計(jì)算流體力學(xué)第5章-跨聲速小擾動(dòng)勢流混合差分方法概要課件

第五章時(shí)間推進(jìn)法內(nèi)容守恒形式歐拉方程非定常歐拉方程的特征線非定常歐拉方程顯式差分多維流的時(shí)間分裂法非定常歐拉方程有限體積法無粘流計(jì)算的人工粘性加速收斂的方法及算例重點(diǎn)多維流的時(shí)間分裂法非定常歐拉方程有限體積法第五章時(shí)間推進(jìn)法內(nèi)容15-1守恒形式的非定常歐拉方程一、引言激波存在時(shí)，流場有旋，不存在勢函數(shù)，不能用速勢方法。不記粘性時(shí)，可以用歐拉方程描述流場。非定常二維可壓縮歐拉方程5-1守恒形式的非定常歐拉方程一、引言2方程的性質(zhì)方程是雙曲型（對時(shí)間）跨音速區(qū)包含激波時(shí)間推進(jìn)分法可以克服跨音速計(jì)算困難基本思路：把定常問題化為非定常問題的漸進(jìn)解（穩(wěn)態(tài)）全場統(tǒng)一用一種數(shù)值方法可以使用有限體積方法二、積分形式的守恒型非定常方程組只有寫成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和間斷面上的物理守恒律。方程的性質(zhì)3連續(xù)方程：動(dòng)量方程：能量方程：

令絕勢流動(dòng)能量方程為：

連續(xù)方程：4三、微分形式的守恒非定常流歐拉方程（3D）或引入總焓，則三、微分形式的守恒非定常流歐拉方程（3D）5根據(jù)連續(xù)方程改寫為根據(jù)連續(xù)方程改寫為6四、守恒的歐拉方程組的縮寫

其中，U,F,G,H是列向量通用形式四、守恒的歐拉方程組的縮寫其中，U,F,G,7計(jì)算流體力學(xué)第5章-跨聲速小擾動(dòng)勢流混合差分方法概要ppt課件8可寫成是向量矩陣形式則可寫成是向量矩陣形式則9積分型的矢量矩陣表達(dá)式積分型的矢量矩陣表達(dá)式10五、氣體狀態(tài)方程其中，

引入完全氣體狀態(tài)方程

方程組封閉可解

例:一維流歐拉方程具體表達(dá)式五、氣體狀態(tài)方程其中，引入完全氣體狀態(tài)方程11令則F是復(fù)合函數(shù)令則F是復(fù)合函數(shù)12令令13方程可寫為同理可寫出二維歐拉方程的通用表達(dá)式其中方程可寫為同理可寫出二維歐拉方程的通用表達(dá)式其中14§5-2非定常歐拉方程的特征線（自學(xué)）§5-2非定常歐拉方程的特征線（自學(xué)）155-3非定長歐拉方程的顯式格式一、簡單線性波動(dòng)方程其解析解存在沿特征線上二、一階精度顯示差分txx=at+c05-3非定長歐拉方程的顯式格式其解析解存在沿特征線上二、一16截?cái)嗾`差差分依賴區(qū)邊界上（微分依賴區(qū)與差分依賴區(qū)重合）截?cái)嗾`差差分依賴區(qū)邊界上（微分依賴區(qū)與差分依賴區(qū)重合）17

精確平移條件：特征線上u不變一階顯示差分格式將不穩(wěn)定，不能用i-1i特征線精確平移條件：特征線18三、二階精度的顯示格式

利用Taylor級數(shù)可構(gòu)造二階精度顯示差分格式差分方程穩(wěn)定性：（差分方程依賴區(qū)不小于微分方程依賴區(qū)）三、二階精度的顯示格式差分方程穩(wěn)定性：（差分方程依賴區(qū)不小于19令則有當(dāng)CFL=1時(shí)，差分方程的依賴區(qū)與微分方程依賴區(qū)重合，得到的結(jié)果與精確解相同CFL(Courant-Friedrichs-Lowy)數(shù)令則有當(dāng)CFL=1時(shí)，差分方程的依賴區(qū)與微分方程依賴區(qū)重合，20四、二階精度顯示兩步差分校正：即具有二階精度預(yù)估：四、二階精度顯示兩步差分校正：即具有二階精度預(yù)估：21二步格式的構(gòu)造向后差分

給出中間結(jié)果校正：用中間結(jié)果構(gòu)造向前差分

可以反過來，先向前再向后差分，即，具有一階精度得到二階精度預(yù)估：二步格式的構(gòu)造向后差分給出中間結(jié)果校正：用22五、一維流歐拉方程組差分格式方程通用格式V、F表達(dá)式同前預(yù)估式V具有一階精度校正式V具有二階精度

