第二章 直角三角形的邊角關(guān)系專題 求銳角三角函數(shù)值的七種常見方法同步練習(xí)（含解析）

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第二章直角三角形的邊角關(guān)系

專題求銳角三角函數(shù)值的七種常見方法

方法1定義法

1.在Rt△ACB中,∠C=則BC的長為()

A.6B.7.5C.8D.12.5

2.中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形(如圖)，并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角,則tanα=()

A.2C.

方法2特殊角法

3.北京冬奧會(huì)開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念.如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形.若點(diǎn)A,F,B,D,C,E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE=____________.

方法3同角或互余角法

4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若則tan∠BCD的值為()

5.(1)已知∠A是銳角,求證:sinA+cosA=1;

(2)已知∠A為銳角,且求∠A的度數(shù).

方法4設(shè)參數(shù)法

6.如圖,在正方形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD邊上,且求∠EAF的正弦值、余弦值.

方法5等角代換法

7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線,過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F.若BC=4,△AEF的面積為5,則sin∠CEF的值為()

方法6折疊法

8.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E為AD邊上一點(diǎn),沿CE將△CDE折疊,使點(diǎn)D

正好落在AB邊上的點(diǎn)F處，求tan∠AFE的值.

方法7網(wǎng)格構(gòu)造直角法

9.如圖,在4×4正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B,C,E為網(wǎng)格交點(diǎn),AD⊥BC,垂足為D,則sin∠BAD的值為()

10.問題呈現(xiàn)

如圖①，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D,N和E,C,DN與EC相交于點(diǎn)P,求tan∠CPN的值.

方法歸納

求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個(gè)直角三角形，觀察發(fā)現(xiàn)，問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比

如連接格點(diǎn)M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連接DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中.

問題解決

(1)圖①中tan∠CPN的值為______________;

(2)如圖②，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P,求cos∠CPN的值.

思維拓展

(3)如圖③,AB⊥BC,AB=4BC,點(diǎn)M在AB上,且AM=BC,延長CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù).

參考答案

練素養(yǎng)

1.A【點(diǎn)撥】∵故選A.

2.A【點(diǎn)撥】由已知可得，大正方形的面積為1×4+1=5.設(shè)直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，則解得或(不合題意，舍去).

【點(diǎn)撥】連接AB、BC、AC、BE.∵點(diǎn)A,F,B,D,C,E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn),∴AB=BC=AC,BE垂直平分AC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=故答案為

4.B【點(diǎn)撥】由勾股定理知,.根據(jù)同角的余角相等,得∠BCD=∠A.∴tan∠BCD=故選B.

5.(1)【證明】設(shè)△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則根據(jù)勾股定理，得a+b=c,

(2)【解】設(shè)sinA=x(x>0),則sinA=x,cosA=1-x.

即4x-4x+1=0.

∴(2x-1)=0.∴2x-1=0,即(負(fù)值已舍去)，即

6.【解】連接EF,設(shè)CF=k.則CD=AD=AB=BC=4k,∴BE=EC=2k,DF=3k.

根據(jù)勾股定理，得∴EF+AE=25k=AF.

∴△AEF是直角三角形,且∠AEF=90°.

點(diǎn)方法當(dāng)出現(xiàn)邊與邊的比時(shí)，可引入?yún)?shù)，用這個(gè)參數(shù)表示三角形三邊長，再用定義求解.

7.A【點(diǎn)撥】連接BF.∵CE是斜邊AB上的中線,EF⊥AB,∴EF是AB的垂直平分線.

∴AF=BF,

在Rt△BCF中.

由題易得又∵∠BCA=90°=∠BEF,∴∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A,∠CEF=90°-∠BEC=90°-2∠A.

8.【解】∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°.

根據(jù)圖形得∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°.

根據(jù)折疊的性質(zhì),知∠EFC=∠D=90°,∴∠AFE+∠BFC=90°.

∵在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.

根據(jù)折疊的性質(zhì),得CF=CD=10.

在Rt△BFC中,BC=8,CF=10,

9.C【點(diǎn)撥】在Rt△BEC中,

∵∠ABD+∠CBE=90°,∴∠BAD=∠CBE,故選C.

10.【解】(1)2

(2)如圖①,取格點(diǎn)B,連接AB,可得AB∥MC,∴∠CPN=∠BAN.

連接BN，易知△ABN為直角三角形.

在Rt△ABN中,.

(3)設(shè)BC的長為單位1，構(gòu)造