網(wǎng)絡(luò)圖論與狀態(tài)方程課件

12網(wǎng)絡(luò)圖論與狀態(tài)方程王超112網(wǎng)絡(luò)圖論與狀態(tài)方程

本章知識(shí)要點(diǎn)：※連通圖與割集※關(guān)聯(lián)矩陣A與基爾霍夫定律※回路矩陣B與基爾霍夫定律※割集矩陣Q與基爾霍夫定律※節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式※回路電流方程的矩陣形式※割集電壓方程的矩陣形式※狀態(tài)方程2本章知識(shí)要點(diǎn)：212.1.1圖、邊和頂點(diǎn)1.邊如圖12-1所示的幾何圖形中，每一直線段或曲線段都叫作邊，在電路中則稱為支路。12.1連通圖與割集圖12-1電路的圖2.頂點(diǎn)線段的端點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，在電路中稱為節(jié)點(diǎn)

3.圖圖便是邊和頂點(diǎn)的集合。312.1.1圖、邊和頂點(diǎn)1.邊12.1連通圖與割集圖112.1.2子圖設(shè)有圖G，另有圖Gi，且Gi是由G的一些節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)與支路組成的，則稱Gi為G的子圖。

圖12-2電路圖12-1的子圖412.1.2子圖設(shè)有圖G，另有圖Gi，且Gi是由G12.1.3連通圖如果一個(gè)圖的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在由一條或若干條支路構(gòu)成的路徑，則稱此圖為連通圖。僅含有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖也稱為連通圖。

在每條支路上均標(biāo)注了支路電流參考方向的圖，稱為有向圖。12.1.4有向圖512.1.3連通圖如果一個(gè)圖的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存12.1.5樹1.樹包含全部節(jié)點(diǎn)，但不包含回路的連通子圖，稱為樹。

2.樹支構(gòu)成樹的支路，稱為樹支。3.連支屬于連通圖但不屬于樹的支路，稱為連支。

612.1.5樹1.樹2.樹支3.連支61.割集的概念

割集是連通圖一部分特殊支路的集合，它們滿足如下兩個(gè)條件：（1）如果把這些支路全部移去，剩下的圖將成為幾個(gè)分離的部分；（2）如果留下其中任意一條支路，剩下的圖仍然是連同的。12.1.6割集及其方向2.基本割集

在一個(gè)連通圖上選定一顆樹后，n-1個(gè)單樹支割集稱為基本割集。3.割集的方向

對(duì)單樹支割集而言，其方向與它所含樹支電流的方向一致。

71.割集的概念12.1.6割集及其方向2.基本1.有向圖的矩陣表示用一種特有的矩陣來表示電路的有向圖的特征，以便對(duì)電路的聯(lián)結(jié)特點(diǎn)有進(jìn)一步的了解，稱為有向圖的矩陣表示。12.2關(guān)聯(lián)矩陣A與基爾霍夫定律表征支路與節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的矩陣，稱為關(guān)聯(lián)矩陣A表征支路與回路之間關(guān)系的矩陣，稱為回路矩陣B表征支路與割集之間關(guān)系的矩陣，稱為割集矩陣Q81.有向圖的矩陣表示12.2關(guān)聯(lián)矩陣A與基爾霍夫定律1.定義

對(duì)于一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的有向圖，定義一個(gè)n行b列的nxb階矩陣Aa，稱為關(guān)聯(lián)矩陣，來表征支路和節(jié)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)關(guān)系。矩陣Aa中的元素ajk（j指節(jié)點(diǎn)號(hào)，k指支路號(hào)）按下述要求規(guī)定：

12.2.1關(guān)聯(lián)矩陣A的定義

（1）ajk=+1，表示支路k與節(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，且支路k的電流參考方向是從節(jié)點(diǎn)j流出；

（2）ajk=-1，表示支路k與節(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，且支路k的電流參考方向是從節(jié)點(diǎn)j流入；（3）ajk=0，表示支路k與節(jié)點(diǎn)j無關(guān)聯(lián)。91.定義12.2.1關(guān)聯(lián)矩陣A的定義（1圖12-3有向圖節(jié)點(diǎn)k支路s123456123410圖12-3有向圖節(jié)點(diǎn)k支路s1212.2.2關(guān)聯(lián)矩陣A表示的基爾霍夫定律對(duì)圖12-2-1設(shè)，即為支路電流列向量。可得基爾霍夫電流定律的矩陣表達(dá)式：1112.2.2關(guān)聯(lián)矩陣A表示的基爾霍夫定律對(duì)圖12-2-1設(shè)將表達(dá)式展開：顯然，此式代表n個(gè)節(jié)點(diǎn)的kcl方程式組成的線性齊次方程組12將表達(dá)式展開：顯然，此式代表n個(gè)節(jié)點(diǎn)的kcl方程式組成的線性

