地下水動力學電子教案

地下水動力學電子教案第一章地下水運動的基本概念與基本概念掌握典型體元、非均質(zhì)各向異性、非均質(zhì)各向同性、均質(zhì)各向異性、均質(zhì)各向同性的等規(guī)律所遵循的基本定律－達西定律；掌握流網(wǎng)的特征并及其在實際中的應(yīng)用，1.1地下水運動的基本概念我們以前學過《水力學》，從課程名字來看他們很相似，那《地下水動力學》和《水力1、水力學與地下水動力學異同點相同點：都是研究水的運動規(guī)律的學科。相異點：水力學是研究水在管道或渠道中的運動。地下水動力學則是研究水在巖石空隙中（孔隙、裂隙、巖溶）運動規(guī)律。2、滲流與滲流場我們剛才講到地下水地下水滲流，那滲流和實際的水流又有什么區(qū)別呢？由水力學我們知道普通水流的流向是從總水頭高的地方流向總水頭低的地方，水流量小也水頭差和水頭損失。但是從圖1-1-0b和1-1-3a可以看出，普通水流在管道中運動取決我們知道在自然界中多孔介質(zhì)中固體的邊界的集合形狀是各種各樣的，形狀十分復(fù)雜，來說是不連續(xù)的，而此也其運動要素（如流速矢量）的分布變化無常，是非穩(wěn)定流，但是大圖1-1-3a地下水實際流動從微觀角度研究地下水運動的難度有兩個方面：A）如果從微觀角度來看地下水運動（滲流）：地下水是在不同的空隙中運動的。要獲得微觀角度每一個空間點的水流運動參數(shù)，首先必須獲得空隙的幾何參數(shù)（查明每一個空隙與固體顆粒之間的邊界位置等這是十分困難的。B）從微觀角度來看地下水流在空間上是不連續(xù)的。固體顆粒部分是沒有水流的，因此述水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)，因此基于連續(xù)函數(shù)的許多微積分方法無法應(yīng)用。因此在研究地下水運動規(guī)律時，我們通常要從宏觀水平上來考察。于是我們就提出了滲流的概念。現(xiàn)在我們?yōu)榱丝朔厦嫠岬降睦щy和研究方便我們引用一個假想的水流來代替真實的水流(如圖1-1-3b)，這種假想水流是：我們不是說從實際水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)嗎？現(xiàn)在我們就假設(shè)：1、這種假想水流充滿整個多孔介質(zhì)的連續(xù)體；所謂的整個多孔介質(zhì)它包括空隙和固體部分，不僅僅是空隙了，主要處處有空隙，處處有水流。當然為了使假設(shè)水流更加符合實際情況我們有一下2各假設(shè)：2、這種假想水流（滲流）的阻力與實際水流在空隙中所受到的阻力相同；也就是說，我們假設(shè)在這個空隙中的有一點，這一點的假想的水流和實際的水流所受的阻力是相等的。3、滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流在該點周圍一個小范場”。我們剛才在假設(shè)3中提到滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流？，下面我們引入一個典型體元，有些書也叫典型單元體（RepresentativeElementaryVolume）的概念：下面我們是空隙率為例來講解什么是典型單元體。vVvv那么要取多大的V才能代表典型單元體的體積呢？現(xiàn)在假設(shè)P點為多孔介質(zhì)的內(nèi)的某一點，這一點可以在落在固體顆粒上也可以在空隙等于顆粒的體積是我們知道空隙率n=0；當P點位于空隙中時，所取的體積小于或等于顆粒顆?；蚩障扼w積產(chǎn)生明顯的波動，但是隨著體積V的逐漸增大波動逐漸減少，當體積V取至某一個體積時，空隙率趨于一平均值n，此時的體積V稱為典型體元V0。若體積再繼續(xù)增大把P點外圍的非均質(zhì)區(qū)(K2區(qū)因此典型單元體是有一定體積，但是不能太大，因為太大掩蓋了多孔介質(zhì)的非均質(zhì)性。n(P)=limVv或n(P)=V0v0VV00如果使二維面積上或線上取平均值，則稱為面空隙率或線空隙率。ALn(P)=—AL1、地下水質(zhì)點實際流速、空隙平均流速和滲透流速粘滯力，因此從微觀上看顆粒間的水的流速分布如圖1-1-2a所示，并不是相等的，那怎么A）將u＇在以P為中心的典型體元空隙部分V0v上取平均值，其表達式為：-我們也知道在固體顆粒部分水的流速為0，因此積分的范圍可以用V來代替V。我們通常把這樣平均的流速叫空隙平均流速，用u表示。B）將u在以P為中心的整個典型體元V0（包括空隙和固體兩個部分-vvH(P)=H(P)=質(zhì)點的實際流速u藍線為空隙平均流速u，紫色為滲透流速v。現(xiàn)在用空隙平均流速u和滲透流速v的相除可以得到-=0v=n0我們知道在多孔介質(zhì)中，互不連通的孤立孔隙對地下水的儲存和運動都是沒有意義的，e2、壓強、水頭和水力坡度在中學我們學過壓強的有關(guān)概念，壓強是指單位面積上所受的壓力。它是一個平均的概通過剛才講過我們研究地下水流動不是研究它的微觀運動而是研究在一定范圍的各項運動要素的平均值。因此，地下水的壓強也是指典型體元宏觀水平上的平均壓強。用下式表示：p(P)=p(P)=VvVV0v與水力學一樣，為了研究方便，地下水的壓強的大小也用水柱的高度表示，ph=-pY因此宏觀水平的水頭H定義為 0v壓強及水頭者之和。即由于在地下水運動中，地下水孔隙平均流速很?。◣r溶管道除外）因此2相對前兩p-=HYp因此在在研究地下運動時，一般不去嚴格區(qū)分總水頭或測壓水頭，而通稱水頭，用H準面到揭穿該點井孔的水位處的垂直距離來表示。