構造性的證明課件

數學的魅力1數學的魅力1你可能喜歡音樂，因為它有優(yōu)美和諧的旋律；你可能喜歡圖畫，因為它從視覺上反映人和自然的美；那么，你應該更喜歡數學，因為它像音樂一樣和諧，像圖畫一樣美麗，而且它在更深的層次上，揭示自然界和人類社會內在的規(guī)律，用簡潔的、漂亮的定理和公式描述世界的本質。數學，有無窮的魅力！

2你可能喜歡音樂，因為它有優(yōu)美和諧的旋律；一、漁網的幾何規(guī)律

用數學方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網，無論你織一片多大的網，它的結點數(V)，網眼數(F)，邊數(E)都必定適合下面的公式：V+F–E=13一、漁網的幾何規(guī)律用數學方法可以證明，無多面體的歐拉公式

V+F–E=24多面體的歐拉公式V+F–E=24

數學就有這樣的本領，能夠把看起來復雜的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律。5數學就有這樣的本領，能夠把看起來復雜的事物變二、濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多“存在性命題”：濟南市一定存在兩個頭發(fā)根數一樣多的人。對于存在性命題，通常有兩類證明方法：一類是構造性的證明方法，即把需要證明存在的事物構造出來，便完成了證明；一類是純存在性證明，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。

6二、濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多“存在性命題”：濟南例如“任意兩個正整數都存在最大公約數”這個存在性命題，我們可以用“輾轉相除法”給出構造性的證明，在證明最大公約數存在的同時，也給出了求最大公約數的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“連續(xù)函數如果在兩個端點反號，則中間一定存在零點”這個存在性命題，我們在教材中看到的和在課堂上聽到的，往往是純存在性證明，證明了零點的存在，但并不給出找到零點的方法。7例如“任意兩個正整數都存在最大公約數”這個存在性命題，我們濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多構造性證明：

一個一個地去數濟南市中所有人的頭發(fā)根數，一定可以找到兩個具體的人，不妨稱之為張三和李四，他們的頭發(fā)根數一樣多，便完成了證明。8濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多構造性證明：8濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多純存在性證明

：“抽屜原理”

證明“367個人中至少有兩個人的生日是相同的”

證明“濟南市一定存在兩個頭發(fā)根數一樣多的人”

9濟南市

至少有兩個人頭發(fā)根數一樣多純存在性證明：9對于這個命題，純存在性證明的方法，比用構造性證明的方法更可靠。10對于這個命題，純存在性證明的方法，比三、圓的魅力

車輪，是歷史上最偉大的發(fā)明之一圓，是平面圖形中對稱性最強的圖形周長與直徑之比是一個常數這個常數是無理數、超越數面積相等的圖形中圓的周長最短規(guī)尺作圖化圓為方不可做11三、圓的魅力車輪，是歷史上最偉大的發(fā)明之一11四、“三角形三內角之和等于180度，

這個命題不好”

這句話是1978年數學大師陳省身先生在北京大學的一次演講中說的，后來又多次說過。所以，這不是隨便說的一句話。陳先生并沒有說“三角形三內角之和等于180度，這個命題不對”，而是說“這個命題不好”。

12四、“三角形三內角之和等于180度，

這個命題不好”這句話三角形三內角之和=180度n邊形n內角之和=？n邊形n內角之和=180度×(n–2)

13三角形三內角之和=180度13n邊形n外角之和=360度不變量曲邊形（向量組的秩；矩陣的秩）

14n邊形n外角之和=360度14高斯－博內公式當積分區(qū)域是整個閉曲面M時，有=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的歐拉示性數。這一高斯－博內公式的左面是一個由局部性質（曲率）表示的量，但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓撲不變量。高斯－博內公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫了整體性質。15高斯－博內公式15

五、圖論與哥尼斯堡七橋問題

(“抽象”的典型，圖論的起源)

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五、圖論與哥尼斯堡七橋問題

(“抽象”的典型，圖論的起源)1717四色問題

四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)現,為了使任意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉而請教他的數學老師,杰出的英國數學家德·摩根，希望幫助給出證明。18四色問題四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于185

德?摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的,至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。

19德?摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的,至少要四種顏但德·摩根未能解決這個問題,就又把這個問題轉給了其他數學家,其中包括著名數學家哈密頓。但這個問題當時沒有引起數學家的重視。直到1878年,英國數學家凱萊對該問題進行了一番思考后，認為這不是一個可以輕易解決的問題，并于當年在《倫敦數學會文集》上發(fā)表了一篇《論地圖著色》的文章,才引起了更大的注意。20但德·摩根未能解決這個問題,就又把這個問題轉給了其他數學家,1879年，一位英國律師肯泊在《美國數學雜志》上發(fā)表論文，宣布證明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的證明中有嚴重錯誤。