若把中任一行劃去，剩下（n-1）×b矩陣，則稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣[A]。例如，劃去上式中第四行，即表示以節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則：上式即為支路和節(jié)點(diǎn)的降階關(guān)聯(lián)矩陣13若把中任一行劃去，剩下（n-1）×b矩陣，則稱為降12.3回路矩陣B與基爾霍夫定律12.3.1回路矩陣B的定義回路矩陣B就是回路與支路相關(guān)連的矩陣。它的每行對(duì)應(yīng)一個(gè)回路，每列對(duì)應(yīng)一個(gè)支路。其元素定義如下：表示支路k與回路j相關(guān)連，并表示它們的方向一致；表示支路k與回路j相關(guān)連，并表示它們的方向相反；表示支路k與回路j無關(guān)連。1412.3回路矩陣B與基爾霍夫定律12.3.1回路矩陣B的以圖12－3為例：可得b=6,n=4,獨(dú)立回路數(shù)為3則回路矩陣為：圖12-3有向圖15以圖12－3為例：可得b=6,n=4,獨(dú)立回路數(shù)為3

回路矩陣B與支路電壓列向量的乘積是一個(gè)L階列向量。故有：這就是矩陣形式的基爾霍夫電壓定律12.3.2回路矩陣B表示的基爾霍夫定律16回路矩陣B與支路電壓列向量的乘積是一個(gè)L階列向量。故有表示一個(gè)L階回路電流列向量：支路電流列向量：回路矩陣B表示的基爾霍夫電流定律為：17表示一個(gè)L階回路電流列向量：支路電流列向量：回路矩陣B表示的12.4割集矩陣Q與基爾霍夫定律12.4.1割集矩陣Q的定義

割集與支路關(guān)聯(lián)的情況用矩陣描述，稱為割集矩陣Q，它的每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)割集，每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)支路。

由于割集就是樹支數(shù)，所以割集矩陣是(n-1)×b階矩陣。

Q的元素定義如下：表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且它們的方向一致；表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反；表示支路k與割集j無關(guān)聯(lián)。1812.4割集矩陣Q與基爾霍夫定律12.4.1割集矩陣Q的對(duì)圖12-3，可得割集矩陣為：割集c支路s：123456

12319對(duì)圖12-3，可得割集矩陣為：割集c支路s：112.4.2割集矩陣Q表示的基爾霍夫定律

設(shè)

則有

這就是割集矩陣Q表示的基爾霍夫電流定律2012.4.2割集矩陣Q表示的基爾霍夫定律設(shè)12.5節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式12.5.1矩陣形式節(jié)點(diǎn)方程的推導(dǎo)12-4節(jié)點(diǎn)電壓方程的阻抗形式的標(biāo)準(zhǔn)支路模型2112.5節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式12.5.1矩陣形式節(jié)點(diǎn)方12-5節(jié)點(diǎn)電壓方程的導(dǎo)納形式的標(biāo)準(zhǔn)支路模型2212-5節(jié)點(diǎn)電壓方程的導(dǎo)納形式的標(biāo)準(zhǔn)支路模型22k支路電壓、電流關(guān)系：設(shè)Z=diag[Z1Z2

Zb]Y=diag[Y1Y2

Yb]Z=Y-123k支路電壓、電流關(guān)系：設(shè)Z=diag[Z1Z2Z即支路電壓的矩陣方程為：由k支路電壓、電流關(guān)系：可得：24即支路電壓的矩陣方程為：由k支路電壓、電流關(guān)系：可得：24由矩陣形式的KCL：故：由矩陣形式的KVL：即為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣得節(jié)點(diǎn)電壓方程由下面步驟可求得支路電壓和電流25由矩陣形式的KCL：故：由矩陣形式的KVL：即為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣一般的，寫矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程，可歸結(jié)為以下步驟：1）作有向圖，對(duì)支路和節(jié)點(diǎn)編號(hào)，選參考節(jié)點(diǎn)；

2）寫關(guān)聯(lián)矩陣A；3）寫支路導(dǎo)納矩陣Yb；（注意有耦合和受控源的情況）4）寫節(jié)點(diǎn)電壓方程。

26一般的，寫矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程，可歸結(jié)為以下步驟：1）作有例12.1電路如圖所示，試寫出其矩陣形式的回路電流方程。12-10例12.1的電路圖及有向圖27例12.1電路如圖所示，試寫出其矩陣形式的回路電流方程。1解：選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)矩陣為

：電壓源列向量為：電壓源列向量為：支路導(dǎo)納矩陣為：28解：選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)矩陣為：電壓源列向量為：電節(jié)點(diǎn)電壓方程為

