第5章-跟馳理論課件

第五章

車輛跟馳理論

1Ch5跟馳理論第五章

車輛跟馳理論

1Ch5跟馳理論本章主要內(nèi)容§1線性跟馳模型的建立§2穩(wěn)定性分析§3穩(wěn)態(tài)流分析§4加速度干擾2Ch5跟馳理論本章主要內(nèi)容§1線性跟馳模型的建立2Ch5跟馳理論教學目的：掌握線性跟馳模型的建模機理、穩(wěn)定性分析及其仿真方法、了解非線性跟馳模型的特點、掌握穩(wěn)態(tài)流分析和加速度干擾的基本原理。重點：跟馳模型的建立、穩(wěn)定性分析難點：非線性跟馳模型、穩(wěn)定性分析、仿真方法3Ch5跟馳理論教學目的：掌握線性跟馳模型的建模機理、穩(wěn)定性分析及其仿真方法跟馳模型是典型的非自由交通流，是理論分析和計算機仿真中最常用的基本模型。采用跟馳模型的仿真軟件：Vissim、Corsim、Paramics、Flowsim等4Ch5跟馳理論跟馳模型是典型的非自由交通流，是理論分析和計算機仿真中最常用非自由交通流特性：1.制約性緊隨要求：后車緊隨前車。車速條件：后車車速與前車車速大致相同，上下擺動。間距條件：后車距前車要有安全距離。2.延遲性（滯后性）后車因前車狀態(tài)改變而改變，但其反應要滯后于前車。3.傳遞性第n輛車的狀態(tài)制約著第n＋1輛車的運動。5Ch5跟馳理論非自由交通流特性：5Ch5跟馳理論方法：動力學方法建模機理：研究在限制超車的單車道，行駛車隊中前車速度的變化引起的后車反應。研究參數(shù)：車輛在給定速度u下跟馳行駛時平均車頭間距s，進而估計單車道的通行能力C=1000*u/s。速度—間距的關系：s=α+βu+γu2式中：α—車輛長度l；

