月日等比數(shù)列概念及性質(zhì)課件

2.4.1等比數(shù)列概念及通項公式第二課時2.4.1等比數(shù)列概念及通項公式第二課時1.定義2.公比(差)3.等比(差)中項4.通項公式5.性質(zhì)(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中項等差中項等差數(shù)列等比數(shù)列1.定義2.公比(差)3.等比(差)4.通項公式5.性質(zhì)q不月日等比數(shù)列概念及性質(zhì)課件若等比數(shù)列{an}的首項為a1

，公比q，且且m,n,s,t均為正整數(shù)。若m+n=s+t,則aman=asat性質(zhì)3：若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比q，且若m+n=s+t證明要積極思考哦若m+n=s+t,則aman=asat若等比數(shù)列{an}的首項為a1

，公比q，且且m,n,s,t均為正整數(shù)。證明要積極思考哦若m+n=s+t,則aman=asat若等定義法，只要看定義法，只要看月日等比數(shù)列概念及性質(zhì)課件思考：你能得到更一般的結(jié)論嗎？性質(zhì)4：在等比數(shù)列中，序號成等差數(shù)列的項依原序構(gòu)成的新數(shù)列是等比數(shù)列。思考：你能得到更一般的結(jié)論嗎？性質(zhì)4：在等比數(shù)列中，序號成等1.判斷⑴b2=aca、b、c成等比數(shù)列；（）在等比數(shù)列{an}中，⑵a8a10=a18；（）⑶a2+a98=a3+a97；（）⑷a8+a10=a18；（）⑸a2a98=a3a97；（）⑹a2a98=；（）2.若a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數(shù)是

.3.在等比數(shù)列{an}中，a9a10a11a12=64，則a8a13=

.4.已知x，2x+2，3x+3是一個等比數(shù)列的前三項，求x.課堂練習√√××××0或1-41.判斷課堂練習√√××××0或1-4

結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列．

證明：設數(shù)列的公比為p，的公比為q，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為與，即與．因為它是一個與n無關的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的等比數(shù)列．

特別地，如果是等比數(shù)列，c是不等于０的常數(shù)，那么數(shù)列也是等比數(shù)列．結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比練習：已知{an}為等比數(shù)列，(1)a5=2,a9=8,求a7=

___

(2)a5=2,a10=10,則a15=_____(3)a1=1/8,q=2,a4與a8的等比中項_____(4)a6=3,則a3a4a5a6a7a8a9=____(5)a4a15=-2,則a3a6a12a17=_____(6)a9a10a11a12=64,則a8a13=____練習：已知{an}為等比數(shù)列，補充練習（1）一個等比數(shù)列的第9項是，公比是，求它的第1項；（2）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項。補充練習（1）一個等比數(shù)列的第9項是，公比是練習．已知等比數(shù)列，a3=20

a6

=160,求q,an

變1：已知等比數(shù)列，a3=20

a5

=80,求q,a4變2：已知等比數(shù)列，a3=20

a７

=320,求q,a5練習．已知等比數(shù)列，a3=20變1：已知等比數(shù)小結(jié)1、理解與掌握等比數(shù)列的定義及遞推公式：；2、要會推導等比數(shù)列的通項公式：，并掌握其基本應用；

3、等比中項：G2=ab遞推法,疊乘法4.性質(zhì):

若m+n=p+q小結(jié)1、理解與掌握等比數(shù)列的定義及遞推公式：作業(yè)本上：課本P53頁A組1（2,3,4），2，8課余作業(yè)：優(yōu)化方案2.4.1作業(yè)本上：等比數(shù)列的性質(zhì)：①an=amqn-m②若m+n=p+q,則aman=apaq

等比數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3an=am+(n-m)d若n+m=p+q則am+an=ap+aq若n+m=s+t則an·am=as·at,項數(shù)成等差，數(shù)列成等差

項數(shù)成等差數(shù)列成等比對比記憶等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3an=am+(n-m)d若數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義式公差（比）定義變形

