2022-2023學(xué)年吉林省長春市汽開區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.要使二次根式有意義，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

2.為了落實(shí)“雙減”政策，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某?；@球興趣小組開展投籃活動，六名選手投中籃備的個數(shù)分別為，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()

A.B.C.D.

3.下列圖形中，可以表示是的函數(shù)的是()

A.B.C.D.

4.如圖，在中，平分交于點(diǎn)，，，則的長度為()

A.B.C.D.

5.如圖，兩條寬為的紙帶交叉疊放，則重疊部分的面積()

A.有最小值

B.有最大值

C.有最小值

D.有最大值

6.爺爺飯后出去散步，從家里出發(fā)分鐘后到一個離家米的街心花園，與朋友聊天分鐘后，用分鐘返回家里下面圖形中表示爺爺離家的距離米與離家時間分之間函數(shù)關(guān)系的是()

A.B.

C.D.

7.如圖，在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，，垂足為，且若，則的長為()

A.

B.

C.

D.

8.如圖，函數(shù)和的圖象分別是和設(shè)點(diǎn)在上，軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，則的面積為()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

9.計(jì)算：______．

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第四象限，則的取值范圍是______．

11.如圖是甲、乙兩名同學(xué)的次射擊訓(xùn)練成績的折線統(tǒng)計(jì)圖，他們的平均成績相同，若要從這兩位同學(xué)中選一名成績較為穩(wěn)定的同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動會的射擊項(xiàng)目，則應(yīng)選______．

12.如圖，菱形的周長為，對角線和相交于點(diǎn)若：：，則菱形的面積為______．

13.如圖，四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，是等邊三角形，則的面積為______．

14.如圖，已知，，直線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，若為等腰三角形，則的值為______．

三、解答題（本大題共10小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.本小題分

計(jì)算：

；

．

16.本小題分

如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．

17.本小題分

圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫畫法．

在圖中，點(diǎn)、均在格點(diǎn)上，畫出一個直角三角形，要求、兩邊均是無理數(shù)．

在圖中畫出一個面積為的正方形．

18.本小題分

已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．

根據(jù)圖象直接寫出使得時的取值范圍．

19.本小題分

如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

求證：四邊形是菱形．

若，，求的長．

20.本小題分

某教育局為了解初中畢業(yè)年級學(xué)生的體質(zhì)情況，從某校九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)監(jiān)測根據(jù)中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn)：分及以上為優(yōu)秀；分分為良好；分分為及格；分以下為不及格，將測試成績制成如下圖表．

各等級學(xué)生頻率分布表

成績頻數(shù)頻率

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

表格中的______，______．

已知“分分”這組的數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，，，，，，則所抽取的這些學(xué)生體質(zhì)監(jiān)測成績的中位數(shù)是______．

求參加本次體質(zhì)監(jiān)測的學(xué)生的平均成績．

請估計(jì)該校九年級體質(zhì)監(jiān)測成績未達(dá)到“良好”等級及以上的學(xué)生人數(shù)．

21.本小題分

甲騎自行車勻速由地駛向地執(zhí)行任務(wù)，乙騎摩托車勻速由地駛向地取文件后立即按原速原路返回取文件的時間忽略不計(jì)，甲、乙行駛過程中離地的距離與甲行駛時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象回答下列問題：

甲、乙兩人中，______填“甲”或“乙”出發(fā)時間早，早______小時．

求乙從地駛向地時與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

乙從地返回地時，請先畫出其函數(shù)圖象并求乙與甲相遇時的值．

22.本小題分

綜合與實(shí)踐

【操作感知】如圖，在矩形紙片的邊上取一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部點(diǎn)處，把紙片展平，連結(jié)、，則的大小為______度

【遷移探究】如圖，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片按照【操作感知】進(jìn)行折疊，并延長交于點(diǎn)，連結(jié)．

判斷與的關(guān)系并證明．

若正方形的邊長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的長為______．

23.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸上，函數(shù)的圖象與邊相交于點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)重合，與邊相交于點(diǎn)．

如圖，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，為中點(diǎn)，求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)．

如圖，連結(jié)，過點(diǎn)作，垂足為若，時，設(shè)長為，長為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

