第3講-激光輸出特性課件

第三講：激光器的輸出特性陳同生生物光子學(xué)研究生院碩士研究生課件：

激光原理與技術(shù)

第三講：激光器的輸出特性陳同生生物光子學(xué)研究生院碩13.1.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式1.惠更斯提出了關(guān)于子波的概念，認(rèn)為波面上每一點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定?？臻g光場(chǎng)是各子波干涉疊加的結(jié)果。

2.惠更斯－菲涅耳原理圖3-1惠更斯-菲涅耳原理設(shè)波陣面上任一源點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅為，則空間任一觀察點(diǎn)P的光場(chǎng)復(fù)振幅由下列積分式計(jì)算：

式中為源點(diǎn)與觀察點(diǎn)之間的距離；為源點(diǎn)處的波面法線與的夾角；

為光波矢的大小，為光波長(zhǎng)；為源點(diǎn)處的面元。

3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論3.1.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式1.惠更斯提出了關(guān)于子波23.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程1.自再現(xiàn)模概念

2.自再現(xiàn)模積分方程圖3-2鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示意圖圖(3-2)所示為一個(gè)圓形鏡的平行平面腔，鏡面和上分別建立了坐標(biāo)軸兩兩相互平行的坐標(biāo)和。利用上式由鏡面上的光場(chǎng)分布可以計(jì)算出鏡上的場(chǎng)分布函數(shù)，即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。

假設(shè)為經(jīng)過(guò)q次渡越后在某一鏡面上所形成的場(chǎng)分布，表示光波經(jīng)過(guò)q+1次渡越后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，則與之間應(yīng)滿足如下的迭代關(guān)系：

考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，應(yīng)能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來(lái)，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：

a)開腔。腔鏡的衍射效應(yīng)導(dǎo)致?lián)p耗。b)自洽（穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布）：反射只改變光強(qiáng)的大小，不改變腔中任何位置光強(qiáng)的空間分布。3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程1.自再現(xiàn)模概念233.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程2.自再現(xiàn)模積分方程綜合上兩式可得：

對(duì)于一般的激光諧振腔來(lái)說(shuō)，腔長(zhǎng)L與反射鏡曲率半徑R通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度a，而a又遠(yuǎn)大于光波長(zhǎng)。對(duì)上式做兩點(diǎn)近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程：其中，稱為積分方程的核。和的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說(shuō)明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。

3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程2.自再現(xiàn)模積分方43.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程3.積分方程解的物理意義(1)本征函數(shù)和激光橫模本征函數(shù)的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫?！?，m、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3為各種橫模光斑。圖3-3橫模光斑示意圖(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移本征值的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗。3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程3.積分方程解的物53.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程3.積分方程解的物理意義(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移損耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān)。自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長(zhǎng)L所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程3.積分方程解的物63.1.3光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模1.諧振條件、駐波和激光縱模(1)光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件(2)每個(gè)q值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波，稱之為：縱模，q為縱模序數(shù)。(3)2.縱模頻率間隔舉例1：10cm腔長(zhǎng)的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模），縱模頻率間隔為1.5*109Hz舉例2：30cm腔長(zhǎng)的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（三種，多縱模）縱模頻率間隔為0.5*109Hz，(1)腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔圖(3-4)腔中允許的縱模數(shù)普通He原子輝光放電中熒光光譜的中心頻率是4.76*1014Hz（6328nm），其線寬為1.5*109Hz。3.1.3光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模1.諧振條件、駐波73.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布1.方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解

(1)設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為2a，共焦腔的腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，光波波長(zhǎng)為λ，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以(x，y)來(lái)表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解

本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的廣場(chǎng)分布3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布1.方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積83.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布2.鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征

(1)振幅分布:令,則有圖(3-5)畫出了m=0，1，2和n=0，1的的變化曲線，同時(shí)還畫出了相應(yīng)的光振動(dòng)的鏡面光強(qiáng)分布圖(3-5)的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布激光模式的符號(hào)：TEMmnq，TEM00是基橫模。m、n的數(shù)值正好分別等于光強(qiáng)在x，y方向上的節(jié)線(光強(qiáng)為零的線)數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場(chǎng)也越向外擴(kuò)展。

3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布2.鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征9(1)振幅分布:基橫模TEM00場(chǎng)分布為：鏡面上基模的“光斑有效截面半徑”(2)位相分布:共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。(3)單程衍射損耗：一般忽略不計(jì)，但是在討論激光器單橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗

(4)單程相移與諧振頻率：圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布(1)振幅分布:基橫模TEM00場(chǎng)分布為：鏡面上基模的“光斑101.腔內(nèi)的光場(chǎng)可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得。腔外的光場(chǎng)則就是腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過(guò)鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。

3.2.2共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布

2.如圖3-7所示，將鏡面場(chǎng)分布代入基爾霍夫衍射公式可得：圖3-7計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖1.腔內(nèi)的光場(chǎng)可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分113.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布1.基橫模TEM00的場(chǎng)振幅U00和強(qiáng)度I00分布分別為：2.當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上()的值的e-1倍，即強(qiáng)度為軸上的值的e-2倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；