與其等價(jià)的微分方程為五、一維流歐拉方程組差分格式23穩(wěn)定性條件：差分方程依賴區(qū)不小于微分方程依賴區(qū)。

V其穩(wěn)定性條件即穩(wěn)定性條件：差分方程依賴區(qū)不小于微分方程依賴區(qū)。24或CFL！沒有經(jīng)過嚴(yán)格證明的結(jié)論六、二維流歐拉方程組方程通用形式其中U,F,G同前

兩步法格式:預(yù)估校正或25

以差分算子Lxy表示，則

——MacCormark二階精度差分格式分“七點(diǎn)式”“五點(diǎn)式”穩(wěn)定性條件：或以差分算子Lxy表示，則26§5-4多維流的時(shí)間分裂法

TimedepositionmethodofMulti-dimensionflow維數(shù)增加，穩(wěn)定性所允許的最大時(shí)間步長減小。Numberofdimensionsincreaseleadsthestabilitytimestepdecrease顯示格式的計(jì)算率降低Efficiencyofexplicitschemedecrease用兩步時(shí)間分裂的差分格式將多維差分方程分解為多個(gè)一維差分格式Twosteptimedecompositionmethodistodecomposecomputationintotwostep§5-4多維流的時(shí)間分裂法27或記為或記為28依賴于x,y平面內(nèi)的九個(gè)點(diǎn)，先對y求解，再對x求解，為消除x,y順序影響，第二個(gè)時(shí)間步可先對x求解再對y求解。Itdependson9pointsinxyplane,firstlytosolveitforxthenforyinordertoeliminatedtheeffectonsequence,secondstepisforxfirstandthenfory.yx0依賴于x,y平面內(nèi)的九個(gè)點(diǎn)，先對y求解，再對x求解，為消除x29在各個(gè)方向都按各自的穩(wěn)定性限制條件來確定推進(jìn)時(shí)間步長Todeterminetimestepindividualforxandy各方面均選取最大允許的值。Onbothdirection,thetimestepcanbemaximumvalue.舉例：三角形翼型的流動(dòng)。契形頂角Example：triangleairfoilAOA10,Angleofleadingedge在各個(gè)方向都按各自的穩(wěn)定性限制條件來確定推進(jìn)時(shí)間步長30

Take=consty方向分三區(qū)：近場、中場、遠(yuǎn)場Divide3zonesinydirection,near，middle，farfield

31估算x和y方向時(shí)間步長Calculatethetimestepsinxandydirection.

估算x和y方向時(shí)間步長32時(shí)間步長：timestep:中間場：middle近場：near遠(yuǎn)場：far時(shí)間步長：33最大時(shí)步長各區(qū)的運(yùn)算可規(guī)定為Thecomputationregularforeveryzone中間

Maxtimestep近場

nearmiddle最大時(shí)步長各區(qū)的運(yùn)算可規(guī)定為中間Maxtime34遠(yuǎn)場

四步推時(shí)的運(yùn)算可規(guī)定為)computation中

Middle

nearfar4stepsmatch(近

near近遠(yuǎn)場四步推時(shí)的運(yùn)算可規(guī)定為)computation35中

middle

遠(yuǎn)12ⅹ32網(wǎng)格1次far遠(yuǎn)far可提高效率Improveefficiency近場4ⅹ32網(wǎng)格4次near中8ⅹ32網(wǎng)格2次middle中middle遠(yuǎn)12ⅹ32網(wǎng)格136近場，中場，遠(yuǎn)場均執(zhí)行2次，共1536次Nearmiddlefarperform2times,1536推進(jìn)4，執(zhí)行的運(yùn)算次數(shù)（時(shí)間）Totalcomputationaltimefor4intotalmatching近場，中場，遠(yuǎn)場均執(zhí)行2次，共1536次推進(jìn)4，執(zhí)行的運(yùn)算37若三區(qū)網(wǎng)格數(shù)相同，全部時(shí)間為允許最大時(shí)間步MaxtimestepIfthemeshnumberaresameforthreezones（24ⅹ32）若三區(qū)網(wǎng)格數(shù)相同，全部時(shí)間為允許最大時(shí)間步Iftheme38時(shí)間分裂格式的相對數(shù)值效率為Thenumericalefficiencyoftimematchingscheme其中Tst代表單位推進(jìn)需要的計(jì)算機(jī)時(shí)WhereTstdenotestimerequiredforeverystep結(jié)果見p117中圖5.4.6Results:Seep117,Fig.5.4.6時(shí)間分裂格式的相對數(shù)值效率為其中Tst代表單位推進(jìn)需要的計(jì)算39非定常歐拉方程組中，用總焓方程代替非定常能量方程也能求得定常解InunsteadyEulerEqs.Theenergyequationcanbereplacebyequationoftotal當(dāng)時(shí)，方程趨于定常，整個(gè)流場總焓不變Whentheequationbecomessteadyform非定常歐拉方程組中，用總焓方程代替非定常能量方程也能求得定常405-5非定常歐拉方程有限體積法ThefinitevolumemethodforEulerequations

