第四章·幾何圖形初步·第3課時(shí)·角、角度制

初中數(shù)學(xué)第四章《幾何圖形初步》“角、角度制”培訓(xùn)教程知識(shí)點(diǎn)精講第一節(jié)：角在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們已學(xué)過銳角、直角、鈍角、平角和周角。中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)角的認(rèn)識(shí)在小學(xué)基礎(chǔ)上繼續(xù)深化。問(1)：什么是角？始邊始邊終邊答：如圖，角就是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。如圖，角還可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成的圖形。所以，角還可以定義為：角就是由一條射線繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成的圖形。射線的端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)開始位置的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線叫做角的終邊。問(2)：怎樣表示一個(gè)角？答：角有三種表示方法：①可以用表示角兩邊上的點(diǎn)和頂點(diǎn)的大寫字母表示，如圖∠AOB；②在角的內(nèi)部用圓弧把頂點(diǎn)圍起來，在旁邊標(biāo)注數(shù)字，用數(shù)字表示，如圖∠1；③單獨(dú)的一個(gè)角可以用表示頂點(diǎn)的大寫字母表示，如圖∠O。【注】和其他角具有同一頂點(diǎn)的角不能只用表示頂點(diǎn)的大寫字母表示。否則，不能把角區(qū)分開。如圖∠AOB、∠AOC和∠BOC，不能用∠O表示。問(3)：角是如何分類的？答：角按從小到大的順序依次可以劃分為：零度角、劣角(包括銳角、直角、鈍角)、平角、優(yōu)角、周角。①零度角就是一條射線繞它的端點(diǎn)O沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角，當(dāng)始邊OB和終邊OA重合，在同一條直線上，即“0”角。②劣角就是0～180之間的角，包括銳角、直角和鈍角。其中，銳角就是0～90之間的角，直角就是90的角，鈍角就是90～180之間的角。③平角就是180的角。即：一條射線繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊OB和終邊OA在同一條直線上，方向相反時(shí)，所形成的角叫平角。如圖1。④優(yōu)角就是180～360之間的角。⑤周角就是360的角。即：一條射線繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊OB和終邊OA重合，在同一條直線上，方向相同時(shí)，所形成的角叫周角。如圖2。圖1：圖2：AOBOB(A)注1：由零度角、平角和周角的定義可知：零度角、平角、周角和其他任何角一樣，都有頂點(diǎn)、始邊和終邊。不能把零度角、平角和周角看作是一條直線。注2：初中數(shù)學(xué)所學(xué)的角都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的角，即：正角。高中數(shù)學(xué)還要學(xué)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的角，即：負(fù)角。此處作為了解。注3：角的度數(shù)隨旋轉(zhuǎn)的周數(shù)可以無限大，也可以無限小。比如：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的角是360的角，旋轉(zhuǎn)兩周的720的角，……，依次類推，可以無限大。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的角是－360的角，旋轉(zhuǎn)兩周的－720的角，……，依次類推，可以無限小。第二節(jié)：角度制為測(cè)量角的大小，特別規(guī)定了測(cè)量角的大小的制度——角度制。問(1)：什么是角度制？答：以度、分、秒為測(cè)量單位，用“度”、“度、分”、“度、分、秒”的形式表示角的大小的制度，叫做角度制。