共5講)

必考部分第五章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究3名師講壇·素養(yǎng)提升1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)概念含義數(shù)列按照____________排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的____________數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念一定順序

每一個(gè)數(shù)

概念含義通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式____________表達(dá)，這個(gè)公式叫做數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝__________________叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和an＝f(n)

a1＋a2＋…＋an

列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)_____________畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用________表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的表示方法(n，an)

公式

知識(shí)點(diǎn)三an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1

Sn－Sn－1

知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的分類1．?dāng)?shù)列與函數(shù)數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量____________依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是________________.從小到大

一群孤立的點(diǎn)

2．常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)自然數(shù)列：1,2,3,4，…，an＝n.(2)奇數(shù)列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.(3)偶數(shù)列：2,4,6,8，…，an＝2n.(4)平方數(shù)列：1,4,9,16，…，an＝n2.(5)2的乘方數(shù)列：2,4,8,16，…，an＝2n.(6)乘積數(shù)列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都可以用公式表示出來(lái)． (

)(2)依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)． (

)(3)若an＋1－an>0(n≥2)，則函數(shù){an}是遞增數(shù)列． (

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (

)×

√

×

√

題組二走進(jìn)教材2．(必修5P67A組T2改編)數(shù)列1，－4,9，－16,25，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是 (

)A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝(－1)n·n2C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n·(n＋1)2[解析]

因?yàn)槊恳豁?xiàng)的絕對(duì)值是該項(xiàng)序號(hào)的平方，奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)為正，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，所以an＝(－1)n＋1·n2.故選C.C

D

4．(必修5P33A組T5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝_________.5n－4

10

6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ，5分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.[解析]

解法一：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；當(dāng)n＝5時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；當(dāng)n＝6時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.－63

2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式——自主練透例1思考：如何根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的值寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式？由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等．(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同．對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理．注意：并不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式也不一定唯一.考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式——多維探究角度1已知Sn求an問(wèn)題 (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝__________.(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝_______________.(3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝_________________.例22n－11

[解析]

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－10＝－9；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當(dāng)n＝1時(shí)，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.例3Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．已知Sn求an的一般步驟(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由a1＝S1，求a1的值．(2)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達(dá)式．(3)檢驗(yàn)a1的值是否滿足(2)中的表達(dá)式，若不滿足，則分段表示an.(4)寫出an的完整表達(dá)式．B

B

考點(diǎn)三由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式——多維探究例4例5A

角度3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an (2021·西北師大附中調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，則an＝____________.例63n－1－3

〔變式訓(xùn)練2〕根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，則an＝_________；(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝_______；(3)(角度3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝_______________.n2－2n＋2

2×3n－1－1

考點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)——多維探究角度1數(shù)列的單調(diào)性

若數(shù)列{an}滿足an＝n2＋kn＋4(n∈N*)且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_________.[解析]

由數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，得an＋1>an，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.例7k>－3

[分析]

由遞推公式逐項(xiàng)求解，探求規(guī)律．例8A

例99、10

D

B

3名師講壇·素養(yǎng)提升例10遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法例114n－1＋n

3n－2n

－5·2n－1＋3n＋3

(3n－2)·2n－1

必考部分第五章數(shù)列第二講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究3名師講壇·素養(yǎng)提升1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于_____________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_______，通常用字母____表示，定義的表達(dá)式為_(kāi)____________________.2

同一個(gè)常數(shù)公差d

an＋1－an＝d(n∈N*)

(2)等差中項(xiàng)如果a，A，b成等差數(shù)列，

那么____叫做a與b的等差中項(xiàng)且________.(3)通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么通項(xiàng)公式為an＝______________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝______________＝_______.A

a1＋(n－1)d

知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，則am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特別地，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝_________.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為_(kāi)____.(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．a(chǎn)p＋aq

kd

a中

倒序相加法題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列． (

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． (

)(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)． (

)×

√

×

(4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列．

(

)(5)若{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．

(

)√

√

[解析]

(1)同一個(gè)常數(shù)．(2)因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，當(dāng)公差d>0時(shí)，該數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)公差d<0時(shí)，該數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)公差d＝0時(shí)，該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以命題正確．(3)常數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為一次函數(shù)．(4)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，公差為d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))，所以數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列．(5)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則pan＋1＋qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))，即數(shù)列{pan＋qbn}．也是等差數(shù)列．題組二走進(jìn)教材2．(必修5P38例1(1)改編)已知等差數(shù)列－8，－3,2,7，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為_(kāi)_____[解析]

依題意得，該數(shù)列的首項(xiàng)為－8，公差為5，所以a100＝－8＋99×5＝487.487

A

題組三走向高考5．(2020·課標(biāo)Ⅱ，14,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝_____.25

6．(2020·新高考Ⅰ，14,5分)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_________.3n2－2n

2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算——自主練透例1an＝6n－3

100

4

A

等差數(shù)列基本量的求法(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明——師生共研例2等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q.(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.提醒：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法證明，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷．若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)an，an＋1，an＋2使得這三項(xiàng)不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可．各項(xiàng)不同號(hào)的等差數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值不構(gòu)成等差數(shù)列，但其前n項(xiàng)和可用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式分段求解，分段的關(guān)鍵是找出原等差數(shù)列中變號(hào)的項(xiàng)．考點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——多維探究例3D

D

A

[分析]

由于確定等差數(shù)列需兩個(gè)條件，而這三個(gè)小題都只有一個(gè)條件，故可確定a1與d的關(guān)系式，將其整體代入即可解決問(wèn)題，但更簡(jiǎn)捷的方法是直接利用等差數(shù)列性質(zhì)am＋an＝ap＋aq?m＋n＝p＋q求解(注意項(xiàng)數(shù)不變，腳標(biāo)和不變)．例4B