沿法線方向的水頭變化稱為水力坡度。即dH表達為三個分量，即J=dHJ=dHJ=dH1.2滲流基本定律一、達西實驗（穩(wěn)定流）在《水文地質(zhì)學基礎(chǔ)》中我們做個這個實驗，下面我們來回顧一下：這個實驗由法國水力工程師亨利·達西(HenryDarcy)在裝有均質(zhì)砂土濾料的圓柱形筒中做了大量的滲流實驗(圖1-2-1)，于l856年發(fā)現(xiàn)：滲透流速與水力坡度成正比，即線性滲流定律，這是滲流基本定律，后人稱之為達西定律，其形式為HHl和2兩斷面間的距離；J為水力坡度，圓筒中滲流屬于均勻介質(zhì)一維流動，滲流段內(nèi)各點的水力坡度均相等；K為比例系數(shù)，稱為砂土的滲透系數(shù)(也稱水力傳導(dǎo)系數(shù))。達西定律的另一表達形式為-A式中：υ為滲流速度，又稱達西速度，量綱為它為線性滲透定律，這也說明此時地下水的流動狀態(tài)為層流。變小。剛才我們講過，它的微分形式；是沿流線任意點的水力坡度。在直角坐標系可表示為xyzK——K——K二、不穩(wěn)定條件下滲流實驗滿足線性滲流定律呢?下面我們用如圖1-2-2這樣的裝置，來驗證了達西線性定律同樣適用于不穩(wěn)定滲流。H(t)lH(t)l式中的負號表示了隨著通過砂柱斷面水體積(V)的增加，水頭(H)值在減小H(t)H(t)l則KdH-dt=─lH積分t0-lHH0K-t=lH HH-llnHK0K關(guān)系；否則呈非線性關(guān)系。反之，我們可根據(jù)實驗曲線t-lgH的形態(tài)來判斷滲流是否服從達一條曲線，那表示不遵循達西定律。另外也可以通過不穩(wěn)定滲流實驗來求得砂樣的滲透系數(shù)值。其滲透系數(shù)的大小就是這條直線三、滲透系數(shù)小取決于哪些因素呢?下面通過兩個簡單的理想模型，以幫助我們從本質(zhì)上理解滲透系數(shù)的概念。在《水力學》中我們得到：在層流條件下，圓管中過水斷面的平均流速為d2Y①如果把空隙介質(zhì)的透水性理想化，看成由一系列細小的圓管組成而保留其孔隙率不變(圖1-2-4)，則沿圓管方向的滲透流速為μ②地下水在裂隙巖層中的運動，可以利用兩平行板間液體的運動來對比。兩平行板間的寬度可視為理想化的裂隙巖層的裂隙寬度B2Y如果將裂隙巖體中裂隙系統(tǒng)，想象成一系列等寬的、平直的裂隙所組成(圖1-2-5)，則沿裂隙組的交線方向的滲透流速為如果將(1-2-10)式和(1-2-12)式與線性滲透定律v=KJ進行比較，得出下列結(jié)論：(1)上述兩式中，滲流速度和水力坡度都成正比關(guān)系。說明它們和達西定律的條件相同，都nd2?-,在裂隙巖層中相當于nB2Y?-。前面的不僅取決于巖石的空隙性，而且與滲透液體的物理性質(zhì)有關(guān)。若以k表示純粹由巖石空隙性所決定的滲透性能，則K=k-μ2)。它是不隨液體的物理性質(zhì)而為3040%)的0．0001～0．00001。這充分說明了上述結(jié)論的正確性。當然，這里還存在結(jié)合水幾乎不參與流動的問題。(3)液體的物理性質(zhì)對滲透系數(shù)的大小有直接的影響。它與γ成正比，與粘滯動力系運動；在其他條件相同的情況下，γ愈大則愈易流動。但若液體粘滯性愈大，則愈不易流動，例如油不如水容易流動。對于地下水來講，γ和μ決定予水的礦化度、水溫和壓力等(四)線性定律的適用條件西定律，即滲透流速口和水力坡度t，呈線性關(guān)系；當Re>10時，滲透流速和水力坡度呈現(xiàn)曲線關(guān)系，達西定律不再適用。②、液體要處于層流狀態(tài)，也就是說液體流速要小于它的臨界流速vc,對于孔隙巖層，應(yīng)用vcv—臨界水力坡度Jc、裂隙寬度及裂隙相對粗糙度間關(guān)系的經(jīng)驗公式為：裂隙含水介質(zhì)中一般情況下的地下水運動也是呈層流狀態(tài)。僅僅在寬裂隙和溶洞發(fā)育地區(qū)可以形成局部的紊流地段。④、有些學者還研究了達西定律的下限問題。他們通過實驗發(fā)現(xiàn)某些粘性土存在一個起時，滲流才服從達西定律。1.2.2非線性滲流定律線性滲流定律必須符合上面提到的條件才能成立，否則是非線性的。對于非線性定律研究也很多，但具有代表意義的是：1901年，福希海默(Forchheimer)提出在大雷諾數(shù)(Re>10)條件下，滲流速度和水力坡度之問的非線性關(guān)系式，即2式中：A和B都是系數(shù)，它們?nèi)Q于流動狀態(tài)，若滲流屬層流，則系數(shù)B=0，21912年，克拉斯諾波里斯基提出了當?shù)叵滤饰闪鳡顟B(tài)時的滲流基本定律表示形式這表達式和福希海默提出的(1—2—16)式呈紊流態(tài)時的表達式一致。一、滲流的分類①、按運動要素(v,p,H)是否隨時間變化②、按地下水質(zhì)點運動狀態(tài)的混雜程度穩(wěn)定流（各運動要素不隨時間變化）非穩(wěn)定流（運動要素隨時間變化）過渡區(qū)流態(tài)承壓流無壓流承壓—無壓流④、按巖層透水性以及對地下水所起作用分含水層透水層（弱透水層）一維流（僅沿一個方向存在流速(圖1-2-8a)）⑤、按滲流速度在空間上變化的特點沿兩個平面方向存在分流速）剖面二維流(圖1-2-8b2)沿兩個平面方向存在分流速）剖面二維流(圖1-2-8b2)⑥、按巖層滲透性隨空間和方向變化特點，分均質(zhì)各向同性、均質(zhì)各向異性、非均各相等，若用滲透系數(shù)圖表示，它是一個圓如圖[1-2-8(a)]。因此可以認為K是一個標量。