復(fù)變函數(shù)與積分變換-第1章課件

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)§1.2復(fù)數(shù)的三角表示§1.3平面點(diǎn)集的一般概念§1.4無窮大與復(fù)球面§1.5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)§1.2復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景

（莫里斯克萊恩

）(1908-1992)(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國(guó)數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點(diǎn)來看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景（莫里斯克萊的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分.(1)代數(shù)方程

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.

（阿達(dá)馬）說:實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動(dòng)等問題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)算滲流問題.例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.例如：熱爐中溫度的計(jì)算.最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,從而研究機(jī)翼的造型問題.(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)變換應(yīng)用于頻譜分析和信號(hào)處理等.(8)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．頻譜分析是對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語(yǔ)音、圖象等作為信號(hào)，在頻域中的處理要方便得多.(9)變換應(yīng)用于頻譜分析和信號(hào)處理等.(8)復(fù)變函數(shù)理論也是變換應(yīng)用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(11)Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).(12)小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號(hào)分析和圖象處理、語(yǔ)音識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等等.(13)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計(jì)算可以使用為科學(xué)和工程計(jì)算設(shè)計(jì)的軟件(10)變換應(yīng)用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數(shù)是主要內(nèi)容

本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及表示式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、平面點(diǎn)集的概念.然后討論復(fù)變函數(shù)的極限連續(xù)性.主要內(nèi)容本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及表示式、復(fù)數(shù)的§1.1-1.2復(fù)數(shù)及其表示式1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算3復(fù)數(shù)的表示方法4乘冪與方根§1.1-1.2復(fù)數(shù)及其表示式1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則1.1.1復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要,人們引進(jìn)了復(fù)數(shù).例如，簡(jiǎn)單的代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數(shù)稱為1.1.1復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要,當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零、實(shí)部不為零(即y=0,)時(shí)，復(fù)數(shù)x+iy等于x+i0為實(shí)數(shù)x,而虛部不為零(即)的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù).在虛數(shù)中,實(shí)部為零(即x=0,)的稱為純虛數(shù).例如,3+0i=3是實(shí)數(shù),4+5i,-3i都是虛數(shù),而-3i是純虛數(shù).數(shù)x+iy(或x+yi)的,并記做稱形如x+iy或x+yi的表達(dá)式為復(fù)數(shù)，其中

x和y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù).把這里的x和y分別稱為復(fù)當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零、實(shí)部不為零(即y=0,顯然,z=x+iy是x-yi的共軛復(fù)數(shù),即共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x-iy稱為復(fù)數(shù)x+yi的(其中x,y均為實(shí)數(shù)),并記做.顯然,z=x+iy是x-yi的共軛復(fù)數(shù),即共軛1.1.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算注意

復(fù)數(shù)不能比較大小.設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、減、乘、除運(yùn)算定義如下：(1)復(fù)數(shù)的和與差1.1.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算注意復(fù)數(shù)不能比較大小.(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律2.結(jié)合律3.分配律2.結(jié)合律3.分配律解例1.1設(shè)

