計量經(jīng)濟(jì)學(xué)課件1第2章2回歸模型其他

§3.5

回歸模型的其他函數(shù)形式一、模型的類型與變換二、非線性回歸實(shí)例在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillips

cuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸的方法進(jìn)行計量經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的處理。一、模型的類型與變換1、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線s

=

a

+

b

r

+

c

r2

c<0s：稅收；

r：稅率設(shè)X1

=r，X2

=r2，則原方程變換為s

=

a

+

b

X1

+

c

X2

c<02、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù)Q

=

AKaLbQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動方程兩邊取對數(shù)：ln

Q

=

ln

A

+

a

ln

K

+

b

ln

L3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法

P75mr

e1

2-rQ

=

A(d

K

-r

+

d

L

)1

2(d

+d

=1)例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)-

1Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動投入r：替代參數(shù)，d1、d2：分配參數(shù)方程兩邊取對數(shù)后，得到：LnQ

=

LnA

-

1

Ln(d

K

-r

+

d

L-r

)

+

mr

1

2將式中l(wèi)n(d1K-r

+d2L-r)在r=0處展開臺勞級數(shù),取關(guān)于r的線性項(xiàng)，即得到一個線性近似式。如取0階、1階、2階項(xiàng)，可得1

21

221

L

K

2ln

Y

=

ln

A

+

d

m

ln

K

+

d

m

ln

L

-

r

md

d

ln并非所有的函數(shù)形式都可以線性化無法線性化模型的一般形式為:Y

=

f

(

X

1

,

X

2

,,

X

k

)

+

m其中，f(x1,x2,…,Xk)為非線性函數(shù)。如：Q

=

AKa

Lb

+

m二、非線性回歸實(shí)例例

建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。根據(jù)需求理論，居民對食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為Q

=

f

(

X

,

P1

,

P0

)Q:居民對食品的需求量，X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額

P1：食品價格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價格總指數(shù)。零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變Q

=

f

(

X

/

P0

,

P1

/

P0

)(*)(**)為了進(jìn)行比較，將同時估計（*）式與（**）式。根據(jù)恩格爾定律，居民對食品的消費(fèi)支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關(guān)系:首先,確定具體的函數(shù)形式31

21

0b

b

bQ

=

AX

P

P對數(shù)變換:ln(Q)

=

b0

+

b1

ln

X

+

b2

ln

P1

+

b3

ln

P0

+

m考慮到零階齊次性時ln(Q)

=

b0

+

b1

ln(

X

/

P0

)

+

b2

ln(P1

/

P0

)

+

m(***)(****)(****)式也可看成是對（***）式施加如下約束而得b1

+

b2

+

b3

=

0因此，對（****）式進(jìn)行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。表3.5.1中國城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出（元）及價格指數(shù)X(當(dāng)年價)X1(當(dāng)年價)GP(上年=100)FP(上年=100)XC(1990年價)Q(1990年價)P0(1990=100)P1(1990=100)1981456.8420.4102.5102.7646.1318.370.7132.11982471.0432.1102.0102.1659.1325.071.5132.91983505.9464.0102.0103.7672.2337.075.3137.71984559.4514.3102.7104.0690.4350.581.0146.71985673.2351.4111.9116.5772.6408.487.186.11986799.0418.9107.0107.2826.6437.896.795.71987884.4472.9108.8112.0899.4490.398.396.519881104.0567.0120.7125.21085.5613.8101.792.419891211.0660.0116.3114.41262.5702.295.994.019901278.9693.8101.398.81278.9693.8100.0100.019911453.8782.5105.1105.41344.1731.3108.2107.019921671.7884.8108.6110.71459.7809.5114.5109.319932110.81058.2116.1116.51694.7943.1124.6112.219942851.31422.5125.0134.22118.41265.6134.6112.419953537.61766.0116.8123.62474.31564.3143.0112.919963919.51904.7108.8107.92692.01687.9145.6112.819974185.61942.6103.1100.12775.51689.6150.8115.019984331.61926.999.496.92758.91637.2157.0117.719994615.91932.198.795.72723.01566.8169.5123.320004998.01958.3100.897.62744.81529.2182.1128.120015309.02014.0100.7100.72764.01539.9192.1130.8X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價）Q：人均食品消費(fèi)（90年價）P0：居民消費(fèi)價格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費(fèi)價格縮減指數(shù)（1990=1002004006008001000120014001600180082

84

86

88

90

92

94

96

98

00Q中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)特征：消費(fèi)行為在

1981~1995年間表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性1995年之后呈現(xiàn)出

另外一種變動特征。建立1981~1994年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費(fèi)需求模型:ln(Q?)

=

3.63

+1.05

ln(

X

)

-

0.08

ln(P1

)

-

0.92

ln(P0

)(9.03)

(25.35) (-2.28) (-7.34)按零階齊次性表達(dá)式回歸:ln(Q?)

=

3.83

+1.07

ln(

X

/

P0

)

-

0.09

ln(P1

/

P0

)（75.86）(52.66) (-3.62)為了比較，改寫該式為：ln

Q?

=

3.83

+1.07(ln

X

-

ln

P0

)

-

0.09(ln

P1

-

ln

P0

)=

3.83

+1.07

ln

X

-

0.09

ln

P1

-

0.98

ln

P0發(fā)現(xiàn)與ln(Q?)

=

3.63

+1.05

ln(

X

)

-

0.08

ln(P1

)

-

0.92

ln(P0

)接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征從上述結(jié)果可以看出，產(chǎn)出的資本彈性是0.23，產(chǎn)出的勞動彈性為0.81。例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是一個生產(chǎn)過程中的投入及其產(chǎn)出之間的一種關(guān)系。著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（C-D函數(shù)）為Q

=

AK

a

Lbn用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國1899-1922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性變換的模型logY

=

log

A

+a

log

K

+

b

log

L

+

logu得到如下結(jié)果（括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：+

0.81log

L

R

2

=

0.96(0.15)0.23log

K(0.06)logY?

=

-0.18

+(0.43)例3．貨幣需求量與利率之間的關(guān)系M

=a(r-2)b這里，變量非線性和參數(shù)非線性并存。對此方程采用對數(shù)變換logM=loga+blog(r-2)令Y=logM,X=log(r-2),β1=loga,

β2=b則變換后的模型為：Yt=β1+β2Xt

+

utMr=2r