限體積法：用基本方程積分，以空間體積元素為對象離散化方程Finitevolumemethod:touseintegralformofbasicequations,andexpressdiscreteequationinformofvolume5-5非定常歐拉方程有限體積法限體積法：用基本方程積分，以41其中（對二維問題）where(for2dproblem)為控制面的法向量Whereisnormalvectorofcontrolsurface總焓均勻且不隨時(shí)間變化的Euler流TheEulerflowinwhichthetotalenthalpyisuniformanddoesnotchangewithtime

其中（對二維問題）為控制面的法向量總焓42一、Maccormark時(shí)間分裂有限體積法TimedecompositionmethodofMaccormark二階精度顯示兩步法格式2ndorderexplicitFDwithtwostepsmatchingi-1,ji,ji+1,ji,j-1i,j+1yxo一、Maccormark時(shí)間分裂有限體積法i-1,ji,43網(wǎng)格單元面積（三維問題則為體積）theareaofmesh單元邊界長度矢量（面積矢量）thevectorofboundaryedges差分格式的積分表形式

theintegratedformofFD網(wǎng)格單元面積（三維問題則為體積）單元邊界長度矢量（面積矢量44其中代表網(wǎng)格中心點(diǎn)的值

wheredonatesthevalueofcenterofthemesh其中代表網(wǎng)格中心點(diǎn)的值45引入算子表達(dá)式

introduceFDcalculator穩(wěn)定條件

stabilitycondition引入算子表達(dá)式穩(wěn)定條件46(二)非正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)格Non-orthogonalgrids有限體積格式不僅可用于正交網(wǎng)格，也可用于非正交網(wǎng)格FVMcanbeapplynotonlyinorthogonalgridsbutalsoinnon-orthogonalgrids當(dāng)為常數(shù)時(shí)，格式是有二階精度Whereareconstant,theschemeisof2ndprecision1234(二)非正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)格Non-orthogonalgri47對非正交網(wǎng)格Fornon-orthogonalgrids1234對非正交網(wǎng)格123448體積（面積）Volume（area）體積（面積）49以連續(xù)方程為例，寫出差分方程有限體積格式Takecontinuityequationasanexample，theFDschemeforFVMcanbewrittenas以連續(xù)方程為例，寫出差分方程有限體積格式50例：葉柵通道Maccormack格式用于葉柵通道擬流線為直線/曲線前后緣設(shè)置尖劈S2S1S3S4i,jABCDEFGHSP例：葉柵通道Maccormack格式用于葉柵通道S2S1S351二、Denton方法DentonmethodABCD網(wǎng)格單元，由擬流線組成Meshisconstructedwithquasi-streamlines二、Denton方法52計(jì)算點(diǎn)位于擬流線上且在單元的中央Computationalnodesareonquasi-streamlineandthecenterofthemeshDenlon改進(jìn)格式計(jì)算點(diǎn)位于擬流線上且在單元的中央53計(jì)算流體力學(xué)第5章-跨聲速小擾動(dòng)勢流混合差分方法概要ppt課件54計(jì)算流體力學(xué)第5章-跨聲速小擾動(dòng)勢流混合差分方法概要ppt課件55以f表示通量（）則可簡化為Topressthefluxwithf,thenFDcanbesimplifiedasfollowing其中，Cf和Cp是通量和壓強(qiáng)修正量WhereCfandCparefluxandpressureflux以f表示通量（56Ff是通量插值函數(shù)，由（i，j），（i-1，j），（i-2,j）三個(gè)Ffistheinterpolationfunction,itcanbeobtainedfrom計(jì)算點(diǎn)的通量內(nèi)插得到Threepoints(i,j),(i-1,j),(i-2,j)Fp是壓強(qiáng)插值函數(shù)，由（i-1,j），（i,j），（i+1,j）三點(diǎn)內(nèi)插Fpistheinterpolationfunctionobtainedfrompoints（i-1,j），（i,j），（i+1,j）Ff是通量插值函數(shù)，由（i，j），（i-1，j），（i-257