問(2)：什么是角的測(cè)量單位？答：度、分、秒是角的測(cè)量單位，度、分、秒之間可以互相轉(zhuǎn)化。①把一個(gè)360周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記作1。即：=。②把一度的角平均分成60等份，每一份就是1分的角，記作。即：=。由此可以把度化成分。反之，，由此可以把分化成度。比如：30==，反之，=（1800×）=30③把一分的角平均分成60等份，每一份就是1秒的角，記作。即：=。由此可以把分化成秒。反之，=，由此可以把秒化成分。比如：==，反之，==。問(3)：怎樣表示一個(gè)角的角度？答：角度有三種表示形式：①“度”的形式：由“度數(shù)位”一個(gè)數(shù)位組成。比如：15、45、75。②“度、分”的形式：由“度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位”兩個(gè)數(shù)位組成。比如：7、21、63。③“度、分、秒”的形式：由“度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位、秒數(shù)位”三個(gè)數(shù)位組成。比如：14、28、56。問(4)：角度的進(jìn)位和退位依據(jù)什么法則？答：角度的進(jìn)位和退位法則：①“滿60進(jìn)1”其一：進(jìn)位的順序依次是秒數(shù)位→分?jǐn)?shù)位→度數(shù)位。先由“秒數(shù)位”向“分?jǐn)?shù)位”進(jìn)位，再由“分?jǐn)?shù)位”向“度數(shù)位”進(jìn)位，順序不能變，否則會(huì)出錯(cuò)。其二：“秒數(shù)位”向“分?jǐn)?shù)位”進(jìn)位：依據(jù)“滿60進(jìn)1”法則，秒數(shù)位上每滿一個(gè)減去一個(gè)，分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加；滿兩個(gè)減去兩個(gè)，分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加；……，依此類推。進(jìn)位后剩余的秒數(shù)不滿60則不進(jìn)1，留在秒數(shù)位上，剩余的秒數(shù)為0則可以省略秒數(shù)位。比如：75=75，59=59=59。其三：“分?jǐn)?shù)位”向“度數(shù)位”進(jìn)位：依據(jù)“滿60進(jìn)1”法則，分?jǐn)?shù)位上每滿一個(gè)減去一個(gè)，度數(shù)位上相應(yīng)加；滿兩個(gè)減去兩個(gè)，分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加2；……，依此類推。進(jìn)位后剩余的分?jǐn)?shù)不滿60則不進(jìn)1，留在分?jǐn)?shù)位上。剩余的分?jǐn)?shù)為0則可以省略分?jǐn)?shù)位。比如：30=30=31，45===。②“退1加60”其一：退位的順序依次是度數(shù)位→分?jǐn)?shù)位→秒數(shù)位。先由“度數(shù)位”向“分?jǐn)?shù)位”退位，再由“分?jǐn)?shù)位”向“秒數(shù)位”退位，順序不能變，否則會(huì)出錯(cuò)。其二：“度數(shù)位”向“分?jǐn)?shù)位”退位：依據(jù)“退1加60”法則，度數(shù)位上每減，即向分?jǐn)?shù)位上退，則分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加；每減2，即向分?jǐn)?shù)位上退2，則分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加；……，依此類推。退位后剩余的度數(shù)不為0則留在度數(shù)位上，剩余的度數(shù)為0可以省略度數(shù)位。比如：13=12，1==。其三：“分?jǐn)?shù)位”向“秒數(shù)位”退位：依據(jù)“退1加60”法則，分?jǐn)?shù)位上每減，即向秒數(shù)位上退，則秒數(shù)位上相應(yīng)加；每減，即向秒數(shù)位上退，則秒數(shù)位上相應(yīng)加?！来祟愅?。