2023新高考數學模擬試題及答案

高三數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和小選薜麴兩部分.滿分150分,考試時間120分仲.

2.霍電前.考生務必用支糙0.5電來黑色《水簽字芯將密封線內《目填寫清電.

3.考生作著時.清將各案卷在本題卡上，選擇題每小題選出答案后.用2B鉛筆把答題卡上時應題

目的著蜜標號涂黑：非逸提題請用克往0.5毫米黑色E水簽字邕在筌題卡上各題的答題區(qū)域內

作"超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.高*強;

一、選擇?:本?共8小?，每小?5分，共40分。在每小盤給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A=UlO<jr<l}.B={x|log2x<l},則

A.Af|B=AaAUB=R

GAAB=BD.ADB=0

2.已知空間四個點.WT這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內”的

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.若雙曲線/—一y=入。*0）的兩條漸近線互相垂直，則m=

A.-1B.±1C.2D.±2

4.已知sina=；+8Sa,則出12二第=

sin（a+勃

■年B.一號C.空D.考

5.已知復數z的實部和虛部均為整數,則滿足Ir-H<|f|的復數z的個數為

A.2B.3C.4D.5

6.函數/（公=本》12xx-］在區(qū)間［-3,3］上的零點個數為

A.10K8C.6D.4

7.將函數/（口的圖象向右平移1個單位長度后，再向上平移4個單位K度,所得函數圖象與曲線、=4,

關于直線上=1對稱，則/（一十）=

A.-4B.-3C.-2D.4

8.已知。是△ABC的外心，且滿足2A（5='右tA（',^HA^BC匕的投影向It為磊黃，則cos/AOC=

3_D3/10

A.B?嘿C

T5,10

【高三開學考?數學第1頁（共4頁）】[HS

二.選用■:水■典，小■.■小■<分.典加分.a?小出的再R?目■京.金9

法時的■，分.墨分堆門的■1分.真賽■的樽。分.

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A.P?A+B)=P(B)RP(BAL黯；

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I.01—***所網或陰形的曲松力S.H^v3V2

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三.412■:*■共4小■.■小■，分.共20分.

1

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值時,內線/的敘率為

H.2022#9?l?II.新人"植?胤八發(fā)發(fā)、於1L稱.也H在德M巴?“什的，73HEXi?K公匕?

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(A?數學*H)]**?

閃、x答■:本■其?小■,典”分.

17.（/小■■分1。分,

乂&旬*倩足4.2*.，7E.E力拿教

.JIFWrttH.

門4W任?J.?..求女數e的拿值的IK

】&＜，小■客份129，

加網.CE過彩AHCD中.E為AD匕一點,若AG=3AAAH^3,HEl.A-"

Tl

￡

Cr.HC-、QAE.CD=1?NC=2/CBD.求內為AHCC的面枳.

19.＜本小■■分12分）

IDSI.tlSlABC。是上下底邊長分別為2他6.高為門的第It棒形,有它沿對弊*"A折盤.并違接

AB.CDWHiQffi2所示的幾何體awnn,

（1）判斷幾何體（MBCDTA是?片劇?幾何體.井ii?h

（2）我?guī)缀误w（MBC。。中，者二?翕A8,8為直二?京,求二柬第。。的余弦01

―M^

KA升學學，3我（頭4列）】Mt

20.(本小題滿分12分)

2022年11月21日,我國迄今水下考古發(fā)現的體收最大的木質沉船長江口二號占船,在長江口

橫沙水域成功整體打撈出水.I.海市文物局會同交通運輸部上海打攢局,集成先進的打撈匚藝、技術

路線、設備制造.最終研究并形成門It界首創(chuàng)的“弧形梁作接觸文物整體遷移技術”來打措這股古船.

這是全新的打撈解決方案,創(chuàng)造性地融合了核電弧形梁加I：「.藝、窿道盾構掘進工藝、沉管隧道而接

工藝.并運用液壓同步提升技術、綜合監(jiān)控系統(tǒng)等先進的高新技術.這些技術也是苜次應用于文物保

護和考古領域.