β—反應時間T

γ—跟馳車輛最大減速度的二倍之倒數(shù)§1線性跟馳模型的建立6Ch5跟馳理論方法：動力學方法§1線性跟馳模型的建立6Ch5跟馳理論對于車速恒定（或接近恒定）、車頭間距相等的交通流：式中：αf、αl—分別為跟車和頭車的最大減速度7Ch5跟馳理論對于車速恒定（或接近恒定）、車頭間距相等的交通流：7Ch5一、線性跟馳模型的建立單車道車輛跟馳理論認為，車頭間距在100~125m以內(nèi)時車輛間存在相互影響。跟馳車輛駕駛員的反應過程包括三階段：（1）感知階段（2）決策階段（3）控制階段反應=λ×刺激式中：λ—駕駛員對刺激的反應系數(shù)，稱為靈敏度或靈敏系數(shù)。8Ch5跟馳理論一、線性跟馳模型的建立單車道車輛跟馳理論認為，車頭間距在10根據(jù)跟馳車隊的特性，由下圖可得到線性跟馳模型反應(t+T)=靈敏度x刺激(t)時滯（time-delay）微分方程!在延遲T時間后，第n+1號車的加速度靈敏度系數(shù)在t時刻，第n號車的速度在t時刻，第n+1號車的速度9Ch5跟馳理論根據(jù)跟馳車隊的特性，由下圖可得到線性跟馳模型反應(t+T)跟馳車輛的滯后10Ch5跟馳理論跟馳車輛的滯后10Ch5跟馳理論二、車輛跟馳行駛過程的一般表示跟馳理論框圖a)車輛跟馳框圖；b)線性跟馳模型框圖11Ch5跟馳理論二、車輛跟馳行駛過程的一般表示跟馳理論框圖11Ch5跟馳理VISSIM的跟馳模型是Wiedemann于1974年建立的生理-心理駕駛行為模型。思路：一旦后車駕駛員認為他與前車之間的距離小于其心理（安全）距離時，后車駕駛員開始減速。由于后車駕駛員無法準確判斷前車車速，后車車速會在一段時間內(nèi)低于前車車速，直到前后車間的距離達到另一個心理（安全）距離時，后車駕駛員開始緩慢地加速，由此周而復始，形成一個加速、減速的迭代過程。12Ch5跟馳理論VISSIM的跟馳模型是Wiedemann于1974年建立的實例分析，P.87在Δt時間內(nèi)，第n號車的平均加速度13Ch5跟馳理論實例分析，P.87在Δt時間內(nèi)，第n號車的平均加速度13Ch§2穩(wěn)定性分析線性跟馳模型的兩類波動穩(wěn)定性：(1)局部穩(wěn)定性：關注跟馳車輛對它前面車輛運行波動的反應，即關注車輛間配合的局部行為（短期行為）。(2)漸進穩(wěn)定性：關注車隊中每一輛車的波動特性在車隊中的表現(xiàn)，即車隊的整體波動特性（長期行為），如車隊頭車的波動在車隊中的傳播。14Ch5跟馳理論§2穩(wěn)定性分析線性跟馳模型的兩類波動穩(wěn)定性：14Ch5跟一、局部穩(wěn)定性針對C=λT取不同的值，跟馳行駛兩車的運動情況可以分為以下四類：1）0≤C≤e-1時，車頭間距不發(fā)生波動；2）e-1<C<π/2時，車頭間距發(fā)生波動，但振幅呈指數(shù)衰減；3）C=π/2，車頭間距發(fā)生波動，振幅不變；4）C>π/2，車頭間距發(fā)生波動，振幅增大。利用計算機模擬的方法給出了相關運動參數(shù)的變化曲線(其中反應時間T=1.5s，C=e-1≈0.368)。模擬過程中假定頭車采取恒定的加速度和減速度。15Ch5跟馳理論一、局部穩(wěn)定性15Ch5跟馳理論16Ch5跟馳理論16Ch5跟馳理論如果跟馳車輛的初始速度和最終速度分別為u1和u2，則式中：—分別為頭車和跟馳車輛的速度；⊿s—車頭間距變化量因為17Ch5跟馳理論如果跟馳車輛的初始速度和最終速度分別為u1和u2，則17Ch如果頭車停車，則最終速度u2＝0，車頭間距的總變化量為-u1/λ，因此跟馳車輛為了不發(fā)生碰撞，車間距離最小值必須為u1/λ，相應的車頭間距為u1/λ+l(l為車輛長度)。為了使車頭間距盡可能小，λ應取盡可能大的值，其理想值為(eT)-1。18Ch5跟馳理論如果頭車停車，則最終速度u2＝0，車頭間距的總變化量為-u1二、漸進穩(wěn)定性描述一列長度為N的車隊的方程為(假設車隊中各駕駛員反應強度系數(shù)λ值相同)：無論車頭間距為何初始值，如果發(fā)生增幅波動，那么在車隊后部的某一位置必定發(fā)生碰撞，上式的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。據(jù)研究，一列行駛的車隊僅當C=λT<0.5時才是漸進穩(wěn)定的，即車隊中車輛波動的振幅呈衰減趨勢。19Ch5跟馳理論二、漸進穩(wěn)定性19Ch5跟馳理論關于穩(wěn)定性的結(jié)論：(1)局部穩(wěn)定性：關注車輛間配合的局部行為（短期行為）。漸進穩(wěn)定性：關注車隊中每一輛車的長期行為。(2)局部穩(wěn)定的跟馳系統(tǒng)一定是漸進穩(wěn)定的；漸進不穩(wěn)定的系統(tǒng)，一定是局部不穩(wěn)定的。