求與解例1.1設(shè)求與例1.2……例1.2……例1.3設(shè)z1,z2是兩個(gè)復(fù)數(shù),證明證明因?yàn)樗杂蛇\(yùn)算規(guī)律7，有本例也可以用乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義證明.例1.3設(shè)z1,z2是兩個(gè)復(fù)數(shù),證明證明因?yàn)樗越o定一復(fù)數(shù)z=x+yi,在坐標(biāo)平面XOY上存在惟一的點(diǎn)P(x,y)與z=x+yi對(duì)應(yīng).反之,對(duì)XOY平面上的點(diǎn)P(x,y),存在惟一的復(fù)數(shù)z=x+yi與它對(duì)應(yīng).根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及向量的代數(shù)運(yùn)算的定義知這種對(duì)應(yīng)構(gòu)成了同構(gòu)映射.因此可以用XOY平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)z.這時(shí)把XOY平面平面稱為復(fù)平面.有時(shí)簡(jiǎn)稱為z平面.1.1.3復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法給定一復(fù)數(shù)z=x+yi,在坐標(biāo)平面XOY顯然,實(shí)數(shù)與x軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),而x軸以外的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)虛數(shù),純虛數(shù)與y軸上的點(diǎn)(除原點(diǎn))對(duì)應(yīng).因此,稱x軸為實(shí)軸,y軸為虛軸.今后把復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)z不加區(qū)別,即“點(diǎn)z”和“復(fù)數(shù)z”是同一個(gè)意思.有時(shí)用C表示全體復(fù)數(shù)或復(fù)平面.復(fù)數(shù)z也可以用以原點(diǎn)為起點(diǎn)而以點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量表示(如圖).顯然,實(shí)數(shù)與x軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),而x軸以這時(shí)復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.用表示復(fù)數(shù)z時(shí),這個(gè)向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.把向量的長(zhǎng)度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對(duì)值,并記做|z|.顯然這時(shí)復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)(即),那么把x軸的正向與向量的夾角q稱為復(fù)數(shù)z的輻角,記做Argz.

對(duì)每個(gè),都有無窮多個(gè)輻角,因?yàn)橛胵0表示復(fù)數(shù)z的一個(gè)輻角時(shí),就是z的輻角的一般表達(dá)式.如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)(即),有時(shí),在進(jìn)行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當(dāng)z=0時(shí),|z|=0.滿足的復(fù)數(shù)z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則的輻角,這時(shí)上式仍然成立.當(dāng)z=0時(shí),Argz沒有意義,即零向量沒有確定有時(shí),在進(jìn)行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當(dāng)z當(dāng)時(shí),有說明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，當(dāng)時(shí),有說明：當(dāng)z利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系數(shù)z的三角表示式.再利用Euler公式

復(fù)數(shù)z=x+yi可表示為稱為復(fù)復(fù)數(shù)z=x+yi又可表示為稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式,其中r=|z|,q=Argz.利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系數(shù)z的三角表示式.再利用E例1.4將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此例1.4將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)2)顯然,r=|z|=1,又因此2)顯然,r=|z|=1,又因此例1.5寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：例1.5寫出當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)z和復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)從幾何上看,復(fù)數(shù)z2-z1所表示的向量,與以z1為起點(diǎn)、z2為終點(diǎn)的向量相等(方向相同,模相等).復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上相應(yīng)向量的加、減運(yùn)算.復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)從幾何上看,復(fù)數(shù)z2-1.1.4

乘冪與方根設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角表示式為根據(jù)乘法定義和運(yùn)算法則及兩角和公式,1.1.4乘冪與方根設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角表示式為根據(jù)于是應(yīng)該注意的是中的加法是集合的加法運(yùn)算：即將兩個(gè)集合中所有的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.元素相加構(gòu)成的集合于是應(yīng)該注意的是兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為先將z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為先將z1按逆利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么如果寫成指數(shù)形式，即如果那么特別地，當(dāng)|z|=r=1時(shí),變?yōu)槿绻麑懗芍笖?shù)形式，即如果那么特別地，當(dāng)|z|=r=1時(shí),稱為DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovie公式仍然成立.設(shè)如果定義負(fù)整數(shù)冪為當(dāng)(即)時(shí),稱為DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovi則如果將z1和z2寫成指數(shù)形式于是

兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則如果將z1和z2寫成指數(shù)形式于是兩個(gè)復(fù)數(shù)方根,記做或如果于是,當(dāng)時(shí),對(duì)給定的復(fù)數(shù)z,方程wn=z的解w稱為z的n次方根,記做或如果于是,滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術(shù)根.于是當(dāng)取k=0,1,2,···,n-1時(shí),對(duì)一個(gè)取定的q,可得

n個(gè)相異根如下滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術(shù)根.于由三角函數(shù)的周期性由三角函數(shù)的周期性可見,除w0,w1,···,wn-1外,均是重復(fù)出現(xiàn)的,故當(dāng)z=0時(shí),w=0就是它的n次方根.常取主輻角.若用指數(shù)表示式,則當(dāng)z=reiq時(shí),這n個(gè)復(fù)數(shù)就是所要求的n個(gè)根.在上面的推導(dǎo)過程中,可取q為一個(gè)定值,通可見,除w0,w1,···,wn-1外,例1.6求方程w4+16=0的四個(gè)根.因?yàn)?16=24e(2k+1)pi,所以w4=24e(2k+1)pi.于是例1.6求方程w4+16=0的四個(gè)根.w1,w2,w3,w4恰好是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓一般情況下,n個(gè)根就是以原點(diǎn)為中心、半徑為的圓的內(nèi)接正多邊形的n個(gè)頂點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù).|z|=2的內(nèi)接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)(如圖).w1,w2,w3,w4恰好是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓例1.7求[解]因?yàn)樗岳?.7求[解]因?yàn)樗约醋ⅲ核膫€(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).1+iw0w1w2w3Oxy即注：四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四例1.8設(shè)求解：若取則若取則例1.8設(shè)求解：若取則若取則§1.3平面點(diǎn)集的一般概念1區(qū)域2Jordan曲線、連通性§1.3平面點(diǎn)集的一般概念1區(qū)域2Jordan曲線、1.3.1區(qū)域1.鄰域z0是復(fù)平面內(nèi)的定點(diǎn),滿足不等式|z-z0|<d的一切點(diǎn)所組成的集合{z||z-z0|<d}稱為z0的d鄰域,簡(jiǎn)稱為z0的鄰域,其中d>0.z0的鄰域?qū)嶋H上是以z0為中心,d為半徑的圓的內(nèi)部所有點(diǎn)組成的點(diǎn)集,簡(jiǎn)記為B(z0,d).由滿足不等式0<|z-z0|<d的一切點(diǎn)所組成的集合稱為z0的去心鄰域.1.3.1區(qū)域1.鄰域z0是復(fù)平滿足不等式|z|>R(R>0)的一切點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn))的集合稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.用R<|z|<+表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域.2.內(nèi)點(diǎn)設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集,z0是一個(gè)定點(diǎn),若存在z0的一個(gè)鄰域,使得該鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)均屬于E,則稱z0是E的內(nèi)點(diǎn).即存在r>0,滿足滿足不等式|z|>R(R>0)的一切點(diǎn)(3.外點(diǎn)4.邊界點(diǎn)

設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集,z0是一個(gè)定點(diǎn),若存在z0的一個(gè)鄰域,使得在此鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)均不屬于E,則稱z0是E的外點(diǎn).即存在r>0,滿足設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集,z0是一個(gè)定點(diǎn),若z0的任何鄰域內(nèi)都含有屬于E的點(diǎn)和不屬于E的點(diǎn),則稱z0是E的邊界點(diǎn).3.外點(diǎn)4.邊界點(diǎn)設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)即對(duì)任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),滿足顯然,E的內(nèi)點(diǎn)屬于E,而外點(diǎn)不屬于E,但邊界點(diǎn)既可能屬于E,也可能不屬于E.

E的邊界點(diǎn)的全體所組成的集合稱為E的邊界,記做E.