3.在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑

3.3高斯光束的傳播特性3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布1.基橫模TEM00的123.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布4.圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化5.基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化，如圖(3-8)。

3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布4.圖(3-8)基模光133.3.2高斯光束的相位分布1.隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于點(diǎn)的等相位面的方程為

忽略由于z變化引起的的微小變化，用代替，則在腔軸附近有

令，則有：

3.3.2高斯光束的相位分布1.143.3.2高斯光束的相位分布當(dāng)z0＞0時(shí)，z-z0＜0；而當(dāng)z0＜0時(shí),z-z0＞0

2.表明等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面3.由式子可知：當(dāng)當(dāng)共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大的等相位面4.共焦場(chǎng)中等相位面的分布如圖(3-9)所示。

圖(3-9)共焦腔中等位相面的分布3.3.2高斯光束的相位分布當(dāng)z0＞0時(shí)，z-z0＜0；而151.遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角（參見圖(3-8)）

2.由波動(dòng)光學(xué)知道，在單色平行光照明下，一個(gè)半徑為r的圓孔夫瑯和費(fèi)衍射角(主極大至第一極小值之間的夾角)。與上式相比較可知．高斯光束半角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角在數(shù)值上等于以腰斑為半徑的光束的衍射角，即它已達(dá)到了衍射極限。

3.共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量綴，它的方向性相當(dāng)好。

4.由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。

3.3.3高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角1.遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的161.亮度B:單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。

2.一般的激光器是向著數(shù)量級(jí)約為10－6sr的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光(如電燈光)是朝向空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4πsr。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬(wàn)倍。

3.小結(jié)一下高斯光束的主要特征參量：

3.3.4高斯光束的高亮度1.亮度B:單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)173.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔1.任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的球面腔只可唯一地與一個(gè)共焦腔等價(jià)。

2.假設(shè)雙凹腔兩鏡面M1與M2的曲率半徑分別為R1和R2，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，而所要求的等價(jià)共焦腔的共焦參數(shù)為f。以等價(jià)共焦腔中點(diǎn)為z坐標(biāo)的原點(diǎn)。M1、M2兩鏡的z坐標(biāo)為z1和z2。如圖(3-10)所示。則有：圖(3-10)球面腔的等價(jià)共焦腔3.如果R1、R2、L滿足，不難證明z1＜0、z2＞0、f＞0，這說(shuō)明給定穩(wěn)定球面腔可唯一確定一個(gè)等價(jià)共焦腔。3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性3.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔1.任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條183.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性1.等效共焦腔的束腰半徑和原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑

(1)等效共焦腔的束腰半徑(2)原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑3.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性1.等效共焦腔的束腰半徑193.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性2.諧振頻率(1)方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子分別為：(2)按諧振條件，單程總相移必須滿足，則有：(3)圓形鏡一般穩(wěn)定腔的諧振頻率

3.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性2.諧振頻率(1)方203.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)腔內(nèi)最小的光強(qiáng)I+(0)(2)腔內(nèi)最大光強(qiáng)I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(3)輸出光強(qiáng)：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(4)鏡面損耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))圖(3-11)諧振腔內(nèi)光強(qiáng)1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式

剩余部分：I+(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(5)最大最小光強(qiáng)、輸出光強(qiáng)和鏡面損耗之間關(guān)系由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光強(qiáng)對(duì)于腔內(nèi)任何一處z都有兩束傳播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值發(fā)生飽和，增益系數(shù)也發(fā)生飽和，近似用平均光強(qiáng)2I代替腔內(nèi)光強(qiáng)I+(z)+I-(2L-z)，用作為腔內(nèi)的平均增益系數(shù)，則腔內(nèi)的平均行波光強(qiáng)為：3.5激光器的輸出功率3.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)腔內(nèi)最小的213.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2.激光器的輸出功率激光器的總損耗為：如果很小，將用級(jí)數(shù)展開取一級(jí)近似，可得：則激光器內(nèi)行波的平均光強(qiáng)I可以化為：激光器輸出光強(qiáng)也可以表示為：若激光器的平均截面為A，則其輸出功率為：(1)理想的情況，將全反射鏡M2上的鏡面損耗都折合到M1上，對(duì)M2有：對(duì)M1有：3.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2.激光器的輸出223.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)P與Is的關(guān)系:兩者成正比(2)P與A的關(guān)系:A越大，P越大；而高階橫模的光束截面要比基橫的大(3)P與t1的關(guān)系:實(shí)際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，即希望這要求t1大，a1小，使t1>>a1，但t1過(guò)大又使增益系數(shù)的閾值G閾升高，而如果介質(zhì)的雙程增益系數(shù)2LG0不夠大將會(huì)導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)減小，使輸出功率降低。嚴(yán)重時(shí)使腔內(nèi)不能形成激光。t1過(guò)小，雖然使G閾降低光強(qiáng)增強(qiáng)，但鏡面損耗a1I-(2L)也將增大。解此方程得：為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的透射率取最佳值：此時(shí)，激光器得輸出功率為：3.輸出功率與諸參量之間的關(guān)系3.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)P與Is的233.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式(1)腔內(nèi)最大光強(qiáng)(2)輸出光強(qiáng)(3)鏡面損耗(4)最小光強(qiáng)：光波在腔內(nèi)傳播情況如圖3-12所示