C≤e-1時，車頭間距局部穩(wěn)定；C≤0.5時，車頭間距漸進穩(wěn)定；20Ch5跟馳理論關于穩(wěn)定性的結(jié)論：20Ch5跟馳理論三、計算機仿真（基于Matlab平臺的穩(wěn)定性分析）1.Matlab軟件簡介Matlab（矩陣實驗室，MatrixLaboratory）采用C語言編寫?，F(xiàn)已成為科技計算、視圖交互系統(tǒng)和程序語言，可以在各個操作平臺上運行。Matlab由主程序和各種工具包組成，其中主程序包含數(shù)百個內(nèi)部核心函數(shù)，包括復雜系統(tǒng)仿真、微分方程、模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法、控制系統(tǒng)、優(yōu)化、符號數(shù)學、系統(tǒng)識別、圖像處理、統(tǒng)計等工具箱。21Ch5跟馳理論三、計算機仿真（基于Matlab平臺的穩(wěn)定性分析）21Ch5Matlab是進行各類數(shù)值計算的最有力的工具，它以矩陣作為基本數(shù)據(jù)單位，是應用線性代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、微分動力系統(tǒng)、動態(tài)系統(tǒng)仿真方面的首選工具，同時也是科研工作人員和大學生、研究生進行科學研究的得力工具。22Ch5跟馳理論Matlab是進行各類數(shù)值計算的最有力的工具，它以矩陣作為基常微分方程初值問題的數(shù)值解法龍格－庫塔(Runge-Kutta)方法：1905（德國）若f不依賴y,則為simpson公式步長h~Re(λmax)23Ch5跟馳理論常微分方程初值問題的數(shù)值解法若f不依賴y,則為simpson龍格－庫塔法的實現(xiàn)基于龍格－庫塔法，MATLAB提供了求非剛性常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)其中：fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個列向量。tspan形式為[t0,tf],表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分別給出時間向量和相應的狀態(tài)向量。剛性常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：ode15s及ode23s24Ch5跟馳理論龍格－庫塔法的實現(xiàn)24Ch5跟馳理論【例1】求微分方程的數(shù)值解，并與精確解相比較。初始條件：x(0)=1精確解（解析解）：25Ch5跟馳理論【例1】求微分方程的數(shù)值解，并與精確解相比較。25Ch5跟【例1】求微分方程的數(shù)值解，并與精確解相比較。初始條件：x(0)=1(1)建立函數(shù)文件fun_1.m。functionxp=fun_1(t,x)xp=-2*x;(2)求解微分方程。cleart0=0;tf=5;y0=1;[t,y]=ode45('fun_1',[t0,tf],y0);%求數(shù)值解y1=exp(-2*t);%求精確解(解析解)delta_y=y-y1%y為數(shù)值解，y1為精確值，兩者近似plot(t,y,':',t,y1,t,delta_y)26Ch5跟馳理論【例1】求微分方程的數(shù)值解，并與精確解相比較。26Ch5跟【例2】試求初值問題的數(shù)值解，并與精確解相比較。(1)建立函數(shù)文件funt.m。functionyp=funt(t,y)yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。cleart0=0;tf=10;y0=2;[t,y]=ode45('funt',[t0,tf],y0);%求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精確解delta_y=y-y1%y為數(shù)值解，y1為精確值，兩者近似plot(t,y,':',t,y1,t,delta_y,'r')27Ch5跟馳理論【例2】試求初值問題的數(shù)值解，并與精確解相比較。27Ch5時滯微分方程求解工具：dde23Matlab仿真程序：car_following_1.m模擬4輛車的情形：28Ch5跟馳理論時滯微分方程求解工具：dde2328Ch5跟馳理論2.n輛車組成的車隊29Ch5跟馳理論2.n輛車組成的車隊29Ch5跟馳理論2.n輛車組成的車隊

