第七章線性變換習(xí)題答案

第七章線性變換習(xí)題答案一=. 證明任取f(x)EP[x]，則有f(x)f(x)=(xff(x)f(x)=(xf(x))(f,(x))kk ((iiβ)=β,即A是滿射．于是是雙 nnn12niiiinn (((||A=||aaaaaaa)|. (a|33aaaa).1A1(|2|(|(a1-aaa))1-a)a).33)||33)||33)(1B00)-1aaa||a)(||0100)(a). 『方法技巧』根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出1了過(guò)渡矩陣，利用相似矩陣得到了所求矩陣．事實(shí)上，這三個(gè)題目都可以分別用兩種方法求證明iin1但12n(λ|1(λ(λ2λ(λ))λi2(λ))λi2)(λi)n (λA=||(λ2)|λ)n(λ…|i1||(|(λi2)|λi)|n.(λ n)|AA|λ2)|||λ)niiiAiA故A與B相似.iiiniiiiiiii(λ|i1in|(|(λi2λin)|)|)in證法2設(shè)(λA=||(λ2)|λ)n與(λ|i1||(|(λi2)|λi)|n.對(duì)A交換i,j兩行，再交換i,j兩列，相當(dāng)于對(duì)A左乘和右乘初等矩陣P(i,j)-1=P(i,j)和P(i,j)，而P(i,j)-1AP(i,j)即為將A中的λ和λ交換位置得到的對(duì)角矩陣．于是，總可以通過(guò)這樣的一系列的對(duì)調(diào)變ij換，將A的主對(duì)角線上的元素λ,λ,,λ變成λ,λ,,λ,這也相當(dāng)于存在一系列初等矩Q-1Q-1Q-1AQQQ=B，令Q=QQQ，則有Q-1AQ=B，即A與B相似. 利用了矩陣的相似變換，直接進(jìn)行了證明.17．如果A可逆，證明AB與BA相似.證明由于A可逆，故A-1存在．于是A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA，因此，根據(jù)相似的定義可知AB與BA相似.(56-3)(001)5）A=λE-A|=λ-3-5-4λ-212〈12λE-A=λ-5-631λ-1-1-2當(dāng)λ=2時(shí),方程組(λE-A)X=0，即為||1|(3)|,故,故（2-3)其中k為任意非零常數(shù).2當(dāng)當(dāng)λ=1-3時(shí)，方程組(λE-A)X=0，即為|(3)|,故,故其中k為任意非零常數(shù).31λE-A=0λ-1-102-1λ(1)(0)(1)(0)當(dāng)λ=_1時(shí)，方程組(λE_A)X=0，即為||求得其基礎(chǔ)解系為| 得所對(duì)應(yīng)的特征向量，但一定要注意表達(dá)成基向量的線性組合形式.那么是數(shù)乘變換.證明1）反證法．假設(shè)ε+ε是屬于特征值λ的特征向量=λε,且λ+λ,故λ=λ.這與λ1們分別屬于特征值λ,λ,,λ,即iii