退位后剩余的分?jǐn)?shù)不為0則留在分?jǐn)?shù)位上，剩余的分?jǐn)?shù)為0則可以省略分?jǐn)?shù)位。比如：=，==。問(5)：角度的三種表示形式“度”“度、分”“度、分、秒”之間如何互相轉(zhuǎn)化？答：①“度”向“度、分”和“度、分、秒”的轉(zhuǎn)化：其一：把“度”轉(zhuǎn)化為“度、分”的形式。在度數(shù)位按“退1加60”的法則退位，度數(shù)位上每減，即向分?jǐn)?shù)位上退，則分?jǐn)?shù)位上相應(yīng)加。由此，把“度”化成“度、分”的形式。比如：把15轉(zhuǎn)化為“度、分”的形式，表示為：15=14。其二：把“度”轉(zhuǎn)化為“度、分、秒”的形式。先把“度”化成“度、分”的形式。在分?jǐn)?shù)位上按“退1加60”的法則退位，分?jǐn)?shù)位上每減，向秒數(shù)位上退，則秒數(shù)位上相應(yīng)加。由此，把“度”化成“度、分、秒”的形式。比如：把15轉(zhuǎn)化為“度、分、秒”的形式，表示為：15=14=14。②“度、分”向“度”和“度、分、秒”的轉(zhuǎn)化：其一：把“度、分”轉(zhuǎn)化為“度”的形式。依據(jù)角度制，把分?jǐn)?shù)位上的“分”化成“度”，再和度數(shù)位上“度數(shù)”相加。由此，省略分?jǐn)?shù)位，把“度、分”化成“度”的形式。比如：把7化成“度”的的形式。解：由得：=（8×）=()≈0.13。則：7≈7＋0.13≈7.13。其二：把“度、分”轉(zhuǎn)化為“度、分、秒”的形式。在分?jǐn)?shù)位上按“退1加60”的法則退位，分?jǐn)?shù)位上每減，向秒數(shù)位上退，則秒數(shù)位上相應(yīng)加。由此，把“度、分”化成“度、分、秒”的形式。比如：把7化成“度、分、秒”的的形式。把7的分?jǐn)?shù)位按“退1加60”的法則退位得：7=7。③“度、分、秒”向“度、分”和“度”的轉(zhuǎn)化：其一：把“度、分、秒”轉(zhuǎn)化為“度、分”的形式。依據(jù)角度制=，把秒數(shù)位上的“秒”化成“分”，再和分?jǐn)?shù)位上“分?jǐn)?shù)”相加。由此，省略秒數(shù)位，把“度、分、秒”化成“度、分”的形式。比如：把14化成“度、分”的形式。解：由=得：==。則：14=14＋=14。其二：把“度、分、秒”轉(zhuǎn)化為“度”的形式先把“度、分、秒”化成“度、分”的形式，依據(jù)角度制，把分?jǐn)?shù)位上的“分”化成“度”，再和度數(shù)位上“度數(shù)”相加。由此，省略分?jǐn)?shù)位，把“度、分、秒”化成“度”的形式。比如：把14化成“度”的形式。解：由=得：==。則：14=14＋=14。又由得：=（32.75×）≈0.5。則：14=14≈14＋0.5≈14.5。第三節(jié)：角的比較與運(yùn)算問(1)：用“度”“度、分”“度、分、秒”這三種形式表示的角如何比較大?。看穑孩偻槐硎拘问降慕潜容^大?。簩?duì)應(yīng)的“度數(shù)位”較大的角，度數(shù)也較大。比如：45＞15。對(duì)應(yīng)的“度數(shù)位”相等，對(duì)應(yīng)的“分?jǐn)?shù)位”較大的角，度數(shù)也較大。比如：21＞21。對(duì)應(yīng)的“度數(shù)位”“分?jǐn)?shù)位”相等,對(duì)應(yīng)的“秒數(shù)位”較大的角,度數(shù)也較大。比如：28＞28。對(duì)應(yīng)的“度數(shù)位”“分?jǐn)?shù)位”或“秒數(shù)位”都相等，則這兩個(gè)角相等。注：按“度、分、秒”的排列順序依次比較大小。順序不能變，否則會(huì)出錯(cuò)?！岸葦?shù)位”相等時(shí)，比較“分?jǐn)?shù)位”。“度數(shù)位”“分?jǐn)?shù)位”相等時(shí)，比較“秒數(shù)位”。②不同表示形式的角比較大小，先轉(zhuǎn)化為同一表示形式的角，再按以上規(guī)則比較大小。比如：比較7.05和7大小。解：先把7.05和7轉(zhuǎn)化為同一表示形式?！?=∴7.05=7＋0.05=7＋=7＋=77和7對(duì)應(yīng)的“度數(shù)位”相等，其中7對(duì)應(yīng)的“分?jǐn)?shù)位”較大，則度數(shù)也較大。∴7＜7即：7.05＜7。問(2)：用“度”“度、分”“度、分、秒”這三種形式表示的角怎樣相加或相減？