5.開集設(shè)G是復(fù)平面上的點(diǎn)集,如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集.即對(duì)任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),例1.9設(shè)z0是定點(diǎn),r>0是常數(shù),則z0為中心,以r為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn),即滿足不等式|z-z0|<r

的一切點(diǎn)z所組成的點(diǎn)集(z0的r鄰域)是開集.當(dāng)0r<R(r和R均是常數(shù))時(shí),滿足不等式r<|z-z0|<R的一切z所組成的點(diǎn)集也是開集.但滿足不等式r<|z-z0|R的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集不是開集.因?yàn)樵趫A周|z-z0|=R上的點(diǎn)屬于集合r<|z-z0|R,但這些點(diǎn)不是它的內(nèi)點(diǎn),而是邊界點(diǎn).例1.9設(shè)z0是定點(diǎn),r>0是常數(shù)在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點(diǎn)都是點(diǎn)集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的邊界點(diǎn).兩個(gè)圓周上的點(diǎn)都不屬于點(diǎn)集r<|z-z0|<R,內(nèi)圓周|z-z0|=r不屬于點(diǎn)集r<|z-z0|R,外圓周|z-z0|=R屬于點(diǎn)集r<|z-z0|R.6.區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的點(diǎn)集，如果滿足以下兩個(gè)條件:(1)D是開集；在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=(2)D內(nèi)的任何兩點(diǎn)z1和z2都可以用一條完全在D內(nèi)的折線,把z1和z2連接起來(具有這個(gè)性質(zhì)的點(diǎn)集叫做連通的).則稱D是復(fù)平面上的區(qū)域.簡(jiǎn)單地說,連通開集稱為區(qū)域.

基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界(2)D內(nèi)的任何兩點(diǎn)z1和z2都可以用一條為閉區(qū)域,記做

例如,滿足不等式|z-z0|r和r|z-z0|R的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集都是有界的閉區(qū)域,滿足不等式|z|R的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集是無界的閉區(qū)域.如果一個(gè)平面點(diǎn)集完全包含在原點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi),那么稱它是有界的.不是有界集的點(diǎn)集叫做無界集.由區(qū)域D和它的邊界D所組成的點(diǎn)集，稱為閉區(qū)域,記做例如,滿足不等式|z(1)圓環(huán)域:例1.10判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.(1)圓環(huán)域:例1.10判斷下列區(qū)域是否有界?(2)1.3.2Jordan曲線、連通性(1)連續(xù)曲線、Jordan曲線參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(atb)在XOY平面上表示一條曲線C.

把XOY平面視為復(fù)平面時(shí),曲線C的參數(shù)方程可表示為如果x=x(t),y=y(t)(atb)為連續(xù)函數(shù)時(shí),則稱曲線C為連續(xù)曲線.1.3.2Jordan曲線、連通性(1)連續(xù)曲線、曲線C在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了曲線的形狀,實(shí)際上還給出了曲線的方向,也就是說,曲線是沿著t增加的方向變化的.復(fù)平面上對(duì)應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點(diǎn)稱為曲線C的起點(diǎn),對(duì)應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點(diǎn)稱為曲線C的終點(diǎn).若曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,即z(a)=z(b),則稱C是閉曲線.例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0t2p)是一條閉曲線,因?yàn)閦(0)=z(2p)=r.曲線C在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了對(duì)曲線C的參數(shù)方程做變量代換可得這兩個(gè)方程所確定的曲線形狀相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)互易,從而方向相反.用Cˉ表示與C形狀相同、方向相反的曲線.如果t1t2,有z(t1)=z(t2),則稱z(t1)=z(t2)是曲線z=z(t)的重點(diǎn).對(duì)曲線C的參數(shù)方程做變量代換可得這兩個(gè)方程所確定的曲線形狀如果曲線C:z=z(t)(atb)除起點(diǎn)與終點(diǎn)外無重點(diǎn),即除t1=a,t2=b之外,如果t1t2,有z(t1)z(t2),則稱曲線C是簡(jiǎn)單曲線.連續(xù)的簡(jiǎn)單閉曲線稱為Jordan曲線.

