合情推理與演繹推理

合情推理與演繹推理1第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容:一、推理及其分類二、演繹推理三、合情推理四、如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力2第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、推理及其分類1,什么是推理推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。3第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、推理及其分類2,推理分類推理演繹推理類比推理歸納推理合情推理

推理按推理過程的思維方向劃分，主要有演繹推理、合情推理.合情推理分為歸納推理和類比推理。

4第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月3.合情推理與演繹推理的主要區(qū)別:①從推理形式上看，

演繹推理是由一般到特殊的推理;歸納推理是由部分到整體、特殊到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理；②從推理所得的結(jié)論看，

合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。一、推理及其分類5第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、推理及其分類③從對前提真實性要求來看。

演繹推理不要求前提必須真實;歸納推理則要求前提必須真實;類比推理要求前提必須真實。

④從結(jié)論所斷定的知識范圍來看。

演繹推理的結(jié)論沒有超出前提所斷定的知識范圍。歸納推理除了完全歸納推理，結(jié)論都超出了前提所斷定的知識范圍。類比推理結(jié)論可能超出前提所斷定的知識范圍。

6第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、推理及其分類①演繹推理如果要以一般性知識為前提，（演繹推理未必都要以一般性知識為前提）則通常要依賴歸納推理來提供一般性知識。②歸納推理離不開演繹推理。其一，為了提高歸納推理的可靠程度，需要運用已有的理論知識，對歸納推理的個別性前提進(jìn)行分析，把握其中的因果性，必然性，這就要用到演繹推理。其二，歸納推理依靠演繹推理來驗證自己的結(jié)論。4.合情推理與演繹推理的主要聯(lián)系:7第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月俄國化學(xué)家門捷列夫通過歸納發(fā)現(xiàn)元素周期律，指出,元素的性質(zhì)隨元素原子量的增加而呈周期性變化。后用演繹推理發(fā)現(xiàn)，原來測量的一些元素的原子量是錯的。于是，他重新安排了它們在周期表中的位置，并預(yù)言了一些尚未發(fā)現(xiàn)的元素，指出周期表中應(yīng)留出空白位置給未發(fā)現(xiàn)的新元素。一、推理及其分類8第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的角度來看:

演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程。數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理。我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想。人們在認(rèn)識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經(jīng)驗；也需要辨別它們的真?zhèn)危驅(qū)⒎e累的知識加工、整理，使之條理化、系統(tǒng)化。一、推理及其分類9第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二、演繹推理演繹推理:從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。演繹推理也稱為邏輯推理。10第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月“三段論”是演繹推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：三角形內(nèi)角和是180度，有一個圖形是三角形，它的內(nèi)角和一定是180度.二、演繹推理11第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月演繹推理例子:《幾何原本》《幾何原本》列出了五條公設(shè)與五條公理，并在各章的開頭給出了一系列定義，然后根據(jù)這些定義，公理和公設(shè)推導(dǎo)出了465條數(shù)學(xué)命題?！稁缀卧尽返膬?nèi)容涉及初等數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，包括代數(shù)，數(shù)論，平面幾何，立體幾何，甚至現(xiàn)代極限概念的雛形。其推理形式主要是演繹推理.12第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月13第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月14第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月15第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月16第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月三、合情推理1.合情推理:合情推理又稱似真推理，是一種合乎情理，結(jié)論好像為真的推理，它是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。合情推理分為:歸納推理和類比推理

18第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月合情推理通常具有下列特征:(1)思維形式的直覺性、猜測性，思維過程的跳躍性和非常規(guī)性。(2)經(jīng)驗性。表現(xiàn)為與個人原有的知識和經(jīng)驗密切相關(guān)。(3)思維方式的自由性。常表現(xiàn)為較少受邏輯規(guī)則的嚴(yán)格約束和限制，以及數(shù)學(xué)表述的非形式化。(4)結(jié)論的或然性。即合情推理的結(jié)果不能保證絕對正確。三、合情推理19第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2.歸納推理:

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論，（簡稱歸納）部分推出整體，個別推出一般。例如:①天下烏鴉一般黑.②燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時，我們會得到一個判斷：天要下雨了.③直角三角形內(nèi)角和是180度；銳角三角形內(nèi)角和是180度；鈍角三角形內(nèi)角和是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形內(nèi)角和都是180度。

三、合情推理20第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由下圖可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？1=12,1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……1+3+5+7+……+(2n-1)=n2，歸納推理的例子：21第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,它們之間有什么關(guān)系.歸納推理的例子：歐拉公式22第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐446四棱錐558三棱柱569五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔歸納推理的例子：歐拉公式23第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐446四棱錐558三棱柱569五棱錐6610立方體6812正八面體8612五棱柱截角正方體尖頂塔歸納推理的例子：歐拉公式24第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐446四棱錐558三棱柱569五棱錐6610立方體6812正八面體8612五棱柱71015截角正方體71015尖頂塔9916F+V-E=2歸納推理的例子：歐拉公式25第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月費馬數(shù)法國數(shù)學(xué)家費馬提出猜想:任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù).歸納推理的例子:F0=2^（2^0)+1=3F1=2^（2^1）+1=5F2=2^（2^2）+1=17F3=2^（2^3）+1=257F4=2^（2^4）+1=65537

