幾種常見的曲面及其方程

幾種常見的曲面及其方程二次曲面曲線機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)曲面及其方程

幾種常見的曲面及其方程即動點為定點為，由兩點間距離公式得特別,當M在原點時,球面方程為定值為R表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結束一、幾種常見的曲面及其方程1.球面幾種常見的曲面及其方程

例1方程表示怎樣的曲面.

解通過配方，把原方程寫成對比（1）式知，它表示球心在點（2,0,-1）,半徑為的球面.幾種常見的曲面及其方程三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,

沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點

其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于

(且z軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準線xoy面上的曲線l1.母線準線yoz面上的曲線l2.

母線機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程定義2.

一條平面曲線3.旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如

:機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞z軸旋轉時,若點給定yoz面上曲線C:

則有則有該點轉到機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程例2將面上的橢圓分別繞軸和軸旋轉，求所形成的旋轉曲面方程。解繞軸旋轉而成的旋轉曲面方程為即即繞軸旋轉而成的旋轉曲面方程為幾種常見的曲面及其方程

例3求面上的拋物線繞x軸旋轉所形成的旋轉拋物面（圖7-28）的方程。

解方程中的x不變，換成便得到旋轉拋物線的方程為

例4求面上的直線繞z軸旋轉一周而成的圓錐面的方程。

解所求圓錐面的方程為即幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面三元二次方程

適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅

就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:

橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.

(二次項系數(shù)不全為0)機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結束黃綠紅幾種常見的曲面及其方程與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程2.橢圓拋物面(p,q

同號)特別,當p=q時為繞

z軸的旋轉拋物面.機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程三、曲線

1.曲線方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.

C機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.

機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程例5設一動點M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉，同時又以線速度沿平行于z軸的正方向上升(都是常數(shù))則點M的幾何軌跡叫做螺旋線（圖7-34），試圖建立其參數(shù)方程。解取時間t為參數(shù)，設t=0時動點在處，動點在點處，過點M作xoy面的垂線，則垂足的坐標為由于是動點在時間t內轉過的角度，而線段的長是時間t內動點上升的高度，所以經(jīng)過時間t，得幾種常見的曲面及其方程從而因此螺旋線的參數(shù)方程為幾種常見的曲面及其方程2.空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去z得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機動目錄上頁下頁返回結束幾種常見的曲面及其方程例如,在xoy面上的投影曲線方程為機動目錄上頁下頁返回結束