任何Jordan曲線C將平面分為兩個(gè)區(qū)域,即內(nèi)部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域(無界),C是它們的公共邊界.內(nèi)部外部邊界如果曲線C:z=z(t)(atb)下列曲線是否為簡(jiǎn)單閉曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉下列曲線是否為簡(jiǎn)單閉曲線?答簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單不簡(jiǎn)單不簡(jiǎn)單關(guān)于曲線方向的說明:

設(shè)C為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選定

C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向,則稱C為有向曲線.如果從A到B作為曲線

C的正向,那么從B到A為曲線C的負(fù)向,就是Cˉ.除特殊聲明外,正向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.CCˉ關(guān)于曲線方向的說明:設(shè)C為平面上給定的一條連Jordan曲線C有兩個(gè)方向,當(dāng)點(diǎn)z沿著C的一個(gè)給定方向變化時(shí),若C的內(nèi)部出現(xiàn)在點(diǎn)z前進(jìn)方向的左側(cè),就規(guī)定這個(gè)方向是正的;否則就說是負(fù)的.如果沒有特別說明,約定Jordan曲線的正向?yàn)檫@條曲線的方向.Jordan曲線C有兩個(gè)方向,當(dāng)點(diǎn)z沿著C對(duì)于圓周曲線可以簡(jiǎn)單地說,逆時(shí)針方向?yàn)榍€的正向,順時(shí)針方向?yàn)榍€的負(fù)向.(2)光滑曲線如果曲線C參數(shù)方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任何t[a,b],都有稱C是一條光滑曲線.

對(duì)于圓周曲線可以簡(jiǎn)單地說,逆時(shí)針方向(2由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.能求出長(zhǎng)度的曲線稱為可求長(zhǎng)曲線.分段光滑曲線是可求長(zhǎng)曲線.光滑曲線分段光滑曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線(3)單連通區(qū)域與多連通區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域,如果位于D內(nèi)的任何Jordan曲線的內(nèi)部區(qū)域也都包含于D,則稱D為單連通區(qū)域.若區(qū)域D不是單連通區(qū)域,則稱它為多連通區(qū)域.單連通域多連通域(3)單連通區(qū)域與多連通區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的一個(gè)例1.11指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解(1)當(dāng)時(shí),例1.11指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點(diǎn)為中心,半徑為的圓是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)表示到1,–1兩點(diǎn)的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界的單連通區(qū)域(如圖).和為定值4的點(diǎn)的軌跡,因?yàn)樗赃@是橢圓曲線.表示到1,–1兩點(diǎn)的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐例1.12滿足下列條件的點(diǎn)集是否區(qū)域?如果是區(qū)域,是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?這是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.它是單連通區(qū)域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線例1.12滿足下列條件的點(diǎn)集是否區(qū)域?它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點(diǎn),斜率為1的半射線,不包括端點(diǎn)i.它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)表示，這是復(fù)數(shù)的幾何表示法的一種，另外還可以用球面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).設(shè)S是與復(fù)平面C切于原點(diǎn)O的球面.過原點(diǎn)O做垂直于平面C的直線,與S的另一交點(diǎn)為N.原點(diǎn)O稱為S的南極(S極),點(diǎn)N稱為S的北極(如圖).1.4無窮大與復(fù)球面復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)表示，這是復(fù)數(shù)的幾

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).球面上的北極N不能對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn),當(dāng)球面上的點(diǎn)離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平

規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.

球面上的點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面的點(diǎn)構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯球面上

對(duì)于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)而言,它的實(shí)部、虛部,輻角等概念均無意義,規(guī)定它的模為正無窮大.(1)加法(2)減法(3)乘法(4)除法對(duì)于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)而言,它的實(shí)部、虛部,(§1.5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1復(fù)變函數(shù)的定義2復(fù)變函數(shù)的極限3函數(shù)的連續(xù)性§1.5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1復(fù)變函數(shù)的定義2復(fù)變函1.5.1

復(fù)變函數(shù)的定義定義1.1設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集,若對(duì)任何zE,都存在惟一確定的復(fù)數(shù)w和z對(duì)應(yīng),稱在E上確定了一個(gè)單值復(fù)變函數(shù)，用w=f(z)表示.