K=(KKK)xxxyxzKKKyxyyyzKKK圖1-2-8各向同性(a)及各向異性(b)滲透系數(shù)圖若空間各點同方向上滲透系數(shù)相等，稱為均質(zhì)巖土；否則為非均質(zhì)巖土。①均質(zhì)各向同性巖土，如均勻砂或礫石土；②均質(zhì)各向異性巖土，如均質(zhì)并發(fā)育垂直大孔隙的黃土層；③非均質(zhì)各向同性巖土，如雙層結(jié)構(gòu)的土層；④非均質(zhì)各向異性，裂隙、巖溶含水介質(zhì)大多屬于此類巖土二、各向異性介質(zhì)中地下水流的達西定律在前面我們得到達西定律的表達形式為：))))或xyzxyz(KxxKyxKKxyKyyKKKK)(J)||)(J)zJ、J和J分別是xxxyK、···K9個系數(shù)構(gòu)成的矩陣是三、滲透系數(shù)張量的坐標轉(zhuǎn)換一個客觀存在的各向異性介質(zhì)，其滲透系數(shù)張量xxxyz對角線張量，即(K00(K00)這時的若K=K=K則屬于各向同性介質(zhì)。顯然，當坐標軸取向與各向異性介質(zhì)滲透系數(shù)主?H?H?H依上面討論，對于xoy坐標系，滲流速度分量兩者存在下列關(guān)系設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣[R]則則(1-2-27)式可表為則則(1-2-27)式可表為解得x對比（1-2-25）式和（1-2-32）式得xxεεηηxyεεηηyxεεηηθyyεεηη由此可以得出一個重要的結(jié)論，滲透系數(shù)張量分量所構(gòu)成的矩陣KK是一個對稱矩陣。1.3地下水通過非均質(zhì)巖層突變界面的折射現(xiàn)象我們在中學中學過，光從一種介質(zhì)進入到另外一種介質(zhì)中會在接交界面發(fā)生折射現(xiàn)象，地下水也有類似似的的現(xiàn)象，地下水在非均質(zhì)巖層中運動，當水流通過滲透系數(shù)突變的分界面時，出現(xiàn)流線改變方向的現(xiàn)象，我們叫做地下水的折射現(xiàn)象。圖1-3-1地下水流線折射原理概念圖tgaK 1=1tgaK是為了改變滲流斷面的面積，以滿足滲流連續(xù)性原理。流平行或垂直層界面時，流線不發(fā)生折射而仍然平行或垂直于層界面流動。因此，只有當1邊界條件和源匯項等的控制（上面幾點結(jié)合光線折射的現(xiàn)象，類比進行講解）流網(wǎng)：滲流場內(nèi)由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。各向同性和各向異性巖層的流網(wǎng)特征不同，下面我們將分別敘述。各向同性的巖層由于各方向的透水性(K值)均相等，所以流線(面)和等水頭線(面)必定互一、流網(wǎng)的實用意義水運動方向及補排關(guān)系；圖l-4-1的剖面流網(wǎng)表示了地下水與地表水之間的水力聯(lián)系。圖中aa是條分流線。變?yōu)榈叵滤?。然而在aa分流線以下的地下水由河流的一側(cè)直接向河流的另一側(cè)流動。②、定性確定水文地質(zhì)條件②等水頭線的疏密反映導(dǎo)水性的大?。虎哿骶€繞流時，遇弱透水層[圖l-4-2(b)]④流線匯集時，遇強透水層[圖l-4-2(a)]③、流網(wǎng)的研究對水文地質(zhì)計算方法的選擇有重要意義；若流線和已知邊界平行，說明沒有水流通過該邊界，為不透水邊界[圖1-4-3(a)]；若流線和邊界相正交，該邊界為等水頭邊界[圖1-4-3(b)]；假如流線和邊界斜交，則它是屬于非等水頭的補給或排泄邊界[圖1-4-3(c)]。⑤、精確的流網(wǎng)可用來計算滲流區(qū)的滲流速度、滲流量以及區(qū)內(nèi)任意點的水力坡度(第④、達西定律：十一章介紹)?；部汕蟮酶鳚B流要素隨時間的變化。二、繪制流網(wǎng)的方法繪制流網(wǎng)的方法很多，大體上有以下三類：①、利用野外實地觀測到滲流區(qū)各已知點的水位資料結(jié)合邊界條件來繪制；②、可采用物理模擬或數(shù)值模擬方法獲得(這將在以后章節(jié)和后續(xù)課程中講解)；三、繪制信手流網(wǎng)圖步驟①、要確定補給區(qū)、排泄區(qū)，依此來確定地下水流向，即流線的起點和終點；②、繪制肯定的流線與等水頭線根據(jù)滲流場邊界性質(zhì)來確定天然的流線與等③、當出現(xiàn)兩個以上排泄區(qū)時，依據(jù)概念分析滲流場內(nèi)由于源匯形成的分流面。④、已經(jīng)流網(wǎng)的性質(zhì)繪制其他地方的流網(wǎng)。1.4.2、各向異性巖層地下水的流網(wǎng)特征在各向異性介質(zhì)中，流線和等水頭一般不再呈正交關(guān)系。dHdH那水力坡度J在空間直角坐標系表達為三個分量，即dHdHdHKKKllllK0K適用范圍：層流條件下。的大小除了受到空隙介質(zhì)的影響外還受到液體物理性質(zhì)的影響。⑥、按巖土的滲透性是否隨方向變化，將巖土分為各向同性和各向異性兩類，按巖土透水性在空間上是否變化分為均質(zhì)巖土和非均質(zhì)巖士。⑧、地下水通過非均質(zhì)巖層突變界面的折射現(xiàn)象，折射現(xiàn)象滿足KtgcK 1=tgc222⑨、流網(wǎng)是滲流場內(nèi)由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。⑩、各向同性的巖層流線(面)和等水頭線(面)必定互相垂直。由它們組成的網(wǎng)格是一系列矩形網(wǎng)格；在各向異性介質(zhì)中，流線和等水頭一般不再呈正交關(guān)系。