單步法的收斂性和穩(wěn)定性

單步法的收斂性和穩(wěn)定性第1頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.1單步法的收斂性

數(shù)值解法的基本思想就是要通過某種離散化方法，將微分方程轉化為某種差分方程（例如，（8.1.8）式）來求解。這種轉化是否合理，還要看差分方程的解，是否收斂到微分方程的準確解。

定義8.3

對于任意固定的，若對于初值問題（8.1.1）的顯式單步法（8.1.8）產(chǎn)生的近似解，均有，則稱該方法是收斂的。在定義中，是固定的點，當時有，n不是固定的。顯然，若方法是收斂的，則在固定點處的整體截斷誤差趨于零。下面給出方法收斂的條件。

定理8.1

設初值問題（8.1.11）的單步法（8.1.8）是p階的（），且函數(shù)滿足對y的Lipschitz條件即存在常數(shù)，使第2頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月對一切成立，則方法（8.1.8）收斂，且。因為（8.1.8）是p階的，所以存在，當時有。再用的Lipschitz條件有為了方便，記，即有。由此可推得證仍記，根據(jù)局部截斷誤差的定義將此式與（8.1.8）相減得第3頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月利用關系式可以得到現(xiàn)在取，有，于是有。定理得證。

容易證明，如果（8.1.1）的滿足Lipschitz條件是,且初值是正確的，則顯示Euler法、改進的Euler法和R-K方法是收斂的。由定理8.1說明,f關于y滿足Lipschitz條件是使單步收斂的充分條件，而且，還說明一個方法的整體截斷誤差比局部截斷誤差低一階。所以，常常通過求出局部截斷誤差去了解整體截斷誤差的大小。

單步法的顯式形式（8.1.8）可寫成

（8.3.1）第4頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為增量函數(shù)。對于收斂的方法，固定，有從而。對于（8.3.1），我們自然要考慮

是否成立。這就是相容性問題。則稱方法（8.1.8）與初值問題（8.1.1）是相容的。

相容性說明數(shù)值計算的差分方程（8.3.1）趨于（8.1.1）中微分方程。我們本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容的。定義8.4若方法（8.1.8）的增量函數(shù)滿足第5頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3.2單步法的穩(wěn)定性

對于一種收斂的相容的差分方程，由于計算過程中舍入誤差總會存在，我們需要討論其數(shù)值穩(wěn)定性。一個不穩(wěn)定的差分方程會使計算解失真或計算失敗。

為了討論方便起見。將（8.1.1）中的在解域內某一點作Taylor展開并局部線性化，即令利用線性化的關系，可得。因此，我們通過如下的試驗方程第6頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月（8.3.2）討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性。當某一步有舍入誤差時，若以后的計算中不會逐步擴大，則稱這種穩(wěn)定性為絕對穩(wěn)定性。

現(xiàn)在討論顯式Euler法的穩(wěn)定性。將顯式Euler法用于試驗方程（8.3.2），有

。當有舍入誤差時，其近似值為，從而有

。令，得到誤差傳播方程。令，只要，則顯式Euler方法的解和誤差都不會惡性發(fā)展，即時，顯式Euler方法是穩(wěn)定的，即是條件穩(wěn)定的。

對于梯形方法，應用于試驗方程后，有第7頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，有誤差方程，其中。因此當時，梯形方法是穩(wěn)定的。

一般地，在試驗方程（8.3.2）中，我們只考慮的情形，而對的情形，我們認為微分方程是不穩(wěn)定的。比如，將顯式Euler方法用于（8.1.1）中的方程，有當時，有。對于每一種單步法應用于試驗方程（8.3.2），可得

（8.3.3）然而，對于不同的單步法，有不同的表達式。第8頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月定義8.5

若（8.3.3）式中的，則稱對應的單步法是絕對穩(wěn)定的。在復平面上，滿足的區(qū)域，稱為方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域，它與實軸的交稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間。

一些單步法的表達式和它們的絕對穩(wěn)定區(qū)間列于表8-4。從表中可見，隱式方法比顯式方法的絕對穩(wěn)定性好。表8-4

方法絕對穩(wěn)定區(qū)間Euler法改進的Euler法三階R-K法四階R-K法隱式Euler法梯形式第9頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.4分別取h=1，2，4，用經(jīng)典R-K方法計算其準確解為。

解本題分別為-1，-2，-4。有表8-4可知，當時，該方法才穩(wěn)定，計算結果列于表8-5h=1的解h=2的解h=4的解準確解表8-553.63943.67305.47153.638997.63237.636716.82917.63221311.632111.632657.6171