近年來.隨著科學技術的發(fā)展,越來越多的占跡具備「發(fā)掘的條件?然而相關考古專業(yè)人才卻嚴

重不足.某調杳機構為「解高?:學生在志愿填報時對考占專業(yè)的態(tài)度,在某中學高三年級的1200名

男生和800名女生中按比例分配的分層,隨機抽取20名學生進行了調杳,調查結果如下表：

填報

不填報

非第一志愿填報第一志愿填報

男生X52

女生y10

(1)完成列聯表，并依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗判斷是否可以認為該校學生填報志愿時??是

否填報考古專業(yè)”與性別有關聯？

男生女生總計

不填報

填報

總計2”

(2)從抽出的男生中再隨機抽取3人進一步了解情況，記X為抽取的這3名男生中“第一志愿填報考

古專業(yè)”和“非第一志愿填報考古專業(yè)”人數差的絕對值，求X的數學期望.

圖7一-(a+6+c+d)(a</-6c)z

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.050.0100.001

43.8416.63510.828

21.(本小題滿分12分)

設函數/(x)=06^—(2x+l)eJR.

(1)當a=l時,求曲線y=/Cr)在點(0,/(0))處的切線方程I

⑵若aVO,且/Gr)在區(qū)間(一2,+8)上有極值,求實數a的取值范圍.

22.(本小題滿分12分)

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F(1,0)的即離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設過點F且不與工軸甌合的直線，與C交于A,B兩點，求證：在曲線(,上存在點P，使得直線

PA,OP,PB的斜率成等差數列.

【高三開學考?數學第4頁(共4頁)】I新高考I

高三數學參考答案、提示及評分細則

1.A因為A=(川0＜^-＜1},B={工|0＜工＜2),所以ADB=A,AUB=B.故選A.

2.A“這四個點中有三點在同一直線上”，一定能推出“這四點在同一個平面內”，充分性成立廣四個點在同一平面內‘'不

能推出有三點在同一直線上，必要性不成立，所以前者是后者的充分不必要條件.故選A.

3.B由./一療_/=0,得漸近線方程為？=±5彳，乂雙曲線才2—,/丁=入。#0)的兩條漸近線互相垂直，所以一］x!

=一1,解得，"=±1.故選B.

7r笈(cosa十sina)(cosa~~sina)

4.D因為sina=g+cosa,即sina—cosa=~!"，所以一'：~笠'=j=--*2g---

sin(a+g)sina+cosa

■y-(sina-Feosa)

—>/2(cosa—sina)=考.故選D.

|合卜同=1.所以(a-l)z+〃wi.

5.C設之=a+歷(a,〃￡Z),貝壯=a一歷，|z—1|=/(?-l)2+^,

法一：因為Q-l)2-0,所以〃wi,即一IWYl.

當Q±1時,aT=。即a=］,有兩組滿足條件仁:仁;:

a=l,(a=2,(a=0,,,………吉4

當b=0時,a—1=0或a—1=±1,所以Q0.f=。.但時E不符合題意,

故選C.

法二:如圖，可轉化為研究圓面(。一1尸+〃&1內(包括邊界)的整點個數.圓面包括的整點分別

為(0,0),(1,0),(2,0),(1,1),(1,-1),而而,0)不適合則符合題意的整點共有4個.故

選C.

6.B因為=-1關0,所以0不是人工)的零點.當工聲0時，方程zsin2兀＜-1=0的解

的個數為函數/i(.r)=sin2K.Z-與8(7)=?的圖象在［-3,31上交點的個數.在同一坐標

系中作出ACr)=sin271r與gCr)=十在(0,311上的圖象(注意到當0＜工41時,g(z)單

調遞減，g(x)＞l，/“H)Wl，g⑴=1,/“1)=0,8(［)=春＜八(1")=1)，如圖所示，由

圖可知在區(qū)間(0,31上,兩函數圖象有4個交點，而/“工)=sin2E與g(工)=+均為奇

/z(.r)=sin2n.r

函數，故在［-3,3］上兩圖象交點個數為8,即/(_r)=_rsin2w1在區(qū)間［-3,3］上的零點個數為8.故選B.

7.D函數y=4--的圖象與曲線y=4"關于直線工=1對稱，將￥=4?"的圖象向下平移4個單位長度得到，=4”“一4

的圖象，將-4的圖象向左平移1個單位長度得到，=42-＜-"-4=4一?一4的圖象，即/(工)=4一，一4,故

/'(―1-)=4-十—4=4.故選D.

