10第十章 排隊論

第十章排隊論1本章內容重點基本概念輸入過程和服務時間分布泊松輸入——指數(shù)服務排隊模型其他模型選介210第十章排隊論前言排隊論(QueuingTheory)，又稱隨機服務系統(tǒng)理論(RandomServiceSystemTheory),是一門研究擁擠現(xiàn)象(排隊、等待)的科學。具體地說，它是在研究各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎上，解決相應排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設計和最優(yōu)控制問題。310第十章排隊論前言排隊是我們在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象:上、下班搭乘公共汽車；顧客到商店購買物品；病人到醫(yī)院看?。宦每偷绞燮碧庂徺I車票；學生去食堂就餐等常常出現(xiàn)排隊和等待現(xiàn)象。排隊的不一定是人，也可以是物：410第十章排隊論前言通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線上的原料、半成品等待加工；因故障停止運轉的機器等待工人修理；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機因跑道不空而在空中盤旋等等。510第十章排隊論前言排隊問題的共同特征有要求得到某種服務的人或物。排隊論里把要求服務的對象統(tǒng)稱為“顧客”有提供服務的人或機構。把提供服務的人或機構稱為“服務臺”或“服務員”顧客的到達、服務的時間至少有一個是隨機的，服從某種分布。610第十章排隊論前言不同的顧客與服務組成了各式各樣的服務系統(tǒng)。顧客為了得到某種服務而到達系統(tǒng)、若不能立即獲得服務而又允許排隊等待，則加入等待隊伍，待獲得服務后離開系統(tǒng)，見圖1至圖5。710第十章排隊論前言圖1單服務臺排隊系統(tǒng)810第十章排隊論前言圖2單隊列——S個服務臺并聯(lián)的排隊系統(tǒng)910第十章排隊論前言圖3S個隊列——S個服務臺的并聯(lián)排隊系統(tǒng)1010第十章排隊論前言圖4單隊——多個服務臺的串聯(lián)排隊系統(tǒng)1110第十章排隊論前言圖5多隊——多服務臺混聯(lián)、網(wǎng)絡系統(tǒng)1210第十章排隊論前言一般的排隊系統(tǒng)，都可由下圖加以描述1310第十章排隊論前言面對擁擠現(xiàn)象，顧客排隊時間的長短與服務設施規(guī)模的大小，就構成了設計隨機服務系統(tǒng)中的一對矛盾。如何做到既保證一定的服務質量指標，又使服務設施費用經(jīng)濟合理，恰當?shù)亟鉀Q顧客排隊時間與服務設施費用大小這對矛盾，這就是排隊論所要研究解決的問題之一。服務實施過少或服務效率過低，加劇排隊增加服務設施會導致服務成本上升與系統(tǒng)空閑矛盾1410第十章排隊論前言排隊論是1909年由丹麥工程師愛爾朗(A.K．Erlang)在研究電話系統(tǒng)時創(chuàng)立的，幾十年來排隊論的應用領域越來越廣泛，理論也日漸完善。特別是自二十世紀60年代以來，由于計算機的飛速發(fā)展，更為排隊論的應用開拓了寬闊的前景。1510第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述