211879年，一位英國律師肯泊在《美國數學雜志》上發(fā)表論文，宣一個看來簡單，且似乎容易說清楚的問題，居然如此困難，這引起了許多數學家的興趣，體現了該問題的魅力。實際上，對于地圖著色來說,各個地區(qū)的形狀和大小并不重要,重要的是它們的相互位置。下圖中的三個地圖對地圖著色來說都是等價的。從數學上看,問題的實質在于地圖的“拓撲結構”。

22一個看來簡單，且似乎容易說清楚的問題，居然如此困難，這引起了一百多年來許多數學家對四色問題進行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對于不超過25個國家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數目提高到27個。1936年弗蘭克林將國家的數目提高到31個。1968年挪威數學家奧雷證明了,不超過40個國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四色猜想”。

23一百多年來許多數學家對四色問題進行了大量的研究,獲得了一系列四色問題的解決直到1972年，美國依利諾大學的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎上，開始用計算機進行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺IBM360型超高速電子計算機,耗時1200小時,終于證明了四色猜想。24四色問題的解決直到1972年，美國依利諾大學的哈肯和阿佩爾在這是一個驚人之舉。當這項成果在1977年發(fā)表時,當地郵局特地制作了紀念郵戳"四色足夠"(FOURCOLORSSUFFICE)，加蓋在當時的信件上。

25這是一個驚人之舉。當這項成果在1977年發(fā)表時,當地郵局特地拓展了人們對“證明”的理解由于這是第一次用計算機證明數學定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從根本上拓展了人們對“證明”的理解，引發(fā)了數學家從數學及哲學方面對“證明”的思考。26拓展了人們對“證明”的理解由于這是第一次用計算機證明數學定理六、素數的奧秘自然數是整個數學最重要的元素。自然數中有一種特別基本又特別重要的數，稱為“素數”。素數是大于1的自然數中，只能被自己和1整除的數；大于1的自然數中不是素數的都稱為“合數”；1則既不是素數也不是合數。27六、素數的奧秘自然數是整個數學最重要的元素。27由于在大于1的自然數中，素數的因子最少，所以素數是特別簡單的數。又由于一切大于1的自然數都能夠從素數通過乘法得到，所以素數又是特別基本的數。素數很早就被古希臘的數學家所研究。2300多年前歐幾里得的幾何《原本》第9卷的定理20，就給出了“素數有無窮多個”的漂亮證明。28由于在大于1的自然數中，素數的因子最少，所以素數是特別簡單的但是，素數的有些規(guī)律，表述出來很容易聽懂，研究起來卻出人意料地困難。（當然，素數的有些規(guī)律表述出來也是相當復雜的。）關于素數的規(guī)律，人類有許多的“猜想”。至今還有不少關于素數的重要猜想，既沒有被證明，也沒有被否定。有的猜想的解決，現在看來可能會十分遙遠。有人甚至預言，“人類探尋素數規(guī)律的歷史，將等同于人類的整個文明史”。29但是，素數的有些規(guī)律，表述出來很容易聽懂，研究起來卻出人意料三個關于素數規(guī)律的問題

從加法的角度研究素數從乘法的角度研究素數找一個公式來表示素數

30三個關于素數規(guī)律的問題從加法的角度研究素數30從加法的角度研究素數兩個猜想：每個足夠大的偶數都是兩個素數的和；每個足夠大的奇數都是三個素數的和。后一個猜想現在已被證明；前一個猜想至今卻既沒有人舉出反例，也沒有人給出證明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。31從加法的角度研究素數兩個猜想：31從乘法的角度研究素數算術基本定理：任一個大于1的自然數，都可以被表示為有限個素數（可以重復）的乘積，并且如果不計次序的話，表法是唯一的。算術基本定理早已被證明，但不是采用“構造性”的證明。未解之謎：這個問題是：對任一個大于1的自然數，試給出一個一般的方法，以便較快地找到有限個素數（可以重復），使它們的乘積等于那個預先寫出的大于1的自然數。32從乘法的角度研究素數算術基本定理：任一個大于1的自然數，都可下面用“構造性”證明的思路，來試圖找到解決的辦法，同時也體會它的困難所在。33下面用“構造性”證明的思路，來試圖找到解決的辦解決問題的困難不嚴格的地方，或者說“跳步”的地方，就在最前面的兩步。即，如何較快地判斷“a是否素數”；及當判斷出a不是素數后如何較快地找到b，得到a=b×c。解決問題的本質困難，也在這兩個步驟。雖然現在有了高速計算機，但是對于很大的數a，例如200位的數a，這兩步的計算仍然很費時日，以至于實際上是不可能解決問題的34解決問題的困難不嚴格的地方，或者說“跳步”的地方，就在最前面這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路

a=b×c（b、c是兩個很大的素數，比如都是100位的大素數

）在造密碼時，你可以把a公開，但b、c對外保密，只有“我方”了解。必須知道b、c才能破譯密碼?！皵撤健敝恢繿和密文，就無法了解密文的意思。要想破譯密文，首先需要把a分解為b×c。但是因為a這個數很大，以及上面提到的本質困難，把a分解為b×c是很費時日的。