8.C設BC的中點為M.則范+充=2病，所以茄=俞，所以外心O與中點M重合，

故△ABC是以A為直角頂點的直角三角形.

法一:函在質上的投影向量為(|威|cos(g^cosB)BC=COS2B?BC砥/-------V

=磊說，所以cos，B=L又cos/AOC=cos2B=2cos2B-l=2X^-l=y.故選C.

法二:因為前在函上的投影向量為條正,所以該在愛上的投影向量為名炭一得皮=?!反'，而I疏|=4|BC|,

1U1v乙3乙

則cosZA(x；=cosZAMC=.故選C

擊位|5

9.BC因為函數/⑴二瓦4^+號人女的最小正周期為公所以誓一則^^廝以八了:^山⑵+手).

又寸于A,法一：/(-y-=sin("1-7r-2.rH--y)=sin(it-2a-)=sinlx,/(j-H--y)=sin(2_r+與H--y)=sin(2j-|-x)

【高三開學考?數學參考答案第1頁(共6頁)】新局等

=="sin,/（號一手），則A錯誤;

法二:八號一=/（才+4~）意味著/⑴的圖象關于直線i=貫■對稱，將工=~^代人/（I）=sin（21+《?），得/（￡~）

=O"Cr）的圖象關于點（號,0）時稱，則A錯誤；

對于B,J=COS（2JT—~.）=cos（2w+~|■一號）=$沿（2父+號），則B正確;

對于C,f（i+吉）=sin（21+手+號）=sin（2片+專），f（--^--x）=sin（一六一21+發(fā)）=-sin（21+導）=

一/。十吉）,則C正確；

對于■《27+號（竽,當.即0《父〈金時,（/）&】，3￡［。噴］，使得

f）=sin（2力+號）=9;當發(fā)<2］+~!~<w,即韋0<多時,一堂《/（1）<1,三力2￡（名號］?使得）=

sin（2e+號）=興所以在10,今］匕/。）=磊有兩解,則口錯誤.故選BC.

O1vL_乙」1v

10.ABD由題意，BUA,所以A+B=A,AB=B,所以尸（A+B）=P（A）,P（AB）=P（B）,貝ijA,D借誤；尸（B|A）=

帶需2=虢，則B錯誤;?（A|8）=輕祟=鬻條=1,則C正確.故選ABD.

r\/\）r\/\）r{ij）r（iJ）

Q，"q"+l

11.ACD對于A,因為片>旌"+|一卅'，所以（〃+1兀"'>"27/喙>苗，則A正確；

對于B,令"工）=巨（工>1），則/（工）=上要e>0,所以八2）在（1,+8）上單調遞增；由金〉與，得/<加）

〉八”+1）,所以加>“+1,即"?一1>”,所以（+）'"’<（+）”,則B錯誤;

對于3因為機>〃+1,所以2"1+2-">2"一+2f>2/2"一?2f=2/尹=孝.所以2"1+2-”>孝.則C正確；

對于D.因為機+”>"+1+==2"+1>3,所以log3（加+”）>1,則D正確.故選ACD.

12.ABD根據題意,1T>O且1一城>0.即工61—1,口,欠［一毋,4］，顯然當Q<0時,不滿足C的方程;當q

）0時,兩邊平方化簡.得二+4/=1,曲線C表示橢圓/+4/=1在第一象限和第三象限內的部分及坐標軸上的點，

如下圖所示：

用一工，一），分別代替.r0,C的方程不變，所以曲線C關于原點對稱.故A正確；

設P（3）,則|（用2=/+丁=（1-4/）+y=1-3/由0<24:,得:《1-3丁&1,所以得〈IOPI&1.故B

正確；

對于C.曲線C與坐標軸所圍成的圖形如下圖陰影部分所示（Al，42，&,星是曲線與坐標軸交點）.

以。4,OB,為鄰邊作矩形OA,MIi,，則陰影部分的面積S<2S翻修%，嗎=2X1X^=1,故C錯誤；

對于D.易知直線產一十工+笈在曲線C上方，且沒有公共點.設廠一步+〃，與/+短=1聯立消去引得2/一

46x+4Z>2-l=0,若直線廣一^+1）與橢圓C相切，則△=16〃-8（4加-1）=0,解得〃=土考；當1>=~時,切點在

【高三開學考?數學參考答案第2頁（共6頁）】|新高考|

72-"

所

第一象限，所以直線產一》+考與直線產一品+"間的距離即為PM\的最小值，即|一=5

IPM|?lin=

75-

2

以IPM|2空,故D正確.故選ABD.