答：用這三種形式表示的角，依據(jù)以下規(guī)則相加或相減：①把對(duì)應(yīng)的度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位和秒數(shù)位上的角度數(shù)分別相加。相加時(shí)，對(duì)應(yīng)的度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位和秒數(shù)位出現(xiàn)空缺時(shí)，用“0”代替補(bǔ)齊。按秒數(shù)位→分?jǐn)?shù)位→度數(shù)位的順序進(jìn)位，秒數(shù)位上每滿向分?jǐn)?shù)位上進(jìn)，分?jǐn)?shù)位上每滿向度數(shù)位上進(jìn)，不滿則不進(jìn)位。比如：7＋3=10=11，14＋=14=14。②把對(duì)應(yīng)的度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位和秒數(shù)位上的角度數(shù)分別相減。對(duì)應(yīng)的度數(shù)位、分?jǐn)?shù)位和秒數(shù)位出現(xiàn)空缺時(shí)，用“0”代替補(bǔ)齊。相減時(shí)，要用大角減小角。對(duì)應(yīng)的度數(shù)位相減，出現(xiàn)小角減大角時(shí)，則兩角不能相減。對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)位相減，出現(xiàn)小角減大角時(shí)，度數(shù)位上減，向分?jǐn)?shù)位上退，不夠減的，繼續(xù)退位，直到對(duì)應(yīng)的數(shù)位上能用大角減小角。同理，對(duì)應(yīng)的秒數(shù)位相減，出現(xiàn)小角減大角時(shí)，分?jǐn)?shù)位上減，向秒數(shù)位上退，不夠減的，繼續(xù)退位，直到對(duì)應(yīng)的數(shù)位上能用大角減小角。比如：45－3030－29=45－30=29－29=44－30=29－29=43－30=0=13=【注】求一個(gè)角度數(shù)的幾倍或幾分之幾，先把這個(gè)角的度數(shù)由“度、分”或“度、分、秒”的形式化成“度”的形式，再相乘或相除，不能直接與“度、分”或“度、分、秒”相乘或相除。除不開時(shí)，可四舍五入取約數(shù)，若題目無特別要求，通常精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)。比如：求30的3倍和29的。30×329÷6=(30＋＋)×3=(29＋＋)÷6=[30＋＋]×3=[29＋()＋()]÷6≈[30＋1.25＋0.51]×3≈[29＋0.62＋0.48]÷6≈31.76×3≈30.1÷6≈95.28≈5.02【例1】已知：∠A=34，∠B=34.25，∠C=34。按從小到大的順序比較這三個(gè)角的大小。解：先把度化成度、分的形式比較：∠B=34.25=34＋0.25=34＋0.25×=34。此時(shí)，34＜34，即∠B＜∠A。再把度、分化成度、分、秒的形式比較：∠A=34=34＋＋=34＋＋＋×=34。此時(shí)，34＜34。即∠A＜∠C?！唷螧＜∠A＜∠C。通過測(cè)量角的度數(shù)可以比較角的大小。不用測(cè)量角的度數(shù)，也可以比較角的大小。問(3)：不用測(cè)量角的度數(shù)，如何比較兩個(gè)角的大?。看穑喊哑渲械囊粋€(gè)角移到另一個(gè)角上，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)和始邊重合。①若這兩個(gè)角的終邊也重合，則這兩個(gè)角相等；②若其中一個(gè)角的終邊落在另一個(gè)角之內(nèi)，則這個(gè)角小于另一個(gè)角；③若其中一個(gè)角的終邊落在另一個(gè)角之外，則這個(gè)角大于另一個(gè)角。如圖，把∠1和∠2的頂點(diǎn)和始邊重合。因?yàn)椤?的終邊落在∠1之內(nèi)，所以∠2＜∠1。因?yàn)椤?的終邊落在∠2之外，所以∠1＞∠2。若∠1和∠2的終邊也重合，則∠1=∠2。通過把兩個(gè)角的頂點(diǎn)和始邊重合的方法，不用測(cè)量角的度數(shù)，就可以比較兩個(gè)的大小。問(4)：依據(jù)上述方法，不用測(cè)量角的度數(shù)，如何表示兩個(gè)角之和、兩個(gè)角之差？