復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉5解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)課件

12023/8/7第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級(jí)數(shù)2.解析函數(shù)的洛朗展式3.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系4.解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式5.典型例題第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)12023/8/1第一節(jié)解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級(jí)22023/8/71.雙邊冪級(jí)數(shù)定義稱(chēng)級(jí)數(shù)（1）為雙邊冪級(jí)數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級(jí)數(shù)為雙邊冪級(jí)數(shù)，其中復(fù)常數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分非負(fù)冪項(xiàng)部分主要部分解析部分注:主要部分與解析部分同時(shí)收斂稱(chēng)冪級(jí)數(shù)收斂22023/8/11.雙邊冪級(jí)數(shù)定義稱(chēng)級(jí)數(shù)（1）為雙邊冪32023/8/7若收斂域?yàn)榈氖諗堪霃綖镽,收斂域?yàn)闀r(shí)收斂,兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分H:這時(shí),級(jí)數(shù)(1)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R

收斂于和函數(shù)f(z)=f1(z)+f2(z)32023/8/1若收斂域?yàn)榈氖諗堪霃綖镽,收斂域?yàn)闀r(shí)收斂,42023/8/7定理5.1

設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為

H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞)則(1)級(jí)數(shù)在H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于:

f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H內(nèi)解析.在H內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)p次(p=1,2,…).(4)函數(shù)f(z)可沿H內(nèi)曲線(xiàn)C逐項(xiàng)積分.42023/8/1定理5.1設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)(1)的收斂圓環(huán)52023/8/7

定理5.2(洛朗定理)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊冪級(jí)數(shù)其中(2)2.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式(3)52023/8/1定理5.2(洛朗定理)62023/8/7(2)2.解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式定義5.1

(2)式稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)a處的羅朗展式，(3)稱(chēng)為其羅朗系數(shù)，而(2)右邊的級(jí)數(shù)則稱(chēng)為羅朗級(jí)數(shù)。(3)注:泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。3.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系62023/8/1(2)2.解析函數(shù)的洛朗(Laurent72023/8/7例1

求函數(shù)分別在圓環(huán)及的洛朗級(jí)數(shù)。(1)在圓環(huán)內(nèi)于是有洛朗級(jí)數(shù)解72023/8/1例1求函數(shù)分82023/8/7(2)在圓環(huán)上,,于是有洛朗級(jí)數(shù)解例1

求函數(shù)分別在圓環(huán)及的洛朗級(jí)數(shù)。82023/8/1(2)在圓環(huán)上,92023/8/7例2

求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。例3

求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。例4

求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。92023/8/1例2求函數(shù)102023/8/74.解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式

定義5.2

如果f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)解析，點(diǎn)a是f(z)的奇點(diǎn)，則稱(chēng)為f(z)的孤立奇點(diǎn).

如果a為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-a|<R內(nèi)能展成洛朗級(jí)數(shù)。102023/8/14.解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式112023/8/74.解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式將函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù)的常用方法。1.直接展開(kāi)法:利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出2.間接展開(kāi)法根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).112023/8/14.解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式122023/8/7例1展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).5.典型例題例2

求函數(shù)在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。例3

試問(wèn)函數(shù)能否在內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)？122023/8/1例1展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).5.典型例題例2132023/8/7第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)2.孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)132023/8/1第二節(jié)解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)2.142023/8/71.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)

如a為f(z)的孤立奇點(diǎn),則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù)則稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)a的正則部分,而稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)a的主要部分。142023/8/11.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)如a為152023/8/71.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)定義5.3

設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn).(1)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零,則稱(chēng)a為f(z)的可去奇點(diǎn);(2)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng),設(shè)為則稱(chēng)a為f(z)的m階極點(diǎn)，一階極點(diǎn)也稱(chēng)為簡(jiǎn)單極點(diǎn)；

(3)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分有無(wú)限多項(xiàng),則稱(chēng)a為f(z)的本性奇點(diǎn).152023/8/11.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)定義5.3設(shè)a為f162023/8/7定理5.3

若a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。(2)(1)f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零;(3)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界。2.可去奇點(diǎn)的性質(zhì)162023/8/1定理5.3若a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，172023/8/7證

(1)(2).