第二章地下水運動的基本微分方程及定解條件連續(xù)性方程，潛水、承壓水和越流含水層中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程的推導(dǎo)過程；熟悉定解條件，并能夠正確建立數(shù)學模型。微分方程2.1滲流連續(xù)性方程連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于流體運動的具體表現(xiàn)形式。守恒，就需要建立以微分方程表達的連續(xù)性方程。為了反映含水層中地下水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質(zhì)中建立地下水三維不穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。>>忽略多孔介質(zhì)固體顆粒的壓縮性；我們在各向異性含水介質(zhì)中取一微小立方體(圖2-1-1)，以這個微小立方體的多孔介質(zhì)為均衡體，以△t為均衡時段，建立其質(zhì)量守恒方程，即滲流連續(xù)性方程。在△t時段內(nèi)，沿x方向通過左側(cè)x斷面流入均衡體的質(zhì)量為在同一△t時段內(nèi)，沿x方向通過右側(cè)x+△x斷面流出均衡體的質(zhì)量為那么，在△t時段內(nèi)，沿x方向通過左右側(cè)斷面凈流入均衡體的質(zhì)量為 ②同理：△y方向上，水凈流入均衡體的質(zhì)量為 ③同理：△z方向上，水凈流入均衡體的質(zhì)量為④那么，在△t時間段內(nèi)，三個方向凈流入均衡體的質(zhì)量為（2）△t時間段內(nèi)，均衡體內(nèi)所儲存地下水質(zhì)量的變化△m：量的變化，即{x]方程兩端除以△t：{x并取△x→0，△y→0，△z→0和△t→0，則有x它用數(shù)學的形式表達了滲流區(qū)內(nèi)任何一個“局部”所必須滿足的質(zhì)量守恒定律，又稱關(guān)系式時，也必須應(yīng)用能反映質(zhì)量守恒原理的另一種形式的連續(xù)性方程來代替。本微分方程的基礎(chǔ)之一。為建立以水頭H為因變量的地下水運動的基本微分方程，要引入滲流基本定律，將vx、vy要涉及水和多孔介質(zhì)的壓縮性問題。2.2水及多孔介質(zhì)的壓縮方程V），恒量Vp-β(p-p0)0β(p-p0)（2-2-4?)0將2-2-4、4?中的指數(shù)項用馬克勞林公式展開ββ(p-p)β2(p-p)2β3(p-p)3ββ(p-p)β2(p-p)2β3(p-p)30+0+0+Λ]00假定多孔介質(zhì)變形符合虎克定律，于是有=-bbbbCCbbVb建立水和多孔介質(zhì)的壓縮狀態(tài)方程的目的，是為了解決ρ、n、△z三者與水頭H或水壓p的關(guān)系，為下一步建立地下水運動的基本微分方程奠定了基礎(chǔ)。2.3承壓水運動的基本微分方程量的滲流基本微分方程作了必要的準備。從滲流的連續(xù)性方程2-1-1為基礎(chǔ)，推導(dǎo)承壓水非穩(wěn)定運動的基本微分方程。于是只有水的密度ρ、孔隙度n和單元體高度△z三個量隨壓力變化。eeVVSV是多孔介質(zhì)均衡體中固體部分的厚度。是多孔介質(zhì)均衡體中固體部分的厚度。也就是說，雖然△z和這樣，式這樣，式2-1-1的右端可進一步改寫為把式2-2-6、9代入式2-3-1得yyy代入式2-1-1左端得xxyyxxyy)xxxx)而xxxx|pK(?H))yy?Hyy|pK(?H)))yxxyy（2-3-4-2）（2-3-4-3）把上式和式2-3-2?H代入式2-1-1得xxyy?t?t?HΔx?Hxxyybbsxxyy式2-3-7是各向異性承壓含水層中地下水三維不穩(wěn)定流的基本微分方程。它表示在達西流條件下，單位體積、單位時間的水均衡關(guān)系。為了討論水頭降低時含水層釋出水的特征，我們?nèi)挝惑w積的含水層（面積為1m2、厚度為1m考察當水頭下降△H=1m時釋放水量。此時有效應(yīng)力增加了CCb由式bV可見,YC的物理意義是:當水頭下降一個單位時,由于空隙介質(zhì)受壓縮(厚度變薄,空隙率變小),從單位體積空隙介質(zhì)中所釋放出的水量.可見,nβY表示單位空隙介質(zhì)體積中,當水頭下降一個單位時,由于水的膨脹釋放出來的水量(體積).那么二者之和為bs其量綱為L-1。忽略含水介質(zhì)在壓縮過程所引起介質(zhì)滲透性的變化，于是式2-3-7可寫為2H2Hxx2yy2s對于等厚度的承壓含水層，若屬于平面二維流，則對于等厚度的承壓含水層，若屬于平面二維流，則那么，式2-3-10可改寫為對于水平方向滲透系數(shù)為各向同性，而垂向與水平向間為各向異性，即那么式2-3-10可改寫為Krrs對于軸對稱流動問題，采用柱坐標系更方便，式2-3-11可改寫為Krrs2xxxx2H2Hxxyyxxyy那么式2-3-13可改寫為Txx2H2Hyye同樣，由式2-3-12可得極坐標系下均質(zhì)、等厚、各向同性承壓含水層軸對稱流的基本微分TK如果我們研究的是穩(wěn)定流，即2H+δr2r則由式2-3-12可得柱坐標系下均質(zhì)、水平與垂向各向異性、軸對稱流的基本微分方程Krrrrs由式2-3-13可得直角坐標系下均質(zhì)、等厚、各向異性平面二維流的基本微分方程2H2Hxx2yy2sxx2yy2sTxx2H2H2yy2e可得柱坐標系下的均質(zhì)、等厚、各向同性承壓含水層軸對稱流的基本微分方程e（2-3-24）若x、y、z軸與各向異性主方向不一致，則方程2-3-7改為xxxyyxyy2.4潛水運動的基本微分方程水，潛水面不是水平的，因此，等水頭面不是鉛直面（圖2-4-1潛水流屬于三維流或剖面二維流。