∠1＋∠1＋∠2∠3－∠4圖1圖2答：①表示兩個(gè)角之和的方法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，再使其中一個(gè)角的始邊與另一個(gè)角的終邊重合，由此形成的角就是兩個(gè)角之和。如圖1，使∠1和∠2的頂點(diǎn)重合，再使∠1始邊與∠2的終邊重合，由此形成的角就是兩個(gè)角之和∠1＋∠2。②表示兩個(gè)角之差的方法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)和始邊重合。若兩個(gè)角不相等，則其中一個(gè)較大角的終邊與另一個(gè)較小角的終邊形成的角就是兩個(gè)角之差；若兩個(gè)角相等，則兩個(gè)角的始邊與終邊完全重合，兩個(gè)角之差為零度。如圖2，使∠3和∠4的頂點(diǎn)和始邊重合，若∠4＜∠3，則∠4的終邊落在∠3之內(nèi)，所以∠3的終邊和∠4的終邊形成的角就是兩個(gè)角之差∠3－∠4；若∠3=∠4，使∠3和∠4的頂點(diǎn)和始邊重合，則∠3和∠4的終邊也重合，∠3－∠4=0。角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。若過這兩條射線的公共頂端再作一條射線，把角分成相等的兩個(gè)角，就得到了角的平分線。問(5)：什么是角的平分線？由此類推，什么是角的三等分線、四等分線？從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？圖1圖2圖3答：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的一條射線叫做這個(gè)角的平分線，又稱之為角的“二等分線”。角的“二等分線”有一條。如圖1，是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角，就是這個(gè)角的平分線。答：由此類推：如圖2：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的三個(gè)角的兩條射線、叫做這個(gè)角的“三等分線”。角的“三等分線”有兩條。如圖3：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的四個(gè)角的三條射線、、叫做這個(gè)角的“四等分線”。角的“四等分線”有三條。由此類推可知：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把角分成相等的n個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的“n等分線”。角的“n等分線”有n－1條。【例2】如圖，∠AOC=Rt∠，從點(diǎn)O出發(fā)的射線OM、ON分別平分∠AOD和∠COD。求∠MON的度數(shù)。解：如圖，設(shè)∠MON=∠1＋∠2。已知∠AOC=Rt∠，則∠1=90－∠AOM。由已知角平分線得：∠AOM=∠MOD∴∠1=90－∠MOD。由已知角平分線得：∠COD=2∠2。如圖，∠MOD=∠1＋2∠2。代換得：∠1=90－(∠1＋2∠2)。整理得：∠1＋∠2=45。即：∠MON=45。注：解關(guān)于角的題型時(shí)，用數(shù)字和字母結(jié)合的方式表示角，會(huì)使解題思路更加清晰明了。典型題型精編解析選擇題：1.下列關(guān)于角的判斷錯(cuò)誤的一組是（）①角都是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)形成的②一條射線沒有繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不能形成角③兩條射線只要有公共端點(diǎn)，就能組成角④最小角是零度角，最大角是周角⑤直角是銳角和鈍角的分界角A.②③⑤B.③⑤C.①②④D.①③【答案】C【解析】角不全是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)形成的。0度角可以看作是兩條有公共端點(diǎn)的重合的射線組成的圖形。0度角沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，依然是角。故①②錯(cuò)誤。③符合角的定義。故③正確。角有度數(shù)。