2023全國新課標(biāo)1數(shù)學(xué)試題及答案解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國課標(biāo)1

理科數(shù)學(xué)

第一卷

一、選擇題：共12小題，每題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為

哪一項(xiàng)符合題目要求的一項(xiàng).

1.集合A={X|X2-2X-3..0},B={X\-2,,X<2},那么4cB=().

A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i

3.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，那么以下結(jié)

論正確的是().

A"(x)g(x)是偶函數(shù)5.g(x)是奇函數(shù)

C.|g(x)|/(x)是奇函數(shù)。.|/(x)g(x)|是奇函數(shù)

4.尸是雙曲線。：,畋2=3加(m>o)的一個(gè)焦點(diǎn)，那么點(diǎn)F到。的―-條漸近線的距離

為().

A.B.3C.也mD.3m

5.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，那么周六、周日都有同學(xué)參加

公益活動的概率()----

一尻―工/)

8888/

6如圖，圓。的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，角x的始邊為射ro拓A

線OA,終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為將點(diǎn)"到直\y

線0P的距離表示為x的函數(shù)/(尤)，那么y=/(x)在［0,兀］上的圖像大致為

().

7.執(zhí)行以下列圖的程序框圖，假設(shè)輸入的.2次分別為1,2,3,那么輸出的M=().

,20n7c16nl5

A.—B.—C.—D.—

3258

8.設(shè)ae(0,工)，/7e(0,-),且tana=l+sin',那么().

22cos/?

TT7TTC7C

A.3a-(3=-B.3a+/3=-C.2a-(3=-D.2a+p^-

9.不等式組|V-1的解集記為。.有下面四個(gè)命題:

x-2y<4

Pi：V(x,y)GD,x+2y>-2,p2：3(x,y)eD,x+2y>2,

P3：V(x,y)￡￡>,X+2y<3,p4：3(x,y)eD,x-\-2y<-\.

其中真命題是().

A.p2,P3B.P1，p2c.p1,P4O.P1，P3

10.拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為E,準(zhǔn)線為/,p是/上一點(diǎn)，。是直線尸尸與。的一個(gè)焦

點(diǎn)，假設(shè)尸p=4RQ,那么|。/|=().

75

A.-B.3C.-D.2

22

11.函數(shù)/(九)=必3-3/+1,假設(shè)/(X)存在唯一的零點(diǎn)%,且毛〉0,那么a的取值范

圍為().

A.(2,+oo)8.(1,+co)C.(-oo,—2)1)

12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體

的個(gè)條棱中，最長的棱的長度為().

A.6&B.6C.4V2D.4

第二卷

本卷包括必考題和選考題兩個(gè)局部。第(13)題-第

(21)題為必考題，每個(gè)考生都必

須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作

卷

口0

二、填空題：本大題共4小題，每題5分.

13.(x—y)(x+丁)'的展開式中的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)

14.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過5城市；

乙說：我沒去過。城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市.

由此可判斷乙去過的城市為.

15.A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，假設(shè)A0=L(AB+AC),那么A3與AC的夾角為.

2

16.a,仇c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,6,C的對邊，a=2,且

(2+份(sinA—sin8)=(c—力sinC,那么^ABC面積的最大值為.

三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題總分值12分)

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,anaH+i=ASn-l,其中a為常數(shù).

(I)證明：an+2-an=2；

(II)是否存在X,使得｛a,,｝為等差數(shù)列？并說明理由.

18.(本小題總分值12分)

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果

得如下頻率分布直方圖：

(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)［和樣本方差一(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)；

(II)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃,b2),

其中〃近似為樣本平均數(shù)嚏，川近似為樣本方差52.

(i)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)

值為于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用⑴的結(jié)果，求EX.

附：V150?12.2,假設(shè)Z?N(〃,〃)，那么尸(〃一3<Z<〃+S)=0.6826,

P(〃—25<Z<4+25)=0.9544.

19.(本小題總分值12分)

如圖三棱錐ABC—A4G中，側(cè)面8BCC為菱形，AB1B,C.

(I)證明：AC=ABi；

(II)假設(shè)AC_LAg,NCB與=60",AB=BC,求二面角A—Ag—G的余弦值.

20.(本小題總分值12分)

點(diǎn)A(0,—2),橢圓E：5+%=1(。>匕>°)的離心率為手，?是橢圓的右焦

點(diǎn)，直線AF的斜率為孚，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求E的方程；

(II)設(shè)過點(diǎn)A的動直線/與E相交于RQ兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時(shí)，求/的方程.

21.(本小題總分值12分)

h'-'

設(shè)函數(shù)f(x)=aex\nx+—e~,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為

y=e(x-i)+2.

(I)求a,A；

(II)證明：/(x)>l.

請考生從第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如

果多做，那么按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方

框

涂黑.