A

[分析]

思路1：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)題意列方程組求得a1、d，進(jìn)而可用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求S40；思路2：設(shè){an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn，由題意列出方程組求得A、B，從而得Sn，進(jìn)而得S40；思路3：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，由前三項(xiàng)求得S20，從而得此數(shù)列的公差，進(jìn)而求得S40－S30，得S40；C

C

114

(3)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.3名師講壇·素養(yǎng)提升例5B

B

[分析]

(1)由S5＝S9可求得a1與d的關(guān)系，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為負(fù)，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解；(2)利用Sn>0?a1＋an>0求解．[解析]

(1)解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大時(shí)，n＝7，故選B．[引申]①本例(1)中若將“S5＝S9”改為“S5＝S10”，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)n＝_______；②本例(1)中，使Sn<0的n的最小值為_(kāi)____；③本例(2)中，使Sn取最大值時(shí)n＝_____.7或8

15

10

求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法：〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2021·長(zhǎng)春市模擬)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為 (

)A．6

B．7

C．8

D．9(2)(2019·北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝____，Sn的最小值為_(kāi)______.C

0

－10

[解析]

(1)∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…，∴使Sn取最小值的n的值為8.故選C．謝謝觀看必考部分第五章數(shù)列第三講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究3名師講壇·素養(yǎng)提升1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列________________________________________________________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_______，通常用字母____表示．符號(hào)語(yǔ)言：________(n∈N*，q為非零常數(shù))．

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)

公比q

(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么____叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝_____.注意：任意兩數(shù)的等差中項(xiàng)都唯一存在；但只有兩個(gè)數(shù)滿足ab>0時(shí)，a、b才有等比中項(xiàng)，且有互為相反數(shù)的兩個(gè)．G

ab

a1qn－1

amqn－m

na1

知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的主要性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．錯(cuò)位相減法題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(

)(2)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列． (

)(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列． (

)×

×

×

×

×

D

3．(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_(kāi)________.[解析]

設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48.12,48

題組三走向高考5．(2020·課標(biāo)Ⅰ，10,5分)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝ (

)A．12

B．24

C．30

D．32[解析]

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，∴q＝2，∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故選D．D

D

2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算——自主練透例1C

C

B

等比數(shù)列基本量的求法等比數(shù)列的計(jì)算涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明——師生共研例2(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．考點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——多維探究例3B

5

(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．例42

A

[引申]本例(2)中若去掉條件“各項(xiàng)都是正數(shù)”，結(jié)果如何？[解析]

由本例解法一知q3＝2或－3，當(dāng)q3＝2時(shí)，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；當(dāng)q3＝－3時(shí)，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故選C．±2

2

B

C

3名師講壇·素養(yǎng)提升例5[分析]

(1)用等差、等比數(shù)列基本公式求解．(2)分組求和即可．[引申](1)本例中數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn＝_____________________.(2)本例中若Cn＝an·bn，則{Cn}的前n項(xiàng)和Tn＝___________________.(n－1)·2n＋1＋2

〔變式訓(xùn)練3〕(2019·課標(biāo)Ⅱ，18,12分)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．[解析]

(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.謝謝觀看必考部分第五章數(shù)列第四講數(shù)列求和1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究3名師講壇·素養(yǎng)提升1知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二分組求和法一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．如若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可用分組求和法求其前n項(xiàng)和．知識(shí)點(diǎn)三倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等且等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．知識(shí)點(diǎn)四錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．知識(shí)點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．知識(shí)點(diǎn)六并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩合并求解，則稱之為并項(xiàng)求和．如{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{(－1)nan}的前n項(xiàng)和，可用并項(xiàng)求和法求解．形如an＝(－1)nf(n)類型，可考慮采用兩項(xiàng)合并求解．√

√

√

√

B

B

B

6．(2020·課標(biāo)Ⅰ，16,5分)數(shù)列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項(xiàng)和為540，則a1＝____.[解析]

令n＝2k(k∈N*)，則有a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41，∴前16項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝5＋17＋29＋41＝92，∴前16項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝540－92＝448，令n＝2k－1(k∈N*)，則有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)．7

2考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一分組求和法——師生共研例1C

D

(2)因?yàn)镾n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.C

C

考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法——多維探究例2例3C

例4C

裂項(xiàng)相消法求和在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變．在解題中，要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解的目的．(1)直接考查裂項(xiàng)相消法求和．解決此類問(wèn)題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；A

A

考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法——師生共研例5用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和．第二步：(乘公比)設(shè){an·bn}的前n項(xiàng)和為Tn，然后兩邊同乘以q.第三步：(錯(cuò)位相減)乘以公比q后，向后錯(cuò)開(kāi)一位，使含有qk(k∈N*)的項(xiàng)對(duì)齊，然后兩邊同時(shí)作差．第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和化簡(jiǎn)，從而表示出Tn.用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)“Sn－qSn”化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是化為等比數(shù)列求和，一定要明確求和的是n項(xiàng)還是n－1項(xiàng)，一般是n－1項(xiàng)．(4)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論求解．〔變式訓(xùn)練3〕(1)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝_________________________.(2)(2020·課標(biāo)Ⅰ，17,12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．①求{an}的公比；②若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)四倒序相加法——師生共研例6倒序相加法應(yīng)用的條件與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和相加的方法求解．3名師講壇·素養(yǎng)提升例766

2n2＋3n＋1

[解析]

解法一：設(shè)第n個(gè)圖有寶石an顆，則a1＝6