由(1)有因此172023/8/1證(1)(2).由(1)有182023/8/7證(2)(3).因(3)(1).因主要部分的系數(shù)其中,可任意小，故182023/8/1證(2)(3).因(3)192023/8/7Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解析,并且滿(mǎn)足條件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤|z|,且有.3.施瓦茨(Schwarz)引理如果上式等號(hào)成立,或在圓|z|<1內(nèi)一點(diǎn)z0≠0處前一式等號(hào)成立,則(當(dāng)且僅當(dāng))其中α為一實(shí)常數(shù).192023/8/1Schwarz引理如果函數(shù)f(z)在202023/8/74.極點(diǎn)的性質(zhì)定理5.4

如果f(z)以a為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征。(1)f(z)在a點(diǎn)的主要部分為(2)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成其中λ(z)

在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且λ(a)≠0以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。注意第(3)條表明：f(z)以點(diǎn)a為m階極點(diǎn)的充要條件是以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。定理5.5

f(z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)202023/8/14.極點(diǎn)的性質(zhì)定理5.4如果f(z)212023/8/7定理5.6

f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn)5.本性奇點(diǎn)的性質(zhì)定理5.7

若z=a為f(z)的本性奇點(diǎn),且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為的本性奇點(diǎn).212023/8/1定理5.6f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇222023/8/7奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)（單值函數(shù)的）（多值函數(shù)的）222023/8/1奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本232023/8/7定理5.8

如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無(wú)窮,都有一個(gè)收斂與a的點(diǎn)列{zn},使得6.Picard(皮卡)定理定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè)A≠∞,除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無(wú)限點(diǎn)列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).232023/8/1定理5.8如果a為f(z)的本性奇點(diǎn)242023/8/7第三節(jié)解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)定義5.4

設(shè)函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(去心)鄰域

N-{∞}：+∞>|z|>r≥0內(nèi)解析,則稱(chēng)點(diǎn)∞為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn).設(shè)點(diǎn)∞為f(z)的孤立奇點(diǎn),利用變換

,于是在去心鄰域:(5.12)內(nèi)解析，則242023/8/1第三節(jié)解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)定義5252023/8/7(1)對(duì)于擴(kuò)充z平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域N-{∞},有擴(kuò)充z/平面上的原點(diǎn)的去心鄰域;(2)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)z與z/上,函數(shù)(3)或兩個(gè)極限都不存在.注：252023/8/1(1)對(duì)于擴(kuò)充z平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域262023/8/7定義5.5

若z/=0為的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則相應(yīng)地稱(chēng)z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).設(shè)在去心鄰域內(nèi)將展成羅朗級(jí)數(shù):262023/8/1定義5.5若z/=0為的可去奇點(diǎn)(解析272023/8/7定理5.3/(對(duì)應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點(diǎn)z=∞為可去奇點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立:(1)f(z)在的主要部分為零;(2)(3)f(z)在的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)有界.272023/8/1定理5.3/(對(duì)應(yīng)于定理5.3)f(z282023/8/7定理5.4/(對(duì)應(yīng)于定理5.4)f(z)的孤立奇點(diǎn)z

=∞為m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分為(2)f(z)在z

=∞的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)能表成(3)g(z)=1/f(z)以z

=∞為m級(jí)零點(diǎn)(只要令g(∞)=0).其中在z

=∞的鄰域N內(nèi)解析,且282023/8/1定理5.4/(對(duì)應(yīng)于定理5.4)f(z)292023/8/7定理5.5’(對(duì)應(yīng)于定理5.5)f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為極點(diǎn)的充要條件是定理5.6’(對(duì)應(yīng)于定理5.6)f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為本性奇點(diǎn)的充要條件是下列任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有無(wú)窮多項(xiàng)正冪不等于零廣義不存在(即當(dāng)z趨向于∞時(shí),f(z)不趨向于任何(有限或無(wú)窮)極限).(2)292023/8/1定理5.5’(對(duì)應(yīng)于定理5.5)f(z302023/8/7第四節(jié)整函數(shù)與亞純函數(shù)1