系統(tǒng)特征和基本排隊過程任何一個排隊問題的基本排隊過程都可以用圖6表示。從圖6可知，每個顧客由顧客源按一定方式到達服務系統(tǒng)，首先加入隊列排隊等待接受服務，然后服務臺按一定規(guī)則從隊列中選擇顧客進行服務，獲得服務的顧客立即離開。1610第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分通常，排隊系統(tǒng)都有 輸入過程 服務規(guī)則 服務臺等3個組成部分.1710第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:1輸入過程這是指要求服務的顧客是按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也把它稱為顧客流．一般可以從3個方面來描述—個輸入過程。1810第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:1輸入過程顧客總體數(shù)(又稱顧客源、輸入源)顧客到達方式顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。例如，到售票處購票的顧客總數(shù)可以認為是無限的，而某個工廠因故障待修的機床則是有限的。1910第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:1輸入過程顧客總體數(shù)(又稱顧客源、輸入源)顧客到達方式顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，他們是單個到達，還是成批到達。病人到醫(yī)院看病是顧客單個到達的例子。在庫存問題中如將生產(chǎn)器材進貨或產(chǎn)品入庫看作是顧客，那么這種顧客則是成批到達的。2010第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:1輸入過程顧客總體數(shù)(又稱顧客源、輸入源)顧客到達方式顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布可以理解為在一定的時間間隔內到達K個顧客(K=1、2、..)的概率是多大。顧客流的概率分布一般有定長分布、二項分布、泊松流(最簡單流)、愛爾朗分布等若干種。舉例2110第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:2服務規(guī)則指服務臺從隊列中選取顧客進行服務的順序。一般可以分為損失制、等待制和混合制等3大類。2210第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:2服務規(guī)則損失制等待制混合制如果顧客到達排隊系統(tǒng)時，所有服務臺都已被占用，那么他們就自動離開系統(tǒng)永不再來。如撥打電話占線后掛斷電話。2310第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:2服務規(guī)則損失制等待制混合制當顧客來到系統(tǒng)時，所有服務臺都不空，顧客加入排隊行列等待服務。等待制中，服務臺在選擇顧客進行服務時，常有如下四種規(guī)則：先來先服務、后來先服務、隨機服務、優(yōu)先權服務2410第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:2服務規(guī)則損失制等待制混合制等待制與損失制相結合的一種服務規(guī)則，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無限長下去。具體說來，大致有三種：隊長有限、等待時間有限、逗留時間有限2510第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:3服務臺情況服務臺數(shù)量及構成形式服務方式服務時間的分布①單隊——單服務臺式；②單隊——多服務臺并聯(lián)式；③多隊——多服務臺并聯(lián)式；④單隊——多服務臺串聯(lián)式；⑤單隊——多服務臺并串聯(lián)混合式；⑥多隊——多服務臺并串聯(lián)混合式…2610第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:3服務臺情況服務臺數(shù)量及構成形式服務方式服務時間的分布指在某一時刻接受服務的顧客數(shù)，它有單個服務和成批服務兩種。2710第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的基本組成部分:3服務臺情況服務臺數(shù)量及構成形式服務方式服務時間的分布在多數(shù)情況下，對每一個顧客的服務時間是一隨機變量，其概率分布有定長分布、負指數(shù)分布、K級愛爾朗分布、一般分布(所有顧客的服務時間都是獨立同分布的)等等。2810第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類為了區(qū)別各種排隊系統(tǒng)，根據(jù)輸入過程、排隊規(guī)則和服務機制的變化對排隊模型進行描述或分類，D．G．Kendall提出了一種目前在排隊論中被廣泛采用的“Kendall記號”，完整的表達方式通常用到6個符號并取如下固定格式：X/Y/Z/A/B/C

各符號的意義為：2910第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類X—顧客相繼到達間隔時間分布，常用下列符號：M——表示到達過程為泊松過程或負指數(shù)分布；D——表示定長輸入；Ek——表示k階愛爾朗分布；G——表示一般相互獨立的隨機分布。3010第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類Y—服務時間分布，所用符號與表示顧客到達間隔時間分布相同。M——表示服務過程為泊松過程或負指數(shù)分布；D——表示定長分布；Ek——表示k階愛爾朗分布；G——表示一般相互獨立的隨機分布。3110第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類Z—表示服務臺(員)個數(shù)：“1”則表示單服務臺，“s”(s＞1)表示多服務臺。A—系統(tǒng)中顧客容量限額，或稱等待空間容量；如系統(tǒng)有K個等待位子，則0<K<∞，當K=s時，說明系統(tǒng)不允許等待，即為損失制。K=∞時為等待制系統(tǒng)，此時∞一般省略不寫。K為有限整數(shù)時，表示為混合制系統(tǒng)。3210第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類B—表示顧客源限額，分有限與無限兩種，∞表示顧客源無限，此時一般∞也可省略不寫。C—表示服務規(guī)則，常用下列符號：FCFS：表示先到先服務；LCFS：表示后到先服務；PR：表示優(yōu)先權服務。3310第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類例如：某排隊問題為