這使得潛水的流動問題復(fù)雜化，以至嚴格求解變得十分困難。圖2-4-1潛水流中的水頭分布圖對于潛水面上無垂直補給、排泄的剖面二維穩(wěn)定流(圖2-4-1)，潛水面是流面，因此潛水面上任意一點的滲流速度xt)可近似代替H(x，y，t)。力坡度和滲透系數(shù)都是相等的。這稱為Dupuit假定。此時，滲流被視為基本上是水平的，x對于剖面二維流問題，單寬流隔水底板水平，基準面取在隔水底板處，則qxDupuit假定是當無垂向補排的穩(wěn)定流條件且當潛水面坡度很小時的條件下提出的。當潛水存在垂向補排或潛水呈不穩(wěn)定流時，即使?jié)撍嫫露群苄?，能否引出Dupuit假定而將等水頭面近似視為鉛垂面？則要視條件具體分析。圖2-4-2潛水剖面二維流均衡要素圖*研究的潛水面滿足裘布依假定；*潛水層隔水底板水平；(2)剖面二維流Boussinesq方程的建立根據(jù)圖2-4-2，從質(zhì)量守恒定律出發(fā)建立Boussinesq方程。①△x時段內(nèi),外部流入均衡體的水量(x,t)x+△x的斷面流入量為qΔt；頂面的補給量為W△x△t。②△x時段內(nèi),均衡體內(nèi)部的水量變化量③根究質(zhì)量守恒，建立方程(x,t)(x+Δx,t)方程兩端同除以△x△t，得(x,t)(x+令△x→0，△t→0，則得均衡體的水均衡方程依據(jù)假定條件，并引用式2-4-2d d,則式2-4-3可改寫為2-4-3’式2-4-3即為布西涅斯克方程。由于該方程在推導(dǎo)中引入了Dupuit假定，使得剖面二W直接在微分方程中表示，從而大大簡化了它的求解.(3)剖面二維流Boussinesq方程的線性化Boussinesq方程是非線性的，一般情況下它的求解十分困難，因此常采用近似方法使第一種方法將上述方程左端第一項括號中的h用平均值h代替并視作md第二種線性化方法是，在方程兩端均乘以h，并令121md?t（4）三維流的Boussinesq方程相應(yīng)第一種和第二種線性化后的方程（5）Boussinesq方程的不同形式對于均質(zhì)含水層，且無垂向入滲補給和蒸發(fā)排泄的情況，式2-4-9可變?yōu)閐對于潛水含水層也可引入mμd那么式2-4-10可改寫為對于軸對稱潛水流問題，宜采用極坐標系系，于是式2-4-10、13可改寫為(?2(?(?2(?22+++μ（6）潛水運動的一般形式的偏微分方程衡單元體不同。因此，應(yīng)用Boussinesq方程得到的H(x，y，t)只代表該點整個含水層厚度流問題是不適用的，應(yīng)采用不用Dupuit假設(shè)的一般形式的方程：HxxyyHs2.5地下水運動微分方程的定解條件滲流的基本微分方程是根據(jù)地下水質(zhì)量守恒原理和滲流基本定律而得。下水不穩(wěn)定流動穩(wěn)定問題，還涉及研究區(qū)地下水的初始狀態(tài)——初始條件。2.5.2.1概述對于具體問題的研究，研究范圍的確定是個十分復(fù)雜和重要的問題。2.5.2.2給定水頭邊界條件（第一類邊界）邊界上水頭動態(tài)變化已知的稱為第一類邊界條件。對于二維和三維流可分別表示為：1H111111中，常常假定含水層水平方向無限延伸，這時取無限遠處的水頭保持不變，這也是第一類邊2.5.2.3給定流量邊界條件（第二類邊界）邊界單寬流量q（平面二維流問題或滲流速度v（三維流和剖面二維流問題）已知者稱為第二類邊界條件。對于平面二維和三維流（或剖面二維流）可分別表示為12(x,y)eB2(x,y,z)eB2B22H、n分別是水頭和邊界的外法線方向；q、v分別是流入研究區(qū)的單寬流量和滲流速度，流入時取正值，當q=0或v=0時，稱為隔水邊界3的線性組合已知，即描述所研究問題初始時刻（t=0）研究區(qū)D內(nèi)各點的水頭分布情況，稱為初始條件。(x,y,z)eD(x,y,z)eD(x,y,z)eD(x,y,z)eD或或計算中的初始時刻可以任意取定，只要那個時刻的水頭分布已知。這個時刻如何選取，2.6地下水運動微分方程的數(shù)學模型及其解法本書主要討論確定性模型。利用數(shù)學分析方法求解數(shù)學問題可以得到一個利用連續(xù)函數(shù)表達其解的方法。這個函數(shù)表達式——解析解或精確解反映了含水層參數(shù)及邊界條件等對水頭的時空分布的影響。因此，可以直接或通過數(shù)學分析方法來揭示各因素與水頭H的時空分布的內(nèi)在聯(lián)系。頭值，因而可以通過數(shù)學分析方法給定任意時空點的水力坡度J、滲流速度v和任意斷面的流量Q等運動要素；而且解析解是精確的。布離散點上的數(shù)值解。這些數(shù)值解不能直接給出含水層參數(shù)邊界條件等對水頭分布的時空分布的函數(shù)關(guān)系，只能從數(shù)值分布特征去尋找規(guī)律。另外，數(shù)值解本身是一個近似解。很大，因而需要借助電子計算機來實現(xiàn)。由于已知控制地下水運動的基本微分方程是拋物線或橢圓方程，這一數(shù)學物理方程在其則可以采用一種物理現(xiàn)象來研究另一種物理對象，這就是物理模型。借助某種物理模型來研究滲流的方法稱為物理模擬方法。本章小結(jié)1xxyys-s當水頭下降一個單位時，從單位體積空隙介質(zhì)中釋放的水量(體積)，其量綱為L-1。同一鉛直剖面上各點的水力坡度和滲透系數(shù)都是相等的。