E稱為該函數(shù)的定義域.在上述對(duì)應(yīng)中,當(dāng)zE所對(duì)應(yīng)的w不止一個(gè)時(shí),稱在E上確定了一個(gè)多值復(fù)變函數(shù).數(shù),而例如,w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函1.5.1復(fù)變函數(shù)的定義定義1.1設(shè)E是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不特別申明時(shí)，所指的復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù).因?yàn)閦=x+iy和w都是復(fù)數(shù),若把w記為u+iv時(shí),

u與v也是z的函數(shù),因此也是x和y的函數(shù).于是,可以寫成其中u(x,y)和v(x,y)都是實(shí)變量的二元函數(shù).是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不例如:w=z2是一個(gè)復(fù)變函數(shù).令因?yàn)橛谑呛瘮?shù)w=z2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)令于是反之,如果例如:w=z2是一個(gè)復(fù)變函數(shù).令因?yàn)榉春瘮?shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域?yàn)閺?fù)平面上的點(diǎn)集D,稱復(fù)平面上的點(diǎn)集為函數(shù)w=f(z)的值域.對(duì)于任意的wG,必有D中一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng).于是,確定了G上一個(gè)單值或多值函數(shù)z=j(w),稱之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域?yàn)閺?fù)平定義1.2設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,A是復(fù)常數(shù).若對(duì)任意給定的e>0,存在d>0,使得對(duì)一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當(dāng)z趨于z0時(shí),f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中zz0的方式是任意的.1.5.2復(fù)變函數(shù)的極限定義1.2設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某例1.13當(dāng)z0時(shí),函數(shù)極限不存在.事實(shí)上,當(dāng)z沿直線y=kx趨于零時(shí),該極限值隨k值的變化而變化,所以極限不存在.例1.13當(dāng)z0時(shí),函數(shù)極限不存在.事實(shí)上,定義1.3設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且則稱f(z)在z0處連續(xù).若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D上連續(xù).關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線C上的連續(xù)性和閉區(qū)域上的連續(xù)性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.1.5.3函數(shù)的連續(xù)性定義1.3設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定定理1.1設(shè)則f(x)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點(diǎn)連續(xù).證明只須注意,由等式可得不等式定理1.1設(shè)則f(x)在處連續(xù)的充分必要條件是又有不等式這個(gè)定理說明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的連續(xù)性.利用這些不等式及，結(jié)論易證.又有不等式這個(gè)定理說明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的例1.14設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0連續(xù)，并且f(z0)0,則存在z0的某個(gè)鄰域，使f(z)在此鄰域內(nèi)恒不為0.證明由于f(z)在點(diǎn)z0連續(xù),在點(diǎn)連續(xù),故在點(diǎn)連續(xù).因所以由二元函數(shù)的連續(xù)性,必存在的某個(gè)鄰域,使得在此鄰域內(nèi),即在此鄰域內(nèi)f(z)0.例1.14設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0定理1.2設(shè)都在點(diǎn)連續(xù),則都在

點(diǎn)連續(xù)，而

當(dāng)時(shí)，也在點(diǎn)連續(xù).

定理1.3設(shè)在處連續(xù)，

而在點(diǎn)連續(xù)，則

復(fù)合函數(shù)在

點(diǎn)連續(xù).

應(yīng)用或仿證明實(shí)函數(shù)類似結(jié)論的方法可以證明上述兩個(gè)定理.定理1.2設(shè)都在點(diǎn)連續(xù),則都在點(diǎn)連續(xù)，而當(dāng)時(shí)，由前面的結(jié)論可知,多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù).有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外,處處連續(xù).都是復(fù)常數(shù).由前面的結(jié)論可知,多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù).有理分式定理1.4設(shè)f(z)在有界閉區(qū)域(或有限長(zhǎng)的連續(xù)曲線C)上連續(xù)，則f(z)在(或C)上有