M／M／S／∞／∞／FCFS

則表示顧客相繼到達間隔時間為負指數(shù)分布(泊松流)；服務時間為負指數(shù)分布；有s(s＞1)個服務臺；系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制)；顧客源無限，采用先到先服務規(guī)則?？珊営洖椋篗/M/s3410第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述符號與分類 某些情況下，排隊問題僅用上述表達形式中的前3個、4個、5個符號。如不特別說明則均理解為系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源無限，先到先服務，單個服務臺的等待制系統(tǒng)。3510第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標隊長和排隊長（隊列長）隊長-是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊等待的顧客數(shù)與正在接受服務的顧客數(shù)之和)，排隊長-是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務的顧客數(shù)。隊長和排隊長一般都是隨機變量。我們希望能確定它們的分布，或至少能確定它們的平均值(即平均隊長和平均排隊長)及有關的矩(如方差等)。3610第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標等待時間和逗留時間等待時間指從顧客到達時刻起到開始接受服務止這段時間，是隨機變量。逗留時間指從顧客到達時刻起到接受服務完成止這段時間，也是隨機變量。對這兩個指標的研究是希望能確定其分布，或至少能知道顧客的平均等待時間和平均逗留時間。3710第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標忙期和閑期忙期是指從顧客到達空閑著的服務機構起，到服務機構再次成為空閑止的這段時間，即服務機構連續(xù)忙的時間。這是個隨機變量，它關系到服務員的服務強度。閑期，即服務機構連續(xù)保持空閑的時間。在排隊系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。3810第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標其它指標除了上述幾個基本數(shù)量指標外，還會用到其他一些重要的指標：損失制或系統(tǒng)容量有限的情況下，由于顧客被拒絕，而使服務系統(tǒng)受到損失的顧客損失率及服務強度等，也都是十分重要的數(shù)量指標。3910第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號N(t)：時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)(系統(tǒng)的狀態(tài))，即隊長；Nq(t)：時刻t系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即排隊長；T(t)：時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間；Tq(t)：時刻t到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間。4010第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號上面數(shù)量指標一般都是和系統(tǒng)運行的時間有關的隨機變量，求它們的瞬時分布一般很困難。注意到相當一部分排隊系統(tǒng)在運行了一定時間后，都會趨于一個平衡狀態(tài)(或稱平穩(wěn)狀態(tài))。在平衡狀態(tài)下，這些量與系統(tǒng)所處的時刻無關，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會消失。因此，我們在本章中將主要討論與系統(tǒng)所處時刻無關的性質，即統(tǒng)計平衡性質。4110第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號L或Ls——平均隊長，穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的顧客數(shù)的期望值；Lq——平均等待隊長或隊列長，穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務的顧客數(shù)期望值；W或Ws——平均逗留時間，在任意時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間期望值；Wq——平均等待時間，在任意時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間期望值。這四項主要性能指標(又稱主要工作指標)的值越小，說明系統(tǒng)排隊越少，等待時間越少，因而系統(tǒng)性能越好。顯然，它們是顧客與服務系統(tǒng)的管理者都很關注的。4210第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號s——系統(tǒng)中并聯(lián)服務臺的數(shù)目；λ——平均到達率；1/λ——平均到達間隔。μ

——平均服務率；1/μ——平均服務時間。ρ——服務強度，即每個服務臺單位時間內的平均服務時間；

一般有ρ=λ/(sμ)4310第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號N——穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài)(系統(tǒng)中的顧客數(shù))；N是隨機變量。Pn=P{N=n}：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為n的概率；特別當n=0時，Pn即P0，為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務臺全部空閑的概率。4410第十章排隊論1基本概念-----排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標一些數(shù)量指標的常用記號

對于損失制和混合制的排隊系統(tǒng)，顧客在到達服務系統(tǒng)時，若系統(tǒng)容量已滿，則自行消失。這就是說，到達的顧客不一定全部進入系統(tǒng)，為此引入：λe——有效平均到達率，即每單位時間實際進入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)（期望值），不同于λ