這個(gè)度數(shù)可以無限大，也可以無限小，沒有最大角和最小角。故④錯(cuò)誤。由銳角和鈍角的定義可知：大于0小于90的角是銳角，大于90小于180的角是鈍角。所以，直角是銳角和鈍角的分界角。故⑤正確。故①②④錯(cuò)誤。選C。2.如圖，OB是∠AOC的二等分線，OD是∠BOE的三等分線。若∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，則∠DOC的度數(shù)為()A.20°B.35°C.40°D.45°【答案】A【解析】注意發(fā)現(xiàn)∠DOC和其他角度的等量關(guān)系，由此列等式求解。由已知得：∠AOB＝∠COB=∠AOC，∠DOE=∠BOE。且已知：∠AOB＝40°，∠DOE＝30°。則：∠COB＝40°，∠BOE＝30°，解得∠BOE＝90°。如圖，∠DOC=∠BOE－(∠DOE＋∠COB)。代換得：∠DOC=90°－(30°＋40°)=90°－70°=20°。故選A。3.下列算式正確的是()①33=32②41≈41.95③50=50④33－21=12⑤33＋50=84⑥33.33=33A.②③⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①③⑤⑥【答案】D【解析】①式“33=32”是把度化成度數(shù)位33上減1，相應(yīng)在分?jǐn)?shù)位上加，即33=32。分?jǐn)?shù)位上減，相應(yīng)在秒數(shù)位上加，即33=32。故算式①正確。②式“41≈41.95”是把度、分、秒化成度的形式。已知=。則：=，所以=33×=。則：41=41＋＋=41＋。已知1=。則：=，所以=56.55×≈0.94。則：41≈41＋0.94≈41.94。算式②取約數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。故算式②錯(cuò)誤。③式“50=50”是把度、分、秒化成度、分的形式。已知=。則：=，所以=36×=。則：50=50＋＋=50＋＋=50。故算式③正確。④式“33－21=12”是兩角度相減?？梢园讶蔽簧系亩葦?shù)看作0，用0補(bǔ)位，算式④相減時(shí)，出現(xiàn)被減數(shù)秒數(shù)位上的度數(shù)小于減數(shù)，此時(shí)不能對(duì)應(yīng)相減。故算式④錯(cuò)誤。正確的運(yùn)算是：33－21=33－21=33－21=12=12。⑤式“33＋50=84”是兩角度相加?？梢园讶蔽簧系亩葦?shù)看作0，用0補(bǔ)位。33＋50=83=83=84。故算式⑤正確。⑥式“33.33=33”是把度化成度、分、秒的形式。33.33=33＋0.33=33＋0.33×=33＋=＋=＋×=＋所以，33.33=33＋＋=33。故算式⑥正確。故①③⑤⑥正確。選D。4.如圖，若OD是∠COA的三等分線，OB是∠COA的四等分線，則以下關(guān)系式成立的是（）A.∠COB＞∠DOAB.∠DOA＋∠COB=∠COAC.∠BOD＜∠DOAD.∠COD－∠COB=∠COA【答案】C【解析】由已知得：∠DOA=∠COA，∠COB=∠COA。(1)在A項(xiàng)“∠COB＞∠DOA”中：∵＜。即：在同一個(gè)∠COA里，∠COB所占比例小于∠DOA?！唷螩OA＜∠COA，即∠COB＜∠DOA。故A錯(cuò)誤。注：通過在同一個(gè)角里，所占比例的大小，可以比較兩個(gè)角的大小。在學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)之后，可運(yùn)用不等式的性質(zhì)比較兩個(gè)角的

大小。(2)在B項(xiàng)“∠DOA＋∠COB=∠COA”中：∠DOA＋∠COB=∠COA＋∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA?！撸荆丛谕粋€(gè)∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB?！唷螩OA＞∠COA。即：∠DOA＋∠COB＞∠COA。故B錯(cuò)誤。(3)在C項(xiàng)“∠BOD＞∠DOA”中：∠BOD=∠COA－(∠COB＋∠DOA)=∠COA－(∠COA＋∠∠COA)=∠COA。已知：∠DOA=∠COA=∠COA?！撸?，即在同一個(gè)∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB?！