n=3,30Ch5跟馳理論2.n輛車組成的車隊30Ch5跟馳理論為方便起見，定義：31Ch5跟馳理論為方便起見，定義：31Ch5跟馳理論計算機仿真（基于Matlab平臺）：4輛車組成的車隊車頭間距：x1-x2=y1-y3

x2-x3=y3-y5Matlab仿真程序：car_following_1.m4種情況：（1）0≤C≤1/e；車頭間距不擺動，局部穩(wěn)定；（2）1/e≤C≤π/2；車頭間距衰減擺動(局部不穩(wěn)定)；（3）C

=π/2；車頭間距非衰減擺動；（4）C

＞π/2；車頭間距擺動中增大幅度(軌跡不穩(wěn)定)。32Ch5跟馳理論計算機仿真（基于Matlab平臺）：4輛車組成的車隊32Ch計算機仿真（基于Matlab平臺）：8輛車組成的車隊漸近穩(wěn)定性33Ch5跟馳理論計算機仿真（基于Matlab平臺）：8輛車組成的車隊33ChC=0.8>0.5時，車頭間距漸進失穩(wěn)約24s時，第7、8輛車碰撞34Ch5跟馳理論C=0.8>0.5時，34Ch5跟馳理論四、次最近車輛的配合跟馳模型：式中：λ1、λ2—分別為跟馳車輛駕駛員對最近車輛和次最近車輛刺激的反應強度系數(shù)。一般情況，次最近車輛的影響很小，可忽略。35Ch5跟馳理論四、次最近車輛的配合35Ch5跟馳理論§3穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸進穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生等幅和增幅波動的交通流為穩(wěn)態(tài)流。跟馳模型線性跟馳模型非線性跟馳模型格林伯（Greenberg）模型安德伍德（Underwood）模型跟馳模型（微觀）宏觀交通流方程積分36Ch5跟馳理論§3穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸進穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生等幅§3穩(wěn)態(tài)流分析跟馳模型（微觀）宏觀交通流方程積分兩個條件邊界條件最優(yōu)條件：飽和狀態(tài)時，u=um,k=km,q=qmax自由流：u=uf,k=0,q=0阻塞流：u=0,k=kj,q=037Ch5跟馳理論§3穩(wěn)態(tài)流分析跟馳模型（微觀）宏觀交通流方程積分兩個邊界條§3穩(wěn)態(tài)流分析一、線性跟馳模型分析運動過程中車隊從一種穩(wěn)定狀態(tài)進入另一種隨機穩(wěn)定狀態(tài)假定在t=0時每一輛車的速度為u1，車頭間距為s1。頭車在t=0時速度開始改變(加減速)，在一段時間t后其最終速度變?yōu)閡2。38Ch5跟馳理論§3穩(wěn)態(tài)流分析一、線性跟馳模型分析38Ch5跟馳理論取C=λT=0.47，車頭間距的變化：得到速度—密度關系式：對于停車流，u2=0，相應的車頭間距s0由車輛長度和車輛間的相對距離構成，通常稱為車輛的有效長度（或稱停車安全距離），用L表示。對應于s0的密度kj被稱做阻塞密度。流量-密度線性模型39Ch5跟馳理論取C=λT=0.47，車頭間距的變化：流量-密度線性模型39將此公式與單車道交通試驗觀測結(jié)果對比，如圖，可得：λ的估計值為0.6s-1。根據(jù)漸進穩(wěn)定性標準：C

≤0.5，可以得出T的上限約束為0.83s。速度—密度關系式（最小二乘數(shù)據(jù)擬合）40Ch5跟馳理論將此公式與單車道交通試驗觀測結(jié)果對比，如圖，可得：λ的估計值標準化（歸一化）流量：實際流量與最佳流量（最大流量）之比，標準化（歸一化）密度：實際密度與最大密度（阻塞密度）之比。流量-密度線性模型不能合理地描述流量q和密度k這兩個基本參數(shù)的變化特征，圖5-10無法解釋流量和密度所要求的定性關系；因此，需要對線性跟馳模型進行修改。圖5-10標準流量與標準密度關系41Ch5跟馳理論標準化（歸一化）流量：實際流量與最佳流量（最大流量）之比，標二、非線性跟馳模型分析對于給定的相對速度，駕駛員的反應強度應該隨車間距離的減小而增大。1.車頭間距倒數(shù)模型這一模型認為反應強度系數(shù)λ與車頭間距成反比。λ1假定為常量42Ch5跟馳理論二、非線性跟馳模型分析42Ch5跟馳理論假定這些參數(shù)來自穩(wěn)態(tài)流，積分得速度與密度的關系：對于停車流，u2=0，43Ch5跟馳理論假定這些參數(shù)來自穩(wěn)態(tài)流，對于停車流，u2=0，43Ch5跟流量—密度的關系，即