對于等待制的排隊系統(tǒng)，有λe＝λ4510第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程由前所述，輸入過程是描述各種類型的顧客以怎樣的規(guī)律到達系統(tǒng)，可以用相繼兩顧客到達時間間隔ξ或時間段t內到達的顧客數(shù)來描述系統(tǒng)輸入特征。主要輸入過程有：定長輸入指顧客有規(guī)則地等距到達，每隔時間α到達一個顧客。這時相繼顧客到達間隔ξ的分布函數(shù)F(t)為：4610第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程泊松(poisson)輸入又稱最簡流(普阿松流),滿足下面3個條件稱為最簡流。平穩(wěn)性。輸入過程是平穩(wěn)的，指在長度為t的時段內恰好到達k個顧客的概率僅與時段長度有關，而與時段起點無關。4710第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程無后效性。指在任意幾個不相交的時間區(qū)間內，各自到達的顧客數(shù)是相互獨立的。通俗地說就是以前到達的顧客情況，對以后顧客的到來沒有影響。否則就是關聯(lián)的。4810第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程單個性又稱普通性。指在充分小的時段內最多到達一個顧客。4910第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程泊松(poisson)輸入因為泊松流實際應用最廣，也最容易處理，因而研究得也較多．可以證明，對于泊松流，在長度為t的時間內到達n個顧客的概率服從泊松分布，均值λt，方差λt，即λ—單位時間內平均到達的顧客數(shù)。5010第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程泊松(poisson)輸入對一段時間內到達顧客數(shù)目進行統(tǒng)計和分析不方便，實際中往往對顧客相繼到達時間進行統(tǒng)計和分析，若顧客到達服從泊松分布，可以證明，其相繼到達時間間隔服從均值為1/λ，方差為1/λ2的負指數(shù)分布，其分布函數(shù)和密度為：5110第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程一般獨立輸入 相繼顧客到達時間間隔相互獨立、同分布，分布函數(shù)F(t)是任意分布，因此，上面所述的所有輸入都是一般獨立分布的特例5210第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布輸入過程一般獨立輸入 排隊系統(tǒng)每次到達的顧客不一定是一個，而可能是一批，每批顧客的數(shù)目n是一個隨機變量。其分布為：5310第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布服務時間分布定長分布負指數(shù)分布愛爾郎分布一般獨立分布多個服務臺的服務分布5410第十章排隊論1基本概念-----輸入過程和服務時間分布服務時間分布負指數(shù)分布服務時間滿足參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，其分布密度和分布函數(shù)為：1/μ為平均服務時間，μ為單位時間平均服務人數(shù)。5510第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型單服務臺模型單服務臺等待制模型M/M/1/∞指：顧客的相繼到達時間服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，服務臺個數(shù)1，服務時間V服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無限，允許永遠排隊。5610第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型單服務臺模型服務強度：λ單位時間到達的顧客數(shù)μ單位時間服務完的顧客數(shù)平均隊長L,平均排隊長Lq：平均逗留時間W,平均等待時間Wq：平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)中顧客為n的概率：5710第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型單服務臺模型平均忙期：λ單位時間到達的顧客數(shù)μ單位時間服務完的顧客數(shù)平均閑期：5810第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型例：一個鐵路列車編組站，待編列車到達時間間隔服從負指數(shù)分布，平均到達2列/小時；服務臺是編組站，編組時間服從負指數(shù)分布，平均20分鐘可編一組。已知編組站上共有2股道，當均被占用時，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求在平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；每一列車的平均停留時間；等待編組的列車的平均數(shù)；每列車平均等待編組時間。如果列車因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站時，每列車的費用為a元/小時，求每天由于列車在站外等待而造成的損失。5910第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：λ=2μ=3ρ=2/3<1可達平穩(wěn)狀態(tài)系統(tǒng)中列車的平均數(shù)：列車的平均停留時間：等待編組的列車的平均數(shù)：每列車平均等待編組時間：6010第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：λ=2μ=3ρ=2/3<1可達平穩(wěn)狀態(tài)列車的平均停留時間：每列車平均延誤時間：每天由于列車延誤費用：6110第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型例：某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，來理發(fā)的顧客到達過程為Poisson流，平均4人/小時；理發(fā)時間服從負指數(shù)分布，平均需要6分鐘。