：即

：29節(jié)點(diǎn)電壓方程為：即：2912.6回路電流方程的矩陣形式12.6.1矩陣形式回路方程的推導(dǎo)12-11回路電流方程的標(biāo)準(zhǔn)支路模型3012.6回路電流方程的矩陣形式12.6.1矩陣形式回路方回路電流為支路電流源電流為支路電壓源電壓為設(shè)支路電流為31回路電流為支路電流源電流為支路電壓源電壓為設(shè)支路電流為31對(duì)第k條支路，由KVL有：整個(gè)電路的約束方程用矩陣形式表示為：其中，Z為支路阻抗矩陣根據(jù)支路的約束方程，可以推導(dǎo)回路電流方程的矩陣形式：由KVL有：故有：又有：32對(duì)第k條支路，由KVL有：整個(gè)電路的約束方程用矩陣形式表示為矩陣形式的回路方程為：例12.2電路如圖所示，試寫出其矩陣形式的回路電流方程。12-12例12.2的電路圖及其有向圖33矩陣形式的回路方程為：例12.2電路如圖所示，試寫出其矩陣解：作出有向圖，并選支路1、2、5為樹支，有：34解：作出有向圖，并選支路1、2、5為樹支，有：34把前面各式代入可得回路電流方程的矩陣形式：35把前面各式代入可得回路電流方程的矩陣形式：3512.7割集電壓方程的矩陣形式12.7.1矩陣形式割集電壓方程的推導(dǎo)12-13割集電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)支路模型3612.7割集電壓方程的矩陣形式12.7.1矩陣形式割集電由：得：即：又由：是割集電壓，也就是樹支電壓割集電壓方程的矩陣形式為：對(duì)整個(gè)電路可以列寫矩陣形式的支路約束方程：37由：得：即：又由：是割集電壓，也就是樹支電壓割集電壓方程的矩例12.3電路如圖所示，設(shè)電路的初始狀態(tài)為零。試寫出其矩陣形式的割集電壓方程（用運(yùn)算形式）。12-14例12.3的電路圖及其有向圖解：對(duì)圖12-7所示的電路及其有向圖，選擇支路1、2、3為樹支，則三個(gè)單樹支割集為：38例12.3電路如圖所示，設(shè)電路的初始狀態(tài)為零。試寫出其矩陣12-15樹Q1={1，4，5}，Q2={2，4}，Q3={3，4，5}割集矩陣為：

3912-15樹Q1={1，4，5}，Q2={2，4}，Q3割集電壓方程為：

40割集電壓方程為：4012.8狀態(tài)方程12.8.1基本概念1.狀態(tài)變量選定系統(tǒng)中一組最少數(shù)量的變量X=[x1,x2,…xn]T，如果當(dāng)t=t0時(shí)這組變量X(t0)和t

t0后的輸入e(t)為已知，就可以確定t0及t0以后任何時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)。分析動(dòng)態(tài)過程的獨(dú)立變量。X(t0)e(t)tt0

稱這一組最少數(shù)目的變量為狀態(tài)變量。Y(t)tt04112.8狀態(tài)方程12.8.1基本概念1.狀態(tài)變量2.狀態(tài)方程用狀態(tài)變量和輸入函數(shù)來描述電路的KCL和KVL的一組一階微分方程。

列寫電路的狀態(tài)方程有多種方法，如直觀法、替代法、系統(tǒng)法、直流疊加法和導(dǎo)出法等。這里重點(diǎn)介紹直觀法和替代法。

422.狀態(tài)方程用狀態(tài)變量和輸入函數(shù)來描述電路的KCL設(shè)uC，iL

為狀態(tài)變量，列微分方程：如圖：圖12-943設(shè)uC，iL為狀態(tài)變量，列微分方程：如圖：圖12-前面的狀態(tài)方程可改寫為：特點(diǎn)：（1）方程中的變量由狀態(tài)變量和輸入函數(shù)共同組成；（2）每個(gè)方程中有且只有一個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；（3）方程的個(gè)數(shù)等于電路中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。

矩陣形式：44前面的狀態(tài)方程可改寫為：特點(diǎn)：矩陣形式：44狀態(tài)方程的一般形式：其中：X是狀態(tài)變量，V是輸入函數(shù)。3.歸納幾點(diǎn)（1）狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)系，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)。（2）一般選擇uc和iL為狀態(tài)變量，也常選和q為狀態(tài)變量。（3）狀態(tài)變量的選擇不唯一。45狀態(tài)方程的一般形式：其中：X是狀態(tài)變量，V是輸入函數(shù)。3.12.8.2狀態(tài)方程的列寫1.直觀法：直觀法列寫狀態(tài)方程的步驟

：1)選準(zhǔn)狀態(tài)變量（一般選UC和IL為狀態(tài)變量），列出一系列KCL和KVL方程；

2)將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量替換；

3)將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式：4612.8.2狀態(tài)方程的列寫1.直觀法：直觀法列寫狀態(tài)方