唷螩OA＞∠COA。即：∠BOA＞∠DOA。故C正確。(4)在D項(xiàng)“∠COD－∠COB=∠COA”中：∠COD=∠COA－∠DOA=∠COA－∠COA=∠COA。已知：∠COB=∠COA。則：∠COD－∠COB=∠COA－∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA?！撸肌！唷螩OA＜∠COA。即：∠COD－∠COB＜∠COA。故D錯(cuò)誤。填空題：1.如圖，∠AOB被三條射線OC、OD、OE四等分，其中，∠1=24。根據(jù)圖形填空：①圖中是∠1的2倍的角是________________，是∠2的3倍的角是________________；②圖中是∠AOD的的角有________________，是∠AOE的的角有________________；③射線OE是角________的平分線，是角________的三等分線，同時(shí)又是角________的四等分線；④∠AOB=_______度，∠3＋∠4=∠_______=____度，∠AOB和∠3＋∠4的數(shù)量關(guān)系式為_____________?！敬鸢浮竣佟螪OA、∠EOC、∠BOD；∠BOC、∠EOA②∠1、∠2、∠3、∠4；∠BOD、∠EOC、∠DOA③∠BOD；∠BOC；∠BOA④∠O=∠BOA=96；∠3＋∠4=∠BOD=48；∠O=2(∠3＋∠4)【解析】如圖，由已知可得：∠1=∠2=∠3=∠4=24。①∠1的2倍=2∠1=2·24=48。如圖，∠DOA=∠EOC=∠BOD=2∠1=48。∠2的3倍=3∠2=3·24=72。如圖，∠BOC=∠EOA=3∠2=72。②如圖，∠DOA=∠1＋∠2=2·24=48。則：∠AOD=·48=24。已知：∠1=∠2=∠3=∠4=24。則：∠1=∠2=∠3=∠4=∠AOD。如圖，∠AOE=∠1＋∠2＋∠3=3·24=72。則：∠AOD=·72=48。如圖，∠BOD=∠EOC=∠DOA=2·24=48。則：∠BOD=∠EOC=∠DOA=∠AOD。③如圖，∠BOD=∠3＋∠4，且∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOD的平分線。如圖，∠BOC=∠2＋∠3＋∠4，且∠2=∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOC的三等分線。如圖，∠BOA=∠1＋∠2＋∠3＋∠4，且∠1=∠2=∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOA的四等分線。④如圖，∠AOB=∠1＋∠2＋∠3＋∠4=4·24=96，∠3＋∠嗎4=∠BOD=2·24=48。所以，∠AOB=2(∠3＋∠4)。2.如圖1，上午6點(diǎn)45分，時(shí)針和分針形成的角是_______度。如圖2，再過30分鐘，時(shí)針和分針形成的角是______度。圖1圖2【答案】67.5；127.5【解析】表盤一圓周360分12大格60小格，每大格代表1小時(shí)，每大格30；每小格代表1分鐘，每小格6。每60分鐘，時(shí)針旋轉(zhuǎn)一大格30，分針旋轉(zhuǎn)60小格360?！鄷r(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度==0.5，分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度==6。圖1圖2∴如圖1，，上午6點(diǎn)45分，∠1=0.5·45=22.5。鐘點(diǎn)數(shù)6和9之間含3大格，形成的角度=3·30=90。∴∠=90－22.5=67.5。如圖2，再過30分鐘，即上午7點(diǎn)15分，∠2=0.5·(45＋30)=37.5。鐘點(diǎn)數(shù)3和6之間含3大格，形成的角度=3·30=90?！唷?90＋37.5=127.5。3.從小到大比較∠A=16.6，∠B=，∠C=16的大小，結(jié)果為____________?！敬鸢浮俊螦＜∠C＜∠B【解析】把已知∠A、∠B、∠C的度數(shù)都化成“度”的統(tǒng)一形式，即可比較大小，化成“度”的統(tǒng)一形式比較大小最簡便。已知：∠A=16.6?！螧==()≈16.7，∠C=16=16＋=16＋()=16.65。∴∠A＜∠C＜∠B。4.計(jì)算：(1)40+30÷5=___________；(2)15×4－57=______