求（1）理發(fā)店空閑的概率；（2）店內恰有3各顧客的概率；（3）店內至少有一個顧客的概率；（4）店內的平均顧客數(shù)；（5）每位顧客在店內的平均逗留時間；（6）等待服務的平均顧客數(shù)；（7）每位顧客平均等待服務時間；（8）顧客在店內等待時間超過10分鐘的概率。6210第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：λ=4μ=10ρ=4/10<0.4可達平穩(wěn)狀態(tài)店內空閑的概率：店內恰有3個顧客的概率：店內至少有一個顧客的概率：店內的平均顧客數(shù)：6310第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：λ=4μ=10ρ=4/10<0.4可達平穩(wěn)狀態(tài)每位顧客平均逗留時間：等待服務的平均顧客數(shù)：顧客平均等待時間：顧客逗留超過10分鐘的概率：課本P316，顧客在系統(tǒng)中的逗留時間服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布，即P(T>t)=e-(μ-λ)t,t>=06410第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型多服務臺模型多服務臺等待制模型M/M/s/∞指：顧客單個到達，相繼到達間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。顧客到達時有空閑的服務臺可以馬上接收服務，否則排成一個隊列等待，等待空間無限。6510第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型多服務臺模型服務強度：平均隊長L,平均排隊長Lq：平均逗留時間W,平均等待時間Wq：平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)中顧客為n的概率：6610第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型例：考慮一個醫(yī)院急診室管理的問題。據(jù)統(tǒng)計，急診病人相繼到達的時間間隔服從負指數(shù)分布，平均半小時一個；醫(yī)生處理一個病人的時間業(yè)服從負指數(shù)分布，平均20分鐘。該急診室已有一個醫(yī)生，考慮是否需要增加一個醫(yī)生。6710第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：本問題為M/M/S排隊問題，參數(shù)為λ=2μ=3ρ=2/3，s=1,2運用前述單服務臺（s=1），多服務臺(s=2)計算得到下表的對比結果63%94%63%94%75%6810第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型例：一個大型露天礦山，考慮修建礦石卸位的個數(shù)，問題是一個還是兩個。估計運礦車將按Poisson流到達，平均每小時15輛；卸礦石時間服從負指數(shù)分布，平均3分鐘一輛。又知每輛運送卡車售價8萬元，修建一個卸位投資14萬。6910第十章排隊論2M/M/s等待制排隊模型解：用M/M/S排隊模型分析λ=15μ=20ρ=0.75，s=1,2比較指標1個卸位2個卸位平均卡車數(shù)L30.87平均等待時間W12min3.5min增加了14萬的投資，節(jié)約了（3-0.87）輛車=17.04萬，建造2個卸位合理7010第十章排隊論M/M/s型系統(tǒng)和s個M/M/1型系統(tǒng)的比較某售票處有3個窗口，顧客到達服從Poisson過程，平均每分鐘0.9人，售票時間服從負指數(shù)分布，平均每分鐘0.4人（1）顧客到達后排成1對，依次向空閑的窗口購票;（2）顧客到達后在每個窗口各排一對，進入隊列后不能換對，比較兩種方式的效率。7110第十章排隊論M/M/s型系統(tǒng)和s個M/M/1型系統(tǒng)的比較窗口1窗口2窗口3窗口1窗口2窗口3μ=0.4μ=0.4μ=0.4λ=0.9s=3μ=0.4μ=0.4μ=0.4λ=0.9λ=0.3λ=0.3λ=0.37210第十章排隊論M/M/s型系統(tǒng)和s個M/M/1型系統(tǒng)的比較指標M/M/33個M/M/1服務臺空閑概率0.07480.25（每個子系統(tǒng)）顧客必須等待概率0.570.75平均排隊長1.72.25（每個子系統(tǒng)）平均隊長3.959（整個系統(tǒng)）平均逗留時間4.3910平均等待時間1.897.57310第十章排隊論3M/M/s混合制排隊模型單服務臺模型單服務臺混合制模型M/M/1/K指：顧客單個到達，相繼到達間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，服務臺1個，服務時間V服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，系統(tǒng)空間為K。7410第十章排隊論3M/M/s混合制排隊模型單服務臺模型-系統(tǒng)指標7510第十章排隊論例某修理站只有一名修理工，站內最多停放4臺待修機器，設待修機器按泊松流到達修理站，平均每分鐘到達1臺，修理時間服從負指數(shù)分布，平均1.25分鐘修理1臺，求系統(tǒng)有關指標。解：該系統(tǒng)為M/M/1/4排隊系統(tǒng)，其中7610第十章排隊論3M/M/s混合制排隊模型多服務臺模型多服務臺混合制模型M/M/s/K指：顧客相繼到達間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，服務臺s個，每個服務臺服務時間相互獨立，且服務時間V服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，系統(tǒng)空間為K。7710第十章排隊論3排隊系統(tǒng)的優(yōu)化從經(jīng)濟角度考慮，排隊系統(tǒng)的費用應該包含以下兩個方面：一個是服務費用，它是服務水平的遞增函數(shù)；另一個是顧客等待的機會損失(費用)，它是服務水平的遞減函數(shù)。兩者的總和呈一條U形曲線。費用服務水平等待費用服務費用總費用7810第十章排隊論3排隊系統(tǒng)的