xqxd-d-mmd-d-mhmKd-B11111B22B2(x,y)eB2(x,y,z)eB2若某段邊界B上H和─的線性組合已知，即3δn式中C和β為上述邊界的已知函數(shù)，這種類型的邊界條件稱為第三類邊界條件或混合描述所研究問題初始時刻（t=0）研究區(qū)D內(nèi)各點的水頭分布情況，稱為初始條件?；?x,y,z)eD第三章地下水向河渠的穩(wěn)定運動題的分段法和等效厚度法。勻穩(wěn)定入滲的潛水向河渠二維穩(wěn)定運動；靈活運用分段法和等效厚度法求解非均質(zhì)問題。L3.1均質(zhì)含水層中地下水向河渠的運動3.1.1承壓含水層中地下水向河渠一維穩(wěn)定運動HHLHHLQBHH LHHHHLxHH水頭線方程為H=H一12x對于這類一維流問題，可直接應(yīng)用達西公式求解。可見，同一過水斷面上和同一鉛垂面上水力坡度（J）都不同。這給解析解帶來了困難。流問題降為一維流（x）處理。1式中為斷面的水力坡度，它沿流向是變量。對(3-1-9)式分離變量，由已知潛水位的斷面1到已知潛水位的斷面2定積分，得ll0K0K1依條件K=C(常數(shù))，且無入滲、無蒸發(fā)，穩(wěn)定流動，故各斷面單寬流量相等q=C(常數(shù))，則 lK0積分后得流量方程為1h12-h2)K(*)改變積分限求任意斷面的水位值。即0Kh得論條件下的潛水含水層水頭線或潛水面方程(也稱浸潤曲線)。(1)是以z軸為對稱軸的拋物線(上半支的一部分)。上述(3-1-10)式和(3-1-11)式是基于裘布依微分方程和水均衡原理直接通過定積分獲得的解。也可以由布西涅斯克微分方程(2-4-3)及其定解條件構(gòu)成的數(shù)學模型獲得同樣的解（參3.1.3均勻穩(wěn)定入滲的潛水向河渠二維穩(wěn)定運動潛水含水層的滲入補給或蒸發(fā)排泄條通常用入滲強度刻畫。入滲強度(W)是指單位水平水文地質(zhì)概念模型(圖3-1-7)：兩條水位不變的平行河渠完全地切割均質(zhì)的潛水含水層，取滲流寬度B=1的河間地塊作為研究對象，概化為穩(wěn)定入滲剖面二維穩(wěn)定流。右側(cè)l排向河2。從流線特征可知，它屬于x、z方向均有分流速的剖面二維流動。從流網(wǎng)圖可以看出通過各鉛垂斷面的流量不等，q(z)≠C?？梢杂盟夥椒ń⒘髁糠饺∽鴺讼担汉觢邊界為垂向h軸，向上為正；沿水平隔水底板為x軸，向右為正，規(guī)定向右的流量為正(與x軸向一致)；向左的流量為負。規(guī)定有入滲補給W>0；蒸發(fā)排泄W<0。ll若x斷面取在地下分水嶺的左側(cè)(x<a，a是地下分水嶺處的x坐標)，則有1若x斷面取在地下分水嶺的右側(cè)(x>a)，則有1若引入裘布依假定(實際上，此條件下并非處處滿足裘布依假定)，即所以得數(shù)學模型1左邊界右邊界2xWxdx得-2h2)KK22KK2可得斷面l的單寬流量方程將此式代入3-1-22)式，可得任意斷面x的單寬流量方程 12+（*）l,即斷面1的水向左側(cè)流動；由(3-1-25)l222,斷面2的水向右側(cè)流動。這說明河間地段存在分水嶺，并處于地段的中心，向兩側(cè)河流的排泄量相等，各為補給量之半(—)。2.，此時存在三種情況：①2，q1<0，地下水向河l排泄，說明河間地段存在分水嶺,③地下水向由左向右流，河l補給地下水，即不存在分水嶺。從流網(wǎng)圖3-1-7可以看出，有入滲條件下不能處處滿足裘布依假定。如在地下分水嶺厚度處的垂直面，才可近似表示為等水頭面。3．水頭線(浸潤曲線)方程lK(1)均勻穩(wěn)定滲入(W>0)的條件下，水頭線是橢圓曲線的上半支，蒸發(fā)條件(W<0)時，它是雙曲線方程；若W=0時，上式就變成(3-1-II)式的拋物線方程。時)。所以，在同一斷面位置上，有滲入條件下比無滲入時的水位高。只有當x=0或x=l時，l2由.(lx)x對x求一階、二階導(dǎo)數(shù)可知，當x=l2時有極大值，表明河間地段的中間(3)由(3-1-26)式可知，水頭線與滲透系數(shù)K的大小有關(guān)。若K值小，由于入滲引起的l2處h為極大值，說明分水嶺在兩渠的中間，以h表示分水a(chǎn)h2+.若兩渠(溝)水位已定，可以根據(jù)當?shù)赝临|(zhì)情況以不發(fā)生土地鹽漬化為準，預(yù)先確定渠4.地下分水嶺位置的確定因地下分水嶺處(x=a)的x方向得水力坡度為零，可通過令流量q=0，確定分水嶺則分水嶺離河l的距離（1）判斷水庫是否會發(fā)生滲漏-,分水嶺在兩河中心。l時，則>a>0，分水嶺偏向水位高的一側(cè)；（2）庫水位極限高度hmax是庫水位的極限高度hmax，可利用(3-1-30)式求得(請讀者自己導(dǎo)出計算公式)。圖3-1-9地下分水嶺的移動5．入滲強度(W)的計算在實際工作中要求入滲強度比較困難。條件允許時，可根據(jù)水頭線方程2)lxK移項得到]W如滲透系數(shù)未知，可求值，即K2-h2h2-h2-W利用(3-1-32)式求得K，代入(33.2應(yīng)用分段法求解非均質(zhì)含水層中地下水向河渠的運動將非均質(zhì)巖層轉(zhuǎn)換成等效均質(zhì)巖層中的地下水流動問題求解。常用有分段法、平均滲透系數(shù)3.2.1分段法求解水平層狀非均質(zhì)含水層中圖3-2-1所示為由三個均質(zhì)、等厚的水平巖層組成的承壓含水系統(tǒng)，其平面及剖面上的流線互相平行，屬于一維流動。流面和各層界面重合。