通項公式

一般形式

an+1-an=dd叫公差q叫公比

an+1=an+d

an+1=anq

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1

an=am+(n-m)d

an=amqn-m比較：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義式公差（比）定義變形

通項公式

一等差數(shù)列等比數(shù)列定義

通項公式中項公式主要性質(zhì)SnSn=？an－an-1=d(d為常數(shù)，n≥2)(q為常數(shù)n≥2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1·qn-1(q≠0)an=am·qn-mA=G=若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaq知識回顧等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式中項公式主要性質(zhì)SnS2.3.2等比數(shù)列的前n項和（1）2.3.2等比數(shù)列的前n項和（1）印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者西薩，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放1顆麥粒，在第2個格子里放2顆麥粒，在第3個格子里放4顆麥粒，在第4個格子里放8顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里麥粒數(shù)的2倍，直到第64個子，請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求?！蹦阏J為國王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎？因為棋盤共有64格,所以各格中的麥子數(shù)組成了一個64項的等比數(shù)列:問題情境印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者西薩，問他有什么要求，發(fā)明者說……①

把上式左右兩邊同乘以2得：……②由②-①得：錯位相減說明：超過了1.84,假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。全球年小麥產(chǎn)量達6億噸

我國2010小麥產(chǎn)量達1.15億噸

，糧食總產(chǎn)量5.5億噸問題情境……①把上式左右兩邊同乘以2得：……②由②-①得：錯位由此對于一般的等比數(shù)列，其前項和，如何化簡？當時，等比數(shù)列的前項和等于多少？

①②①－②得

錯位相減法由此對于一般的等比數(shù)列，其前項和，如何化簡？當當時，此等比數(shù)列為常數(shù)列：，，，，….此時等比數(shù)列的前項和公式：（共n個）

等比數(shù)列求和公式當時，此等比數(shù)列為常數(shù)列：，，，，….此時等判斷正誤：

求和公式的運用判斷正誤：求和公式的運用說明：２.１.例1

求和公式的運用說明：２.１.例1求和公式的運用例1

例2

求和公式的運用例1例2求和公式的運用

求和公式的運用求和公式的運用1.根據(jù)下列各題中的條件,求出相應等比數(shù)列的前n項和

2.等比數(shù)列{an}中,a1=3,an=96,sn=189,求n的值3.“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”1.根據(jù)下列各題中的條件,求出相應2.等比數(shù)列{an}中,a3：遠望巍巍塔七層，分析：這首古詩前三句給大家展現(xiàn)了一幅美麗的夜景，最后一句把它變成了一個數(shù)學問題？你能用今天的知識求出這首古詩的答案嗎？

紅光點點倍加增，其燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？這首古詩的答案是什么？？解：設尖頭有燈a1盞，則由題意得：S7=解得

a1

=3，故尖頭有燈3盞

數(shù)學建模：已知等比數(shù)列,n=7,公比q=2,S7=381,3：遠望巍巍塔七層，分析：這首古詩前三句給大家展現(xiàn)了一幅

本節(jié)課主要學習了等比數(shù)列的前n項和公式及其簡單應用.1、知識小結(jié)

由特殊到一般、錯位相減法、分類討論思想、方程思想等2、思想方法小結(jié)課堂小結(jié)本節(jié)課主要學習了等比數(shù)列的前n項和公式1、知（2）、練習3：已知等差數(shù)列（1）、求的通項公式；（2）、令，求數(shù)列的前n項和（2）、練習3：已知等差數(shù)列再見！再見！變式練習：例1變式練習：例11.定義2.公比(差)3.等比(差)中項4.通項公式5.性質(zhì)(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中項等差中項等差數(shù)列(AP)等比數(shù)列(GP)1.定義2.公比(差)3.等比(差)4.通項公式5.性質(zhì)q不（一）知識回顧：

2.通項公式：

3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

②在等比數(shù)列{}中，若則()

①成等比數(shù)列

(G,a,b≠0)1.等比數(shù)列的定義：

（常數(shù)）

（）知識回顧（一）知識回顧：2.通項公式：3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：作業(yè)作業(yè)9．課后作業(yè)，分層練習出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，為學有余力的學生提供思考的空間．必做：P192練習3：1，2，3，5·選作：設計意圖：（2）“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這個問題的答案是多少？9．課后作業(yè)，分層練習①②①②鞏固練習：（1）已知a1=-4,q=2,求S10