是松弛因子

istherelaxationfactor同理可寫出和的表達(dá)式Basedthesameprinciple,andcanbeobtained注意：上述格式中，速度分量用舊速度壓強(qiáng)用新速度和舊速度組成差分格式先求解密度和壓強(qiáng)，再求解動(dòng)量方程求新速度場是松弛因子58三、邊界條件

進(jìn)/出口邊界條件GenerallythreetypesofBC,inlet\outletBC周期性PeriodicBC物面邊界條件WallBC遠(yuǎn)場邊界條件FarfieldBC一般有四種：三、邊界條件

進(jìn)/出口邊界條件一般有四種：59對于葉柵通道內(nèi)流動(dòng)，有四種：Foracascadeflowchannel,threearefourBC進(jìn)口邊界（AH）Inletboundary(AH)對于葉柵通道內(nèi)流動(dòng)，有四種：60周期性邊界（ABCDHGFE）

PeriodicalBoundary（ABCDHGFE）出口邊界（ED）

OutletBoundary(ED)進(jìn)口（AH）當(dāng)時(shí)，需三個(gè)條件：進(jìn)氣角總溫總壓

Inlet(AH),when,threeBCarerequired,angleofvelocity,totaltemperature,totalpressure邊界上值受內(nèi)通道影響effectedbyinnerflow當(dāng)時(shí)，邊界值不受內(nèi)通道影響，可以給定速度When,boundaryvaluesarenotinfluencedbyinnerflow周期性邊界（ABCDHGFE）Periodic61出口處（ED）：Outlet(ED)當(dāng)（亞音速）需一個(gè)條件，一般給壓強(qiáng)

when(subsonic),pressureasoneBCisneeded當(dāng)時(shí)，邊界值可以外插，無需條件葉片表面上（BSC或GPF）Onthesurfaceofcascade(BSC,orGPF)速度矢量與表面相切Thevelocityparallelsthesurface出口處（ED）：Outlet(ED)葉片表面上（BSC62周期性邊界條件（AB和HG，BC和FE）OnperiodicBC(AB,HG,BC,FE)

:邊界上對應(yīng)點(diǎn)參數(shù)相同.theparametersoncorrespondingpointsaresame可向上、下各延伸一點(diǎn)（i,0）和（i,N+1）thegridareextendedupanddownonepointrespectively(i,0)(i,N+1)(i,N)(i,1)(i,N+1)(i,N+1)=(i,2)(i,2)(i,0)(i,N)=(i,N-1)(i,N-1)(i,N)(i,1)(i,N+1)(i,N+1)=(i,2)63有限體積法中物面通量為0，只需要計(jì)算物面壓強(qiáng)ForFVM,thefluxonsurfacearezero,onlythepressureonboundaryisneeded物面法向動(dòng)量方程：Theequationofholmiuminthenormalofwall物面法向動(dòng)量方程：Theequationofholm64對平面流動(dòng)Forplane(2D)flow其中R是曲率半徑WhereRisradiusofcurvative其差分格式

itsFDschemeis其中是i點(diǎn)距物面的距離Whereisthedistancetothewall可以用外插法，由內(nèi)點(diǎn)外得到物面上的壓強(qiáng)Extrapolationmethodcanbeusedalso計(jì)算精度受曲率計(jì)算精度影響比較大對平面流動(dòng)Forplane(2D)flow可以用外655-6無粘流計(jì)算的人工粘性Theartificialviscousofinviscousflowcomputation歐拉方程二階精度顯式差分方程截?cái)嗾`差為：Thetrancationerrorof2ndexplicitFDEforEulerEqsis不含粘性Itdoesnotincludesviscousity在激波附近會(huì)出現(xiàn)壓強(qiáng)和速度的波動(dòng)和過高峰值Thepressureandvelocitywillfluctuateneartheshockwave須加入適當(dāng)人工粘性Thesuitableartificialviscousitymustbe

introduced

過高人工粘性會(huì)影響求解精度Overhighartificialviscositywillinfluencetheprecise

5-6無粘流計(jì)算的人工粘性66對二維Euler流動(dòng)，人工粘性一般?。篎or2DEulerflow，theartificialviscosityisgenerally其中Cx，Cy是人工粘性系數(shù)，取0~0.5WhereCx，Cyarecoefficientsofartificialviscosity,givenasvalue0~0.5對二維Euler流動(dòng)，人工粘性一般?。?7人工粘性相當(dāng)于給方程增加了兩項(xiàng)：The

