兩個(gè)變量的線性相關(guān)

兩個(gè)變量的線性相關(guān)在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？散點(diǎn)圖：兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量值由小變大，另一個(gè)變量值也由小變大，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。二、兩個(gè)變量的線性相關(guān)思考：1、兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個(gè)變量值由小變大，而另一個(gè)變量值由大變小，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)。2、你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)的例子嗎？3、若兩個(gè)變量散點(diǎn)圖呈下圖，它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系？散點(diǎn)圖回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。這條回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱為回歸方程。方案一：采用測(cè)量的方法：先畫一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。如何具體的求出回歸方程？方案二、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。我們應(yīng)該如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？方案三、在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。我們應(yīng)該如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”。計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式：其中，b是回歸方程的斜率，a是截距。最小二乘法的公式的探索過(guò)程如下：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取x1，x2，…，xn時(shí)，可以得到

Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它與實(shí)際收集得到的yi之間偏差是

yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy

x這樣，用這n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。我們可以用計(jì)算機(jī)來(lái)求回歸方程。人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律，由此回歸直線來(lái)反映。將年齡作為x代入上述回歸方程，看看得出數(shù)值與真實(shí)值之間有何關(guān)系？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回歸值12.815.122.023.225.527.828.4年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回歸值30.130.731.832.433.034.134.7若某人65歲，可預(yù)測(cè)他體內(nèi)脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比較大。但不能說(shuō)他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1％。例、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x（年）23456維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）2.23.85.56.57.0若資料知y，x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程Y=bx+a的回歸系數(shù)a、b；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？iˉˉ解：（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*4^2）=1.23,a=5-1.23*4=0.08（2）回歸方程為Y=1.23x+0.08，當(dāng)x=10時(shí)，Y=12.38（萬(wàn)元），即估計(jì)使用10年時(shí)維護(hù)費(fèi)用是12.38萬(wàn)元。小結(jié)1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計(jì)算平均數(shù),第二步，求和,第三步，計(jì)算第四步，寫出回歸方程2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近.對(duì)同一個(gè)總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性.3.對(duì)于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒(méi)有實(shí)際意義的.因此，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.例1：有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：1、畫出散點(diǎn)圖；2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是2攝氏度，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)。1、散點(diǎn)圖2、從圖3-1看到，各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