24.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，若、為某個矩形的兩個頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)、的“相關(guān)矩形”，如圖為點(diǎn)、的“相關(guān)矩形”示意圖若點(diǎn)，點(diǎn)．

當(dāng)時，在圖中畫出點(diǎn)、的“相關(guān)矩形”并求它的周長．

若點(diǎn)、的“相關(guān)矩形”為正方形，求的值．

已知一次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若在線段上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)、的“相關(guān)矩形”是正方形．

點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

直接寫出的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：二次根式有意義，

，

解得：，

故選：．

利用當(dāng)二次根式有意義時，被開方式為非負(fù)數(shù)，得到有關(guān)的一元一次不等式，解之即可得到本題答案．

本題考查了二次根式有意義的條件，此類考題相對比較簡單，但從近幾年的中考看，幾乎是一個必考點(diǎn)．

2.【答案】

【解析】解：，，，，，，這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，

故選：．

根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)進(jìn)行求解即可．

本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，熟知眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：由函數(shù)的定義，可知選項(xiàng)中，對于自變量的每一個值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)，符合函數(shù)定義，

故選：．

根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量的每一個值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)，結(jié)合函數(shù)圖象即可解答．

本題考查函數(shù)的定義，理解函數(shù)的定義，再結(jié)合函數(shù)圖象解題是關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，，

，

平分交于點(diǎn)，

，

，

，

，

故選：．

由四邊形是平行四邊形，得，，，所以，而，則，所以，則，于是得到問題的答案．

此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

根據(jù)題意得：，，，

四邊形是平行四邊形，

，

，

在與中，

，

≌，

，

四邊形是菱形，

，

，

當(dāng)時，重疊部分的面積有最小值是，

故選：．

首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由題意可得四邊形是平行四邊形，繼而判定四邊形是菱形，則可求得答案．

此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：依題意，分鐘散步，離家路程增加到米，

分鐘朋友聊天，離家路程不變，

分鐘返回家，離家路程減少為米．

故選：．

爺爺散步的時間段看，分為分鐘散步，分鐘朋友聊天，分鐘返回家，按時間段把函數(shù)圖象分為三段．

此題主要考查利用函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題．正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．

7.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，，

．

，

在中，，

，

，

，

故選：．

由矩形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求的長，即可求解．

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，由勾股定理求出的長是解決問題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：如圖，延長、分別交軸，軸于點(diǎn)、，連接、，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

，

點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

即，

，

，

故選：．

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含有的代數(shù)式表示、，再利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用含有的代數(shù)式表示出、是解決問題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：原式

，

故答案為：．

根據(jù)二次根式的乘法，先把被開方數(shù)相乘，再進(jìn)行二次根式的化簡．

本題考查了二次根式的乘除法，是基礎(chǔ)知識比較簡單，要識記．

10.【答案】

【解析】解：點(diǎn)在第四象限，

，

解得：，

故答案為：．

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了解一元一次不等式，點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中每一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】乙

【解析】解：由圖象看作，乙的波動比甲小，即乙的方差小于甲．

所以乙的成績比甲穩(wěn)定，

所以若要從這兩位同學(xué)中選一名成績較為穩(wěn)定的同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動會的射擊項(xiàng)目，則應(yīng)選乙．

故答案為：乙．

根據(jù)圖形波動的大小可直接得出答案．

本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．

12.【答案】

【解析】解：四邊形是菱形，

，，

，，

：：；

菱形的周長為，

，

：：，

，，

，，

菱形的面積，

故答案為：．

由菱形的性質(zhì)可知：對角線互相平分且垂直又因?yàn)椋海海裕海海俑鶕?jù)菱形的面積為兩對角線乘積的一半計(jì)算即可．

本題考查了菱形性質(zhì)和勾股定理，注意：菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四條邊相等和菱形的面積為兩對角線乘積的一半．

13.【答案】

【解析】解：是等邊三角形，

點(diǎn)在的垂直平分線上，

點(diǎn)到的距離為，

，

，

，

的面積為，

故答案為：．

的面積為，根據(jù)題意分別求出這三個三角形的面積即可解答．

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形的面積，找出三角形面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：作于，軸于，