Greenberg模型由最優(yōu)條件：u=um,k=km,q=qmax，此時，因此，流量—密度的關系標準流量與標準密度關系44Ch5跟馳理論流量—密度的關系，即Greenberg模型流量—密度的關系格林伯（Greenberg）速度-密度模型適用于較大密度的模型1441veh/h（通行能力）kj=228veh/mile≈142veh/kmλ=um=17.2mile/h≈27.7km/h圖3-7，P.44k=0處的切線斜率（速度）→∞，需要修正45Ch5跟馳理論格林伯（Greenberg）速度-密度模型1441veh/h2.正比于速度的間距倒數(shù)模型對反應強度系數(shù)進行修改λ2為常量，跟馳模型：利用車頭間距和密度的倒數(shù)關系對此式積分，如果最大流量時的速度（最佳速度）取為e-1uf，則系數(shù)λ2為km-1，46Ch5跟馳理論2.正比于速度的間距倒數(shù)模型46Ch5跟馳理論【作業(yè)】跟馳模型：λ2為常量。如果最大流量時的速度（最佳速度）取為e-1uf，則系數(shù)λ2為km-1。利用車頭間距和密度的倒數(shù)關系對此式積分，證明：穩(wěn)態(tài)方程為：即Underwood模型。uf是自由流速度，即密度趨于零時的速度，km是最大流量時的密度（最佳密度）。47Ch5跟馳理論【作業(yè)】跟馳模型：47Ch5跟馳理論由于交通流速度在低密度下與車輛密度大小無關，因此，速度-密度關系為：其中kf是車輛間剛要產(chǎn)生影響時的密度，超過此值交通流速度將隨著密度的增加而減少。若剛要產(chǎn)生影響時的間距為120m，則kf=8.3veh/km48Ch5跟馳理論由于交通流速度在低密度下與車輛密度大小無關，因此，速度-密度3.格林希爾治模型式中：uf—自由流車速；kj—阻塞密度L—阻塞密度時的車頭間距對第(n+1)輛車引入反應時間后:反應強度系數(shù)：49Ch5跟馳理論3.格林希爾治模型49Ch5跟馳理論4.模型的統(tǒng)一表示其中的反應強度系數(shù)λ取以下幾種形式：(1)常數(shù)，λ=λ0(2)反比于車頭間距，λ=λ1/s；(3)正比于車速、反比于車頭間距的平方，λ=λ2u/s2(4)反比于車頭間距的平方，λ=ufL/s2；反應強度系數(shù)一般形式：al,m是常數(shù)，l、m為指數(shù)，且都≥050Ch5跟馳理論4.模型的統(tǒng)一表示50Ch5跟馳理論GM（GeneralMotors）模型m和l取不同值，對應于不同的模型51Ch5跟馳理論GM（GeneralMotors）模型m和l取不同值，對應52Ch5跟馳理論52Ch5跟馳理論三、交通流基本參數(shù)關系式的一般表示53Ch5跟馳理論三、交通流基本參數(shù)關系式的一般表示53Ch5跟馳理論積分常數(shù)依賴于具體的m和l值，兩個邊界條件：①s→∞時，u→uf②s=L時，u=01.當m=1；l=1

lnu2―lnu1=a1,1（lns2―lns1）兩邊界條件均不滿足，積分常數(shù)只能利用具體實驗數(shù)據(jù)擬合求得54Ch5跟馳理論積分常數(shù)依賴于具體的m和l值，54Ch5跟馳理論兩個邊界條件：①s→∞時，u→uf②s=L時，u=02.當m≠1；l≠1（1）當m≠1；l＞1，兩個邊界條件均滿足討論：l=3,m=0時（2）當m≠1；l＜1，僅滿足第二個邊界條件均滿足55Ch5跟馳理論兩個邊界條件：①s→∞時，u→uf55交通流基本參數(shù)關系式的一般表示式中：a,b—積分常數(shù)