artificialviscosityaddstwotermstoPDE對應(yīng)的方程與粘性流N-S方程相比ComparedwiththecorrespondingN-S人工粘性相當(dāng)于給方程增加了兩項(xiàng)：68其中為第二粘性系數(shù)Whereissecondviscouscoefficient法向粘性應(yīng)力項(xiàng)Thenormalviscositytermis相應(yīng)的x方向動(dòng)量方程粘性Thecorrespondingmomentumequationinxdiraction與人工粘性具有同樣的表達(dá)式和含義其中為第二粘性系數(shù)Where69代表粘性影響（人工粘性）McCormack人工粘性DenotestheartificialviscousityofMcCormack

scheme光滑變化區(qū)域，人工粘性是四階小量，不影響差分格式精度Inthesmoothflowfield，theartificialviscosityis4thorder，noinfluenceontheprecisionoftheFDE當(dāng)出現(xiàn)激波，二階系數(shù)很大，該項(xiàng)會(huì)產(chǎn)生明顯的粘性作用，適當(dāng)選取Cx可以很好地模擬激波Butwhenshockappears，the2ndorderpartitiondifferentbecomeslarger，itmaypresentsignificantinviscouseffect代表粘性影響（人工粘性）McCormack人工粘性Denot70例：一維收——擴(kuò)噴管過度膨脹流場Example:1DConverge-DivergeNozzleover

Expanded例：一維收——擴(kuò)噴管過度膨脹流場71激波前：Ma數(shù)光滑過渡InfrontofShock,Madistributesmoothly.激波后：稍有波動(dòng)Behindtheshock,thereexistfluctuation激波位置在三個(gè)網(wǎng)格之間Shocklocatedinbetweenthreegrids較好的抑制了波動(dòng)restrainingthefluctuationperfectly.激波前：Ma數(shù)光滑過渡InfrontofShock,72簡單的人工粘性：利用加權(quán)平均方式引進(jìn)數(shù)值阻尼Simpleartificalviscosity,tointroduceartificalviscosityusingweightedaveragemethod其中是阻尼系數(shù)。Whenisthedampingcoefficient.人工阻尼方法相當(dāng)于在微分方程中引入修正項(xiàng)Artificialdampingmethodisequivalentto簡單的人工粘性：利用加權(quán)平均方式引進(jìn)數(shù)值阻尼Simplea73當(dāng)時(shí)，不會(huì)影響二階格式的精度WhenitdoesNotinfluencetheprecisionof2ndFDscheme.阻尼系數(shù)取值原則：Theprincipleforreceivingvalueof激波區(qū)有較強(qiáng)光滑作用，使激波保持在2-4個(gè)網(wǎng)格之間Ithassmootheffectinshockzone.在激波區(qū)之外，則希望沒有光滑作用，因此應(yīng)取不同的值。Outoftheshockzone,ithasnosmootheffects.激波捕獲法：在差分方程中添加高階項(xiàng)，取激波間斷展寬，但僅為連續(xù)的薄層Captureofshock,introducehighorderFDtowidentheshockandkeepitcontinuousinathinlayer.計(jì)算流體力學(xué)第5章-跨聲速小擾動(dòng)勢流混合差分方法概要ppt課件745-7加速收斂的方法及算例ExampleofComputationAcceleration一、NACA轉(zhuǎn)折角為800亞聲速葉柵NACAcascadewith800

turningangleDenton方法（1）

Dentonmethod（1）5-7加速收斂的方法及算例75McCormack時(shí)間分裂有限體積法（2）McCormacktimedecompositionFUH(2)

壓強(qiáng)分布Pressuredistribution

McCormack時(shí)間分裂有限體積法（2）McCormack76葉背前緣：方法2較方法1有改善Expandedsurfacemethod2isbetter.葉盆：比實(shí)驗(yàn)值高Compressedsurface,resultsishigherthanthatofexperimentationMa數(shù)分布比較：葉背前緣：方法2較方法1有改善Expandedsurfac77二、NACA轉(zhuǎn)折角95具有激波的葉柵Cascadewith95?deg

ofturningangle方法2：用人工粘性，可以較好捕獲激波Method2，usingartificialviscositycancapturetheshockwell二、NACA轉(zhuǎn)折角95具有激波的葉柵78三、加速收斂的方法Accelerationmethodtoiteratecomputation定常問題Steadyprob