，，

軸，，

為等腰三角形，

，

，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

代入得，，

解得，

故答案為：．

作于，軸于，由等腰三角形的性質(zhì)即可求得的縱坐標(biāo)，然后通過證得≌求得，得到，代入解析式即可求得的值．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】解：原式；

原式

．

【解析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；

直接利用二次根式的性質(zhì)以及分母有理化分別計(jì)算，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．

16.【答案】證明：在中，，，

、分別是、的中點(diǎn)，

，，

四邊形是平行四邊形．

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，即可得出四邊形是平行四邊形．

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：如下圖：

如圖，，即為所求；

如圖，正方形即為所．

【解析】根據(jù)勾股定理的性質(zhì)和直角三角形的判定定理作圖；

根據(jù)勾股定理的性質(zhì)及正方形的面積公式作圖．

本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握勾股定理、直角三角形的判定定理和正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】將點(diǎn)代入，

解得：．

反比例函數(shù)解析式為．

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

點(diǎn)坐標(biāo)．

把，代入得：

，

解得：，

一次函數(shù)的解析式為；

由圖象可知時，或．

【解析】根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．

觀察圖象時，的圖象在的下面，由此即可寫出的取值范圍．

本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，學(xué)會待定系數(shù)法是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會觀察圖象由函數(shù)值的大小確定自變量的取值范圍，屬于中考?？碱}型．

19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，

，

，

四邊形為平行四邊形，

平分，

，

，

，

，

，

四邊形是菱形；

解：四邊形為菱形，

，，，

在中，由勾股定理得：，

，

，

．

【解析】證四邊形為平行四邊形，再證，則，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理得，然后由三角形面積即可得出結(jié)論．

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】

【解析】解：抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，

，

．

故答案為：，；

將九年級學(xué)生測試成績?yōu)椤胺址帧边@組的數(shù)據(jù)重新排列為，，，，，，，，，，，，

不及格和及格段的學(xué)生一共有人，優(yōu)秀的學(xué)生有人，

所抽取的名學(xué)生測試成績中間的兩個數(shù)分別是是分和分，

所抽取的名學(xué)生測試成績的中位數(shù)應(yīng)該是分，

故答案為：；

．

答：參加本次體質(zhì)監(jiān)測的學(xué)生的平均成績?yōu)椋?/p>

人．

答：該校九年級體質(zhì)監(jiān)測成績未達(dá)到“良好”等級及以上的學(xué)生人數(shù)約為人．

根據(jù)不及格的人數(shù)及其對應(yīng)頻率可得抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)，根據(jù)各組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)可得的值，根據(jù)各組頻率之和等于可得的值；

根據(jù)中位數(shù)的意義進(jìn)行解答即可；

根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可；

用樣本中成績?yōu)槲催_(dá)到“良好”等級及以上的學(xué)生數(shù)除以即可．

本題考查統(tǒng)計(jì)表的意義和表示數(shù)據(jù)的特征，理解平均數(shù)、中位數(shù)的意義是正確解答的前提，用到樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)中常用的方法．

21.【答案】甲

【解析】解：由圖象可知，甲、乙兩人中甲出發(fā)時間早，早小時，

故答案為：甲，；

設(shè)乙從地駛向地時與之間的函數(shù)關(guān)系式為，

將、代入，得

解得

乙從地駛向地時與之間的函數(shù)關(guān)系式為；

畫出函數(shù)圖象如圖：

甲從地駛向地時的速度為，

，

解得．

答：乙從地返回地時，與甲相遇時的值為．

由圖象直接得出結(jié)論；

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

根據(jù)相遇時兩人的路程之和為列出方程，解方程即可．

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意明確圖象中得信息是解題關(guān)鍵．

22.【答案】

【解析】解：【操作感知】：由折疊知，，，，

，

，

，

，

故答案為：；

【遷移探究】判斷：≌，

證明：正方形紙片按照【操作感知】進(jìn)行折疊，

，

在和中，

，

≌，

即≌；

設(shè)的長為，

正方形的邊長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，

，，，

在中，，

即，

解得，

故答案為：．

操作感知：根據(jù)折疊求出，即可得出結(jié)論；

遷移探究：根據(jù)證≌即可；

設(shè)的長為，則，，利用勾股定理求出的值即可