22.(本小題總分值10分)選修4一1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，的延長線與。。的延長線交于點(diǎn)E,

且CB=C七

(I)證明：Z￡)=ZE；

(II)設(shè)A￡>不是二。的直徑，A0的中點(diǎn)為且=證明：MDE為等

邊三角形.

23.(本小題總分值10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

曲線C：—+2-=1,直線/：\(f為參數(shù)).

49[y^2-2t

(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程；

(II)過曲線C上任一點(diǎn)尸作與/夾角為30。的直線，交/于點(diǎn)A,求|QA|的最大值與

最小值.

24.(本小題總分值10分)選修4一5：不等式選講

假設(shè)a>0/>0,且2+4=點(diǎn).

ab

(I)求〃+獷的最小值；

(II)是否存在。力，使得2a+3b=6?并說明理由.

參考答案

一、選擇題

ADCADCDCBBCB

二、填空題

13.-2014.A15.-16.\/3

2

三、解答題

17.(1)證明：由題意得《""+1=2S”-1

~，，+避"+2=45w一1

所以。向4+2一%4+1=九4+1

又因?yàn)?,#0

所以70

所以4+2-4=%

(2)解：假設(shè)存在2,使得｛q｝為等差數(shù)列.

cLa^,=Aa.-1

由⑴知，-1

%—q=幾

因?yàn)閝=1

a,=2—1

所以4■,

陽=丸+1

因?yàn)椋?%=2a2

所以4+2=2(/1—1)

所以4=4

故%+2-。"=4,

所以｛。2"-1｝是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，為1=4〃-3;

｛%“｝是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，?2?=4/7-1.

所以a“=2〃-1,an+y-an-2.

因此存在4=4,使得｛《,｝為等差數(shù)列.

18.解:

(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)

(2)(1)由⑴知，Z-(200,150),從而

(2)由(1)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826

依題意知X~3(100,0.6826),所以EX=100x0.6826=68.26

19.解:

(1)連結(jié)BG，交BC于。，連結(jié)AO.因?yàn)閭?cè)面B4GC為菱形，所以BCL5G，且。

為用c與BG的中點(diǎn).

又BQ=CO,故AC=AB1

(2)因?yàn)锳C_LA片且。為8c的中點(diǎn)，所以AO=CO

又因?yàn)锳B=BC,所以加8。4MBOC

故。4J_OB,從而。A,OB,。與兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，|。耳為單位長，建立如下列圖空間直角坐標(biāo)

系O-A>2.

因?yàn)镹C8g=60,所以；C84為等邊三角形.又45=8。，那么

A0,0,苧,8(1,0,0),B10,苧，。小，岑。、

7

設(shè)〃=(x,y,z)是平面AAlBi的法向量,

V3V3

——y------z=0n

n-AB}=033

〃?二06_A

X----------Z=()

3

所以可取〃=(1,石,6)

mB?=0

設(shè)〃2是平面A4G的法向量，那么，

m-AiBi=0

同理可取〃2=(1,-百，百)

那么COS"7)=j—Tj—7=—

'1|/?||m|7

所以二面角A—4旦—C1的余弦值為9.

20.解：

⑴設(shè)尸億0)，由條件知，2=2叵，得。=6又￡=正，所以。=2,〃=。2一。2=1

\"c3a2

故E的方程為工+>2=1.

4

(2)依題意設(shè)直線/：y=kx-2

將丁=區(qū)一2代入上+V=1得

4

當(dāng)△=16(底-3)>。，即公［時(shí)，/=筆守

從而PQ=VF+ik一/I=

2

又點(diǎn)。到直線PQ的距離d=-j------所以_OPQ的面積

收+1

設(shè)“萬一3=/,那么/>(),=±

OPQ入44

t+-

4

因?yàn)閒+—24,當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即人=±J時(shí)等號成立，且滿足A>()

t2

所以當(dāng)_OPQ的面積最大時(shí)，/的方程為

+萬9

尸±三》-2.

21.解：⑴函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+oo),f'(x)=aex\nx+-e'—^ex-'+-ex-',

由題意可得f(l)=2,/'(l)=e

故a=l,b=2.

2?

⑵由(1)知，/(x)=e，lnx+—/，從而〃%)>1等價(jià)于xlnx>>r——.

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,那么g'(x)=1+lnx.

所以當(dāng)X￡(0」1寸，g'(X)<0；當(dāng)XW,+00)寸,g'(x)>0.

故g(x)在(0，)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,+8)的最小值為

2

設(shè)函數(shù)//(x)=xe-'-：，那么〃'(％)=",(1-x).

所以當(dāng)xe((),l)時(shí)，〃'(x)>()；當(dāng)xw(l,卡)。)時(shí)，〃'(x)<0.故//(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在

(l,+oo