單步法的收斂性和穩(wěn)定性

單步法的收斂性和穩(wěn)定性第1頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.1單步法的收斂性

數(shù)值解法的基本思想就是要通過某種離散化方法，將微分方程轉(zhuǎn)化為某種差分方程（例如，（8.1.8）式）來求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差分方程的解，是否收斂到微分方程的準(zhǔn)確解。

定義8.3

對(duì)于任意固定的，若對(duì)于初值問題（8.1.1）的顯式單步法（8.1.8）產(chǎn)生的近似解，均有，則稱該方法是收斂的。在定義中，是固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有，n不是固定的。顯然，若方法是收斂的，則在固定點(diǎn)處的整體截?cái)嗾`差趨于零。下面給出方法收斂的條件。

定理8.1

設(shè)初值問題（8.1.11）的單步法（8.1.8）是p階的（），且函數(shù)滿足對(duì)y的Lipschitz條件即存在常數(shù)，使第2頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)一切成立，則方法（8.1.8）收斂，且。因?yàn)椋?.1.8）是p階的，所以存在，當(dāng)時(shí)有。再用的Lipschitz條件有為了方便，記，即有。由此可推得證仍記，根據(jù)局部截?cái)嗾`差的定義將此式與（8.1.8）相減得第3頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月利用關(guān)系式可以得到現(xiàn)在取，有，于是有。定理得證。

容易證明，如果（8.1.1）的滿足Lipschitz條件是,且初值是正確的，則顯示Euler法、改進(jìn)的Euler法和R-K方法是收斂的。由定理8.1說明,f關(guān)于y滿足Lipschitz條件是使單步收斂的充分條件，而且，還說明一個(gè)方法的整體截?cái)嗾`差比局部截?cái)嗾`差低一階。所以，常常通過求出局部截?cái)嗾`差去了解整體截?cái)嗾`差的大小。

單步法的顯式形式（8.1.8）可寫成

（8.3.1）第4頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為增量函數(shù)。對(duì)于收斂的方法，固定，有從而。對(duì)于（8.3.1），我們自然要考慮

是否成立。這就是相容性問題。則稱方法（8.1.8）與初值問題（8.1.1）是相容的。

相容性說明數(shù)值計(jì)算的差分方程（8.3.1）趨于（8.1.1）中微分方程。我們本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容的。定義8.4若方法（8.1.8）的增量函數(shù)滿足第5頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.2單步法的穩(wěn)定性

對(duì)于一種收斂的相容的差分方程，由于計(jì)算過程中舍入誤差總會(huì)存在，我們需要討論其數(shù)值穩(wěn)定性。一個(gè)不穩(wěn)定的差分方程會(huì)使計(jì)算解失真或計(jì)算失敗。

為了討論方便起見。將（8.1.1）中的在解域內(nèi)某一點(diǎn)作Taylor展開并局部線性化，即令利用線性化的關(guān)系，可得。因此，我們通過如下的試驗(yàn)方程第6頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月（8.3.2）討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性。當(dāng)某一步有舍入誤差時(shí)，若以后的計(jì)算中不會(huì)逐步擴(kuò)大，則稱這種穩(wěn)定性為絕對(duì)穩(wěn)定性。

現(xiàn)在討論顯式Euler法的穩(wěn)定性。將顯式Euler法用于試驗(yàn)方程（8.3.2），有

。當(dāng)有舍入誤差時(shí)，其近似值為，從而有

。令，得到誤差傳播方程。令，只要，則顯式Euler方法的解和誤差都不會(huì)惡性發(fā)展，即時(shí)，顯式Euler方法是穩(wěn)定的，即是條件穩(wěn)定的。

對(duì)于梯形方法，應(yīng)用于試驗(yàn)方程后，有第7頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，有誤差方程，其中。因此當(dāng)時(shí)，梯形方法是穩(wěn)定的。

一般地，在試驗(yàn)方程（8.3.2）中，我們只考慮的情形，而對(duì)的情形，我們認(rèn)為微分方程是不穩(wěn)定的。比如，將顯式Euler方法用于（8.1.1）中的方程，有當(dāng)時(shí)，有。對(duì)于每一種單步法應(yīng)用于試驗(yàn)方程（8.3.2），可得

（8.3.3）然而，對(duì)于不同的單步法，有不同的表達(dá)式。第8頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月定義8.5

若（8.3.3）式中的，則稱對(duì)應(yīng)的單步法是絕對(duì)穩(wěn)定的。在復(fù)平面上，滿足的區(qū)域，稱為方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域，它與實(shí)軸的交稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。

一些單步法的表達(dá)式和它們的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間列于表8-4。從表中可見，隱式方法比顯式方法的絕對(duì)穩(wěn)定性好。表8-4

方法絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間Euler法改進(jìn)的Euler法三階R-K法四階R-K法隱式Euler法梯形式第9頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.4分別取h=1，2，4，用經(jīng)典R-K方法計(jì)算其準(zhǔn)確解為。

解本題分別為-1，-2，-4。有表8-4可知，當(dāng)時(shí)，該方法才穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果列于表8-5h=1的解h=2的解h=4的解準(zhǔn)確解表8-553.63943.67305.47153.638997.63237.636716.82917.63221311.632111.632657.6171