;（2）已知a1=1，ak=243,q=3,求Sk

.鞏固練習：練習1：求相應的等比數(shù)列的前n項和練習1：求相應的等比數(shù)列的前n項和練習2、等比數(shù)列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值解：由得：q=2所以：注：在a1,q,n,an,sn中，知三求二練習2、等比數(shù)列{an}中，a1=3,an=96,解：由得：2.在等比數(shù)列數(shù)列中2.在等比數(shù)列數(shù)列中（四）基礎演練，提高認識

牛刀小試：

（四）基礎演練，提高認識牛刀小試：印度還有一古老傳說：在世界中心貝拿勒斯(在印度北部)的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。

印度還有一古老傳說：在世界中心貝拿勒斯(在印不管這個傳說是否可信，如果考慮一下把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序，一共需要移動多少次，那么，不難發(fā)現(xiàn)，不管把哪一片移到另一根針上，移動的次數(shù)都要比移動上面一片增加一倍。這樣，移動第1片只需1次，第2片則需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次數(shù)為：18446744073709551615次這和“麥粒問題”的計算結(jié)果是完全相同的!假如每秒鐘移動一次，共需要多長時間呢?一年大約有31556926秒，計算表明，移完這些金片需要5800多億年!

不管這個傳說是否可信，如果考慮一下把64片課堂小結(jié)由Sn.an,q,a1,n知三而可求二.了解等比數(shù)列的推導過程(錯位相減)并能應用.課堂小結(jié)由Sn.an,q,a1,n知三而月日等比數(shù)列概念及性質(zhì)課件等比數(shù)列的求和公式1121312111--++++=nnnqaqaqaqaqaaSK錯位相減已知：等比數(shù)列{}，公比為，

，如何用

來表示

當時當時等比數(shù)列的求和公式1121312111--++++=nnnq（六）循序漸進、延伸拓展該題有助于培養(yǎng)學生對含有參數(shù)的問題進行分類討論的數(shù)學思想．訓練學生注意考察q是否為1的情況，突破易錯點。（六）循序漸進、延伸拓展該題有助于培養(yǎng)學生對含有參數(shù)的問題進設計意圖：含參問題分類討論逐層深化發(fā)展思維突破難點提高素養(yǎng)設計意圖：含參問題分類討論設計意圖：含參問題分類討論逐層深化發(fā)展思維突破難點提高素養(yǎng)設計意圖：含參問題分類討論（七）歸納總結(jié)、內(nèi)化知識

等比數(shù)列前n項和求和公式。推導數(shù)列求和公式的錯位相減法、提取q法、和比定理法。對含字母的等比數(shù)列要注意考察q是否為1。（七）歸納總結(jié)、內(nèi)化知識等比數(shù)列前n項和求和公式。作業(yè)布置：必做：P50練習A1、2選做：必做題，有助學生課后鞏固提高，選作題是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間．作業(yè)布置：必做：P50練習A1、2必做題，有助學生課后傳說

古印度國王錫拉要獎勵國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在第一個格子里放上1粒麥子在第二個格子里放上2粒麥子，在第三個格子里放上4粒麥子，在第四個格子里放上8粒麥子，依此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求”。國王覺得太容易了，就同意了他的要求.因為棋盤共有64格,所以各格中的麥子數(shù)組成了一個64項的等比數(shù)列我國2002糧食產(chǎn)量達4.56億噸

傳說古印度國王錫拉要獎勵國際象棋的發(fā)明者，傳說在古代印度，國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，在第4個格子里放上8顆麥粒，依此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求”。國王覺得并不難，就欣然同意了他的要求。你認為國王有能力滿足發(fā)明者的要求嗎？棋盤與麥粒傳說在古代印度，國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,分析：由于每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，且共有64個格子，各個格子里的麥粒數(shù)依次是于是發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)就是說明：超過了1.84,假定千粒麥子的質(zhì)量為10g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。所以國王是不可能同意發(fā)明者的要求。全球年小麥產(chǎn)量達6億噸

分析：由于每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢？第第第第第

一二三四……64

格格格格格

=18446744073709551615(粒)人們估計，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!假定千粒麥子的質(zhì)量為10g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

兩式相減有(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn=……….Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a

S64=1+2+22+23+···+263

①2S64=2+22+23+···+263+264②錯位相減法反思：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2？兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項，得到．S64=1+2+22+23+···+2633．類比聯(lián)想，解決問題問題：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成功和愉快．設計意圖：3．類比聯(lián)想，解決問題問題：由剛才的例子可知：實際上就是一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列的前64項的求和問題，即：