F5=641×6700417

F6=274177×67280421310721F7=59649589127497217×5704689200685129054721F8=1238926361552897×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

反例與證明的價值是同等重要的！只有1和它本身兩個約數(shù)的自然數(shù)，叫質(zhì)數(shù)（素數(shù)）。26第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和不小于6的偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)歸納推理的例子:歌德巴赫猜想27第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，根據(jù)上述過程,歌德巴赫大膽地猜想:任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和歌德巴赫猜想的提出過程：歸納推理的例子:歌德巴赫猜想28第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月不小于6的偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和"記作"a+b"。

a=1;b=1?29第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月30第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月3.類比推理:由兩類對象具有某些類似特性和其中一類對象的某些已知特性，推出另一類對象也具有這些特性的推理稱為類比推理。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。例如:①黃河斷流的原因——淮河斷流的原因②魯爾區(qū)綜合整治的主要措施———山西煤礦的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整③平面幾何-------球面幾何31第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月①②③④⑤⑥若，則

①②③④若，則

⑤⑥⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類比得空間向量的性質(zhì)空間向量平面向量32第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積33第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．oABCs1s2s3ＡＢＣabcc2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:34第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.平面上空間中圖形結(jié)論ABCPpapbpcABCDP35第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力1.養(yǎng)成總結(jié)的習(xí)慣（1）復(fù)習(xí)（2）整理（3）歸納（4）總結(jié)（8）自覺養(yǎng)成總結(jié)習(xí)慣歸納、總結(jié)36第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力2.嘗試(試驗)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)與研究中，嘗試是不容忽視的。學(xué)生可以通過親自動手操作，從中探究、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力的目的。給學(xué)生時間,機(jī)會,不要怕學(xué)生犯錯誤37第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力3.比較比較是一種學(xué)習(xí)的方法。一般來說，比較所根據(jù)的相似屬性越多，相似屬性之間相互關(guān)聯(lián)程度越高，相似數(shù)學(xué)模型越精確，則比較的應(yīng)用也就越可靠。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中，類比不僅是一種推理方法，也是一種尋求解題思路、猜測問題答案和結(jié)論發(fā)現(xiàn)方法。例題的作用38第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力4.聯(lián)想聯(lián)想是人們在認(rèn)識事物過程中，通過一個事物的觸發(fā)而遷移到另一個事物的思維。聯(lián)想可以克服兩個概念在某種意義上的差距，并在另一種意義上將兩者連接起來，形成一種新穎的思想，因此聯(lián)想思維是創(chuàng)造性思維的重要表達(dá)形式。知識間的聯(lián)系39第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力5.直覺直覺就是直接的覺察，它是人腦對客觀事物的一種迅速識別、敏銳而深入的洞察或領(lǐng)悟；是人們自覺或不自覺考慮某一個問題時，在頭腦中突如其來的一種創(chuàng)造性設(shè)想。廣義的直覺是指包括直接的認(rèn)識、情感和意志活動在內(nèi)的一種心理現(xiàn)象。40第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月四.如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力6.猜想猜想是不知其真假的數(shù)學(xué)敘述，它一般被看做是正確的，但暫時沒有被證明或反證。當(dāng)猜想被證明后，它便成為定理。當(dāng)找到反例時，猜想就被推翻。數(shù)學(xué)猜想大都因為類比推理，不完全歸納而產(chǎn)生，也有偶然發(fā)現(xiàn)的巧合而出現(xiàn)。并非所有的猜想都能解決。41第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月地圖的”四色猜想”歌尼斯堡七橋猜想卡拉比猜想數(shù)學(xué)中的猜想歐氏第五公設(shè)猜想西塔潘猜想費馬大定理42第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月歐氏第五公設(shè)猜想數(shù)學(xué)中的猜想:歐氏幾何同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于而直角，則這一直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。黎曼幾何在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。羅氏幾何從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行非歐幾何43第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月費馬大定理當(dāng)整數(shù)n>2時，關(guān)于x,y,z的不定方程

無正整數(shù)解。

………32+42=52,52+122=132...…維爾斯于1994年9月徹底圓滿證明了“費馬大定理”。

數(shù)學(xué)中的猜想:44第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月地圖的“四色猜想”數(shù)學(xué)中的猜想:每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的地區(qū)著上不同的顏色。

45第45頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月歌尼斯堡七橋猜想

18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)，如圖所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。