將與層界面相重合的流面作為分界面，把總水流劃分成三個均質(zhì)巖層中的地下水流問即由于各分層均屬于均質(zhì)含水層中地下水一維流動，各分層得流量公式為(|q1H-HlH-HlH-Hl得該水平層狀非均質(zhì)含水層的單寬流量公式：l顯然，對于n層的水平層狀含水層，其單寬流量公式為ll含水層的相等，以滲透系數(shù)Kh作為假想含水層滲透系數(shù)，則其單寬流量q為pHHlKh稱為水平層狀非均質(zhì)含水層水平方向得平均滲透系數(shù)。3.2.2.分段法求解透水性沿流向突變的非均質(zhì)含水層中的穩(wěn)定運動問題圖3-2-2所示河流階地附近潛水含水層中地下水運動，其隔水底板水平，階地兩側(cè)巖性截然不同，但分別為均質(zhì)巖層，接觸面近似垂直；無垂向補給和排泄，且潛水面十分平緩，滿足裘布依假定，可用分段法求解。根據(jù)流網(wǎng)分析，等水頭線(面)接近垂直且和非均質(zhì)界面幾乎吻合。因此，以非均質(zhì)界面作為分段面，將水流分成l-S和S-2兩個滲流段，分別寫出各段的流量公式，關(guān)于l-S滲流h2h2 1(*)h2h2q=Ks2(**)2式中:h為突變界面S處的含水層厚度(也即水頭值)?？蓪?*)和(**)式分別寫成h2s=h21 K1s2 K2 K1即h2K12h22KK顯然對于具幾個垂向突變界面的含水層系統(tǒng)，其單寬流量為KKK由(*)和(**)式可解得hshs若將上述非均質(zhì)含水層假想為滲透系數(shù)為Kv的均質(zhì)含水層,而其滲流總長度l不變,即2n=Σnli那么該假想均質(zhì)含水層的單寬流量q為Kv是垂直非均質(zhì)界面流動的平均滲透系數(shù),而Kh是平行非均質(zhì)界面流動的平均滲透系數(shù)?？梢宰C明,對于層狀非均質(zhì)含水層滲透系數(shù)，水流平行界面時的平均滲透系數(shù)(Kh)最大,水流垂直界面時的平均滲透系數(shù)(K)最小,其他方向的平均滲透系數(shù)在兩值間。v分段法有兩點基本要求:各分滲流段的滲流狀況(即運動要素或流網(wǎng))與總滲流(原滲流)相應(yīng)部分一致,即分段后不能“走樣”，否則各分滲流段之和不等于原滲流。每一分滲流段應(yīng)有現(xiàn)成的解答（即流量、水頭線方程已知）或解答容易求得。在具體方法上，分段界面應(yīng)該為流面或（和）等水頭面，運用分段法必須從流網(wǎng)分析開始?；蛘呤菐讉€分滲流段水頭線的連接。表3-2-1概括了兩類分段法的基本特征。lK分滲流段的水頭差△HinΔHinQi1、承壓含水層中地下水向河渠一維穩(wěn)定運動HHLHHL2、無入滲潛水含水層中地下水向河渠二維穩(wěn)定運動xlxl3、均勻穩(wěn)定入滲的潛水向河渠二維穩(wěn)定運動分滲流段的水頭差△HinΔHinQi第四章裘布依穩(wěn)定井流本章講授在抽水條件下，地下水向完整井運動的穩(wěn)定流理論與計算公式；重點講授Dupuit公式和Thiem公式推導(dǎo)及對公式的討論，通過對公式的討論，加深對公式的理解，強調(diào)公式的使用條件。自本章開始至第十章要集中介紹地下水向井孔的流動，該內(nèi)容是地下水動力學的重要本章為供水和排水的水文地質(zhì)論證中的涌水量和滲流區(qū)的水頭分布及其變化規(guī)律、野外確定含水層系統(tǒng)水文地質(zhì)參數(shù)的抽水試驗、注水試驗和水位恢復(fù)試驗原理及計算方法等水平：溝渠、暗河------溝流承壓、承壓－無壓、無壓非完整型：除了完整井以外的所有井，如圖4-0-1中的（bcd）。抽水井、注水井穩(wěn)定井流、非穩(wěn)定井流4．1裘布依穩(wěn)定井流的基本方程①、均質(zhì)、各向同性、隔水底板水平的圓柱形潛水含水層；②、外側(cè)面保持定水頭，中心一口完整抽水井（簡稱圓島模型）；④、且滲流服從線性定律的穩(wěn)定流動。在上述條件下的潛水井中進行定流量(或定降深)抽aμd頭線視為鉛垂面，因而滲流斷面視為圓柱形。根據(jù)達西定律和裘布依假定（忽略—）dr—=dr:dr取Q抽水為正，而h隨r的增大而增大，所以上述微分方程右端沒有負號。lr=|hr=lr=rh 2-h2)h2-h2ln-rw(h2-h2) lg-rwRlg-r lg-rswQlgRQlg-Rrrr—-1h2-h2lgr2r1Qlgr2rrrhww wln-ln-rwRRln-ln-r2wh2h2Rh2h2Rln-rrrww（1）降落漏斗曲線取決于內(nèi)外邊界的水位，與流量Q和滲透系數(shù)K無關(guān)；（2）與流量Q和滲透系數(shù)K無關(guān)，說明利用水頭觀測是不（3）參數(shù)反演時，若只有水頭邊界，而無流量邊界是無法求參的。Qln--Rrrw3、求漏斗曲線，滲流區(qū)水位，對應(yīng)r的h2wh2h2Rh2h2Rln-rrrww2maxmax科增(J．Kozeny)在實驗室砂槽中進行井流模擬試驗時發(fā)現(xiàn)，只有當井中水位降低非常小時，井中水位才與井壁水位基本一致（如圖4-1-3）。當井中水位降低較大時，井中水位明顯地低于井壁水位，這種現(xiàn)象稱為水躍。水躍值：井壁水位與井中水位之差，以Δh表示。井壁與井中水位井壁與井中水位有無過濾器w水躍值隨井孔抽水強度的增加而增大，即隨井中水位的降低而增大。在砂槽試驗中可以清楚地看到，水滲出井壁后，沿著井的內(nèi)壁向下流。在井壁水位與井中水位之問的區(qū)段，稱出滲段。由于潛水井流線在抽水井附近是彎曲的。通過浸潤曲線與井壁的交點A作等水頭線（曲線）若抽水井中不產(chǎn)生水躍，即井內(nèi)水位應(yīng)與A點水位一致。