……

①

把上式左右兩邊同乘以2

得：……②16+由②-①得：由剛才的例子可知：實際上就是一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)提取公比法提取公比法用和比定理推導因為所以和比定理法等比數(shù)列前n項和為公比為q用和比定理推導因為所以和比定理法等比數(shù)列前n項和為等比數(shù)列的求和公式一般地，設有等比數(shù)列：1121312111--++++=nnnqaqaqaqaqaaSK錯位相減等比數(shù)列的求和公式一般地，設有等比數(shù)列：1121312111等比數(shù)列的前n項和等比數(shù)列的前n項和目的要求1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式,2.掌握前n項和公式的推導方法.3.對前n項和公式能進行簡單應用.目的要求1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式,重點難點重點

:等比數(shù)列前n項和公式的推導與應用.難點

:前n項和公式的推導思路的尋找.重點難點重點:等比數(shù)列前n項和公式的推復習1.等比數(shù)列的定義這些你都記得嗎?復習1.等比數(shù)列的定義這些你都記得嗎?等比數(shù)列前n項和公式的推導(一)用等比定理推導當q=1時Sn=na1因為所以或等比數(shù)列前n項和公式的推導(一)用等比定理推導當q=(二)從基本問題出發(fā)公式Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an

=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)(二)從基本問題出發(fā)

(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開有Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1(*)

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

(**

)兩式相減有

(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn

=……….(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開有Sn=a1+a1q小結(jié)

上述幾種求和的推導方式中第一種依賴的是定義特征及等比性質(zhì)進行推導,第二種則是借助的和式的代數(shù)特征進行恒等變形而得,而第三種方法我們稱之為錯位相減法.

由Sn.an,q,a1,n

知三而可求二

.小結(jié)上述幾種求和的推導方式中例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8,…的前n項和

分析:拆項后構(gòu)成兩個等比數(shù)列的和的問題,這樣問題就變得容易解決了.例2.求和例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8課堂作業(yè)Goodbay…P133-習題3.51.2.3.4.5.6.P141-復習參考題

14.P142-7.課堂作業(yè)Goodbay…P133-習題3.5(一)用等比定理推導當q=1時Sn=na1因為所以(一)用等比定理推導當q=1時Sn=na1由此得由此得由此得由此得月日等比數(shù)列概念及性質(zhì)課件例2.某商場第一年銷售計算機5000臺,如果平均每年的銷售量比上一年增加10%,那么從第一年起,約幾年內(nèi)可使總銷售量達到30000臺(保留到各位)?答:約5年內(nèi)可以使總銷售量達到30000臺.例2.某商場第一年銷售計算機5000臺,如果平均每年的銷售量小結(jié)(q=1).(q≠1).1.已知則(q=1).(q≠1).已知則2.對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況。小結(jié)(q=1).(q≠1).1.已知則(q=1)郊尾中學——許建仙等比數(shù)列的前n項和郊尾中學——許建仙等比數(shù)列的前n項和（一）知識回顧：

2.通項公式：

3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

②在等比數(shù)列{}中，若則()

①成等比數(shù)列

(G,a,b≠0)1.等比數(shù)列的定義：

（常數(shù)）

（）（一）知識回顧：2.通項公式：3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：傳說古代印度有一個國王喜愛象棋，中國智者云游到此，國王得知智者棋藝高超，于是派人請來智者與其對弈，并傲慢地說：“如果你贏了，我將答應你的任何要求?！敝钦咝南耄何覒撝我恢螄醯陌谅?，當國王輸棋后，智者說：“陛下只須派人用麥粒填滿棋盤上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒……，以后每格是前一格粒數(shù)的2倍。”國王說：“這太簡單了。”吩咐手下馬上去辦。過了好多天，手下驚慌地報告國王：“不好了……”。你猜怎么啦？原來經(jīng)計算，印度近幾十年生產(chǎn)的所有麥子加起來還不夠。傳說古代印度有一個國王喜愛象棋，中國智者云游到此，國王得知智由剛才的例子可知：實際上就是一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列的前64項的求和問題，即：

……

①

把上式左右兩邊同乘以2

得：……②16+由②-①得：由剛才的例子可知：實際上就是一個以