35這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路a=b×c找一個公式來表示素數費馬素數(1640年)

(n=0,1,2,3,4)梅森素數(1644年)

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森數中是否有無窮個素數”的問題，也是未解之謎。梅森數與完全數的問題.36找一個公式來表示素數費馬素數(1640年)36關于費馬素數，n=5時，Fn=4294967297=641×6700417梅森的判斷中有五個錯誤：n=67、257時Mn不是素數；而n=61、89、107時Mn是素數。

37關于費馬素數，n=5時，37科爾：《大數的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科爾一言未發(fā)；會場上爆發(fā)了熱烈的掌聲。38科爾：《大數的因子分解》1903年10月267—七、“蒲豐投針”的故事

針長是行距的一半,投了2212次,其中與平行線相交的為704次.2212/704=3.142不同的問題可能存在聯系39七、“蒲豐投針”的故事針長是行距的一半,投了2212次,其八、“化歸”的方法

“化歸”，是把未知的問題，轉化為已知的問題；把待解決的問題，歸結為已解決的問題，從而解決問題的過程。

波利亞：關于“燒水”的例子

40八、“化歸”的方法“化歸”，是把未知的問題，轉化為已知的問九、體會公式中的數學美

可以從公式中，令=推出來。公式，用“等號”連接了數學中五個重要的常數，反映了數學的“統一美”。41九、體會公式中的數學美

M．克萊因（FelixKlein,1849－1925）：

音樂能激發(fā)或撫慰人的感情，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人聰慧，科學可以改善生活，而數學能做到所有這一切。42M．克萊因（FelixKlein,1849－1925）

二、數學的“用處”

1．不應實用主義地理解“用處”

數學有廣泛的用途，但那不同于一般工具的“用處”；不像一把斧頭，拿來便可砍柴。

43二、數學的“用處”43數學對人類文明的貢獻（一）萬有引力定律?；陂_普勒行星運動的三大定律，牛頓發(fā)現了萬有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學的數學原理》，是因為他發(fā)現新宇宙的思維方式是數學的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識和非常復雜的幾何知識與技巧。有興趣的同學可以閱讀這本書。44數學對人類文明的貢獻（一）萬有引力定律。基于開普勒行星運動的數學對人類文明的貢獻（二）相對論。愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學的重大變革，其核心內容是時空觀的改變。愛因斯坦的時空觀認為時間和空間是相互聯系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數學模型的表現形式。45數學對人類文明的貢獻（二）相對論。愛因斯坦分別于1905年和數學對人類文明的貢獻（三）電磁波的發(fā)現。英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數學的方法推導出可能存在著電磁波并且這些電磁波應該以光速傳播者。據此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波。46數學對人類文明的貢獻（三）電磁波的發(fā)現。英國物理學家麥克46數學對人類文明的貢獻（四）最近，兩位美國數學家解開了一個困擾科學界長達50年的“簡單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數學規(guī)律。該研究成果將對工程學的泡沫材料設計、生物學的組織結構研究以及物理學的晶體顆粒排列探測產生深遠的影響，相關論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。（氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅動力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率

）

47數學對人類文明的貢獻（四）最近，兩位美國數學家解開了一個困擾數學對人類文明的貢獻（五）神州六號的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機的能力。在神舟六號的研制過程中，數學起了不可替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面。48數學對人類文明的貢獻（五）神州六號的升空，宣告了我國具有制造數學對人類文明的貢獻（六）1973年，美國芝加哥大學學者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權定價模型（black-scholesoptionpricingmodel），對股票期權的定價作了詳細的討論。此后，不少學者（Merton）又對該模型進行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權定價理論的研究。該模型中用到很多數學知識。他們也因此獲得了1997年的Nobel經濟學獎。（上圖為Merton，哈佛大學；下圖為Scholes，芝加哥大學。）49數學對人類文明的貢獻（六）1973年，美國芝加哥大學學者f·

2．數學的應用常常是難以預料的1）素數在密碼學中的應用2）圓錐曲線論在行星運動開普勒三定律中的應用3）黎曼幾何在廣義相對論中的應用4）陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場理論中的應用5）正電子、黑洞與電磁場的發(fā)現諾貝爾物理學獎獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無可奈何地感嘆：“當一個物理學家得到一個思想時，卻發(fā)現在他之前數學家已經得到了?！?02．數學的應用常常是難以預料的50

三、數學的語言

1．自然語言與數學語言

1）自然語言——具體的語言；數學語言——形式化的語言2)科學工作者用數學語言使自己的工作精確化

如：牛頓——運動第二定律；愛因斯坦——廣義相對論

“數學進入一門學科的程度，反映了這門學科成熟的程度?！?/p>

51三、數學的語言51

2.數學語言是人類文明、宇宙文明的共同語言

1）當你寫下c2=a2+b2，S=