那么地下水就不可能由井壁流入井內(nèi)。所以必須使井壁hs>hw，才能導(dǎo)致井中水的流動。這就是水躍產(chǎn)生的原因。井徑大小，過濾器結(jié)構(gòu)類型，填料特性，吸水管位置等。h=0rwh00r當-wh00裘布依方程在沒有考慮水躍，潛水假定忽略垂直分流速后，在抽水井附近，實際漏斗曲線將高于裘布依理論曲線。隨著r的增大，流速垂直分量變小，因此理論曲線與實際曲線二、裘布依潛水穩(wěn)定井流涌水量方程的正確性穩(wěn)定潛水井流的涌水量方程是在裘布依假定的前提下導(dǎo)得的，由于它忽略垂直分流速，把等水頭線視為鉛垂線，因而也就沒有考慮水躍問題。在這種情況下導(dǎo)得的涌水量方程還有人懷疑它，認為用裘布依的涌水量公式確定抽水井最大流量，即(h0)wrw①、圓形定水頭補給邊界②、均質(zhì)各向同性承壓含水層③、隔水底板水平其流網(wǎng)的特征是：drl|H=H0wlHwdHrw -lnr)=H-HwH-HKMsln-lgrwQlg-rwrwwwwln-rrrww為抽水井中的水頭(實指進水井壁處的水頭)；sW為抽水井中的水頭降深(實指進水井壁處的水頭降深)。H2H2dHr—H-H1取H=H-s，H=H-s，則H-H=H-s-(H-s)=s-s——lnr2r12、求導(dǎo)水系數(shù)Tr rHdHrwwwwrwwlnrrrw4.2齊姆模型與裘布依模型的區(qū)別裘布依模型在自然界是十分罕見的，德國土木工程師齊姆（Thiem）認為：如圖4-2-1，在水平方向無限延伸的含水層中，可以用從抽水井中心到實際觀測不到地響半徑來代替裘布依提出的圓形含水層的補給半徑進行計算不會帶來嚴重的誤差。從而將裘布依模型的計算公式用于計算無限含水層的問題，這種方法在20世紀60-80年代在生產(chǎn)單位得到了廣泛應(yīng)用。并導(dǎo)致了地下水資源評價概念和方法上的錯誤。那這二者二、齊姆模型與裘布依模型的區(qū)別模型抽水來源圓形定水頭補給邊界穩(wěn)定井流邊界以外的補給增量無限邊界含水層含水層儲存量邊邊抽邊只有當補給量的增量與排泄量的減量QV=-st補給量增加和排泄量減少的可能途徑：（2）入滲補給的增加；或減少（3）人工補給；泉流量的減少或疏干。（3）蒸發(fā)排泄區(qū)的井流：抽水降低地下水位將會減少地下水的蒸發(fā)(蒸騰)量，當蒸發(fā)的減少量等于抽水量時，可形成穩(wěn)定井流；|r=rwwl0lh2-h2ln-rw(h2-h2) lg-rwlg-swrr滲透系數(shù)K：QlgRQlg-Rrrh2=h2wh2-h2Rh2-h2Rln-rrrwwh2=h2wh2-h2Rh2-h2Rln-rwrrw當井中水位降低較大時，井中水位明顯地低于井壁水位，這種現(xiàn)象稱為水躍。lnr2r1lnlg-w三、齊姆模型與裘布依模型的區(qū)別lnrrrw盡管初看起來齊姆模型與裘布依模型似乎很相近,即后者認為R處的降深為零而前者視為趨于零.然而它們之間卻存在著根本性的差別，齊姆模型只能在一些特殊條件下才成立。河渠河渠河渠河渠第五章無越流含水層中的完整井流學習常用的數(shù)學物理處理手段和方法。數(shù)學方法和特征函數(shù)的計算。1.地下水向河渠（排水溝）的運動與向井的運動在特征上是不一樣的。前者是一種平抽水抽水2.回憶上一節(jié)課中為什么Dupuit型井流模型在實際的含水層系統(tǒng)中一般情況下地下水位是不可能穩(wěn)定的提示：從一個區(qū)域的水均衡過程來分析）5．1無限含水層中單個定流量井流——Theis井流模型①、含水層是均質(zhì)、各向同性、等厚且水平分布，水和含水層均假定為彈性體；②、無垂向補給、排泄，即w=0；③、滲流滿足達西定律；⑤、水頭下降引起地下水從儲量中的釋放是瞬時完成的；條件；⑦和⑧分別是內(nèi)、外邊界條件。因此，該定解問題可寫為.條件①,③,④,⑤是建模的基本要求，一方面是求解解析解的數(shù)學物理方法的.條件②,⑥,⑦,⑧可以通過一定的數(shù)學處理方法來消除其嚴格的約束，在本章Q為正是地下水工作者習慣上規(guī)定抽水流量為正值，注水為負值。習慣記相似性，應(yīng)用熱傳導(dǎo)理論中現(xiàn)成的公式加以適當?shù)母脑?，首次提出了不穩(wěn)定井流表明只要抽水在延續(xù)，含水層中任一處的降深都會持續(xù)增加，不會形成不變的穩(wěn)于是得計算承壓井流的三條基本方程為和r2其中W-1是反井函數(shù)。如W(u)=A，則W-1(A)=u。視其他方面的差異，那么只要尋求潛水井流的h與承壓井流的M水頭H以及重力給水度μd與彈性給水度μe的對應(yīng)關(guān)系是顯然的）之后，便可將承壓井流②、無垂向補給、排泄，即w=0；③、滲流滿足達西定律；⑤、水頭下降引起地下水從儲量中的釋放是瞬時完成的；⑦、井徑無限小且定流量抽水；⑧、含水層側(cè)向無限延伸；足裘布依假定，則潛水井流與承壓井流可以對應(yīng)起來。滿足上述9個假定條件的潛水完整井流，其流動微分方程為（2-4-14）式，即-h0-h00m|2m|21|-h2||||||||00LrLr喻000們通過變換將承壓井流問題[I]改變?yōu)闈撍鲉栴}[Ⅱ]的形式，就可獲得參數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系。為此。在承壓流的基本微分方程（5-1-1）式-兩端乘以M，并引入承壓流勢函數(shù)Ψ的定義則微分方程變?yōu)閨(δr2rδr)eδt|(δr2rδr)eδt|HYPERL