u—交通流的穩(wěn)態(tài)速度

s—穩(wěn)態(tài)車頭時距fp(x)可由下式確定（p=l或m）積分常數(shù)依賴于具體的m和l值，而且與兩個邊界條件的滿足情況有關：56Ch5跟馳理論交通流基本參數(shù)關系式的一般表示56Ch5跟馳理論(1)l>1,0≤m<1的情況，兩邊界條件均滿足(2)l>1,m≥1的情況，僅滿足第一個邊界條件

b=fm(uf)積分常數(shù)a的值可以通過具體實驗數(shù)據(jù)擬和求得。(3)l≤1,0≤m<1時，僅滿足第二個邊界條件

b=-afl(L)a、b值可利用具體實驗數(shù)據(jù)擬和求得(4)l≤1,m≥1時，兩邊界條件均不滿足a、b值只能利用具體實驗數(shù)據(jù)擬和求得57Ch5跟馳理論(1)l>1,0≤m<1的情況，兩邊界條件均滿足57C圖中，只要選擇適當模型參數(shù)，基本上可以用來擬合圖5-9的數(shù)據(jù)。跟馳模型的一般形式中λ和m不一定必須取整數(shù)值，也可以取非整數(shù)值。58Ch5跟馳理論圖中，只要選擇適當模型參數(shù)，基本上可以用來擬合圖5-9的數(shù)據(jù)

討論：l=3,m=0時，交通流基本參數(shù)關系式的一般表示。兩個邊界條件均滿足。采用②s=L時，u=0，則用于交通流突變理論的研究59Ch5跟馳理論

討論：l=3,m=0時，交通流基本參數(shù)關系式的一般表示四、跟馳理論的不足以及相應的新研究方向先前的討論中，都假定駕駛員對于某一刺激采取相同的比率加速和減速，即加速度的絕對值相等。實際上，大多數(shù)車輛的減速性能要比加速性能強，而且在交通比較擁擠時，跟馳車輛的駕駛員對前車減速的反應強度要比加速的反應強度大一些。因此，對應于前面車輛的加速或減速刺激，即相對速度是正還是負或者車頭間距是增大還是減小，跟馳車輛的反應具有不對稱性。60Ch5跟馳理論四、跟馳理論的不足以及相應的新研究方向60Ch5跟馳理論將跟馳理論的基礎模型進行改寫：其中，λi=λ+或λ-，取決于相對速度是正還是負或者車頭間距是增大還是減小。此外，流量—密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說明流量—密度曲線的不連續(xù)性。61Ch5跟馳理論將跟馳理論的基礎模型進行改寫：61Ch5跟馳理論§4加速度干擾交通量小時，車輛速度在一定速度范圍內(nèi)變化或擺動；交通量較大時雖然跟馳現(xiàn)象十分明顯，但是由于受交通控制信號的影響，車輛速度會出現(xiàn)擺動。加速度干擾就是對車輛速度擺動的描述，車速擺動還涉及到乘車舒適性的問題，加速度干擾可以作為一個定量評價指標。62Ch5跟馳理論§4加速度干擾交通量小時，車輛速度在一定速度范圍內(nèi)變化或擺一、加速度干擾的計算車輛速度擺動的大小可用加速度對平均加速度的標準差（方均根誤差）σ來表示。稱σ為加速度干擾，單位與加速度的單位一致。式中：T—觀測總時間；

a(t)—t時刻加速度—平均加速度63Ch5跟馳理論一、加速度干擾的計算63Ch5跟馳理論假定平均加速度為0，則如果加速度的觀測以連續(xù)的時間間隔Δt來取樣如果平均加速度為0，則64Ch5跟馳理論假定平均加速度為0，則64Ch5跟馳理論加速度干擾計算的實用公式：式中：ai—第i個觀測時間段的加速度（認為各小時間段內(nèi)加速度值相等）Δti—第i個觀測時間段長將公式進行變換式