高數(shù)-第一節(jié)-空間直角系與空間曲面、空間曲線課件

第七章一、空間直角坐標系二、空間兩點間的距離三、空間曲面與空間曲線第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束空間直角系與空間曲面、空間曲線第七章一、空間直角坐標系二、空間兩點間的距離三、空間曲1ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)2向量在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上3坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁4向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公5例1.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.6例2.

在z軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及離的點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.在z軸上求與兩點等距解:設(shè)該點為解得故所求點為7提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且機動8三、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-19定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=10故所求方程為例3.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故所求方程為例3.求動點到定點方程.特別,當M0在原點11例4.研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元12定義2.一條平面曲線2、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.一條平面曲線2、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直133、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解14定義3.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l

叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌15一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xoy

面上的曲線l1.母線準線

yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸164、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方17（1）.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（1）.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動18與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截19（2）.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當p=q時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（2）.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號)(220（3）.雙曲面(a)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲線:（3）.雙曲面(a)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平21虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束相交直線:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸22(b)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束圖形(b)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別23（4）.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P316)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（4）.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕24斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習1.指出下列方程的圖形:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于25平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點26特殊情形?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束)0(2221++CBA特殊情形?當D=0時,Ax+By+27①平面的點法式方程設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束①平面的點法式方程設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平28例5.求過三點即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面的方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求過三點即解:取該平面的法向量為的平面的方29此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束此平面的三點式方程也可寫成一般情況30特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.31例6.求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程機動