圖3-12非均勻增寬激光器腔內(nèi)的光強(qiáng)(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變光波的頻率不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，光波在腔內(nèi)傳播時(shí)將有兩部分粒子——和粒子對(duì)它的放大作出貢獻(xiàn)。3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)243.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變光波的頻率不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，光波在腔內(nèi)傳播時(shí)將有兩部分粒子——和粒子對(duì)它的放大作出貢獻(xiàn)。即頻率為的光波，和兩束光在增益系數(shù)的曲線上的兩側(cè)對(duì)稱的“燒”了兩個(gè)孔。如圖3-13所示。圖3-13非均勻增寬激光器的“燒孔效應(yīng)”腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，取I作為平均光強(qiáng)，當(dāng)增益不太大時(shí)I=I+=I-，則介質(zhì)對(duì)光波的平均增益系數(shù)為：這就是非均勻增寬型介質(zhì)對(duì)非中心頻率光波的增益系數(shù)的表達(dá)式；3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)253.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變光波的頻率為線型函數(shù)的中心頻率，它只能使介質(zhì)中速度為的這部分粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和。此時(shí)腔內(nèi)的光強(qiáng)為I++I-，故介質(zhì)對(duì)的增益系數(shù)為：若用平均光強(qiáng)2I來(lái)代替，則光波在腔中的平均增益系數(shù)可表示為：若腔內(nèi)各頻率的光強(qiáng)都等于Is，則以及附近的光波所獲得的增益系數(shù)分別為：若增益系數(shù)的閾值都相等，則和附近頻率為光波的平均光強(qiáng)分別為下值，且前者比后者要弱：3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)263.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2.激光器的輸出功率若腔內(nèi)只允許一個(gè)諧振頻率，且，激光器在理想的情況下，仍有：此時(shí)腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：激光器的輸出光強(qiáng)為：若光束的截面為A，則激光器的輸出功率為：(1)單頻激光器的輸出功率

激光器輸出光強(qiáng)為：若腔內(nèi)單縱模的頻率為，激光器腔內(nèi)平均光強(qiáng)為：若光束的截面為A，激光器的輸出功率為：3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2.激光器的輸273.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率如果我們使單縱模輸出的激光器的諧振頻率由小到大變化，逐漸接近時(shí)，輸出功率也逐漸變大，但當(dāng)頻率變到此范圍時(shí)，該光波在增益系數(shù)的曲線上對(duì)稱“燒”的兩個(gè)孔發(fā)生了重疊，直到增益曲線上的兩個(gè)孔完全重疊，輸出功率下降至一個(gè)最小值。圖(3-14)曲線與“蘭姆凹陷”圖(3-14)為曲線；圖(3-15)為蘭姆凹陷與氣壓的關(guān)系曲線圖(3-15)“蘭姆凹陷”與管中氣壓的關(guān)系3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率如果我們使單縱模283.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率若腔內(nèi)允許多個(gè)諧振頻率，且相鄰兩個(gè)縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度以及各頻率的燒孔都是彼此獨(dú)立的，則平均光強(qiáng)為：(2)多頻激光器的輸出功率

輸出功率為：多頻激光器的輸出功率為：3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率若腔內(nèi)允許多個(gè)諧293.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(2)多頻激光器的輸出功率

若腔內(nèi)多縱模的頻率對(duì)稱的分布在的兩側(cè)，也即有一個(gè)縱模率，必有另一個(gè)縱模頻率，則在理想情況下縱模的增益系數(shù)為：縱模在腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：縱模的輸出功率為：該多模激光器的輸出功率為：3.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(2)多頻激光301.造成線寬的原因(1)能級(jí)的有限壽命造成了譜線的自然寬度(2)發(fā)光粒子之間的碰撞造成了譜線的碰撞寬度(或壓力寬度)。(3)發(fā)光粒子的熱運(yùn)動(dòng)造成了譜線的多普勒寬度。2.激光器的線寬對(duì)一個(gè)激光器來(lái)說(shuō)，當(dāng)它在穩(wěn)定工作時(shí)，其增益正好等于總損耗。這時(shí)的理想情況是：損耗的能量在腔內(nèi)的受激過(guò)程中得到了補(bǔ)充，而且在受激過(guò)程中產(chǎn)生的光波與原來(lái)光波有相同的位相，所以新產(chǎn)生的光波與原來(lái)的光波相干疊加，使腔內(nèi)光波的振幅始終保持恒定，相應(yīng)的就有無(wú)限長(zhǎng)的波列，故線寬應(yīng)為“0”。如果激光器是單模輸出的話，那么它輸出的譜線應(yīng)該是落在熒光線寬范圍內(nèi)的一條“線”(見圖(3-16)