13.2由題意，得圓C的圓心C（3,l）,半徑/-3,直線I過定點尸（1,2）,點P在圓C內.所以當PC_U時，IAB|取得最小

值.此時PC的斜率—呂=一十,故Z的斜率為2.

14.7（或8或9或10）去掉＞n后的七個數從小到大排列為6,7,7,8,8,9,10,下四分位數就是第二個數7,且第2個數和

第3個數都是7；而八個數的下四分位數是從小到大排列后，第二個數和第三個數的平均值.所以只要加＞7,全部八個

數從小到大排列后第2個數和第3個數就都還是7,下四分位數就不會變.所以整數”,的值可以是7,或8.或9,或10.

15.28工和才一'（汴+'）'展開式的通項為.+尸&（汴）s-'（3）'=a?工人（04《8）,由1^&€2,得「=2或

8,T2+I=Q?工=28r,八+1=0?工-'=了7,故有理項是28工和工7.

16.27K法一:設正方體的棱長為a，取空間的?個基底｛逝，公，俞｝，設“是平面a的一個方向向上的單位法向量.由空

間向量基本定理，存在唯一的有序實數組Cr,',G,使得“=工前+了元+之天5由題意，茄,左，病在n方向上的投

影向量的長度分別為笈，悟,2.于是,"?讖=&.即（才就+y衣+z防）?蒜=廢■，即工/=修，即了=嘩.同理,

a"

產§,2=總從而n=[■（夜磋+悟公+2俞）.由=得十〃2/+3/+癥=1,即,?3a=1,解得a=3,所

以正方體的外接球半徑為挈，外接球的表面積為4K（乎?=27工

法二:如圖.連結BC.CD.BD.過A向上作平面a的垂線段AH.接下來以AH為一

條體對角線，同時將頂點A處的三條棱放在正方體的棱AB,ACAD匕作一個長方

體,AB'.AC',AD'是長方體的三條棱（圖略）,則AB,2+AC'2+AD，2=AH2.則

AR'24/^2AC'？

22Z.CAH2ADAH==

cosZBAH+cos+cosAH-AH-AH-

1

AB^+AC^+AD'=l作BB]于&,CGLa于Ci,DQ_La于Di;連結ABt,

AG.AD）.令/BAB=d,/CAG=y./DAD=仇由cos?/BAH+cos?/CAH+

cos2/DAH=L可得$五沔+4112/?+S而7=1,設正方體的棱長為心因為BBi=",CQ=悟,DR=2,.所以（§）“+

（（看解得公=故該正方體外接球半徑為母=挈,外接球的表面積為（挈

gy+y=i,9,41txy=詛

17.（1）證明：因為%-=2處+2"\

等式兩邊同除以2"1得料=會+1,即第一次=1,.....................................................................................3分

所以數列管）是首項為號?，公差為1的等差數列....................................................5分

⑵解:由（1）得當'=B+1）.因此a"=,"?2"-1+（〃-1）.2".................................................................6分

由￡2?+i＞a?對"SN，恒成立，得m?2"+"?2"+1?2"1+（zj—1）?2"N,均成立.

因為2"T＞0,不等式兩邊同除以2"7，得2"?+4心＞帆+2”-2,

即”?＞一2”一2對,￡N'恒成立，.................................................................8分

當71=1時，-2”一2取最大值一4?所以?＞—4,

所以實數，”的取值范圍為（-4,+8）............................................................................................................10分

18.(1)證明:在AABE中，由余弦定理，得BE^nA^+AB'—ZAEXABXcosA,即3AE,解得AE=1或2.

............................................................................................................................................................................1分

當AE=1時,由俞=3旋，得DE=2,AD=3.

在△ABD中.由余弦定理，得BD2=AD2+AB2-2ADXABXcosA=9+3-2X3X73X^=3,

所以BD=73.

此時BD=AB,/BDA=/BAD=￡,/ABD=W＞。...................................................................................3分

bOZ

【高三開學考?數學參考答案第3頁（共6頁）】|新高考|

當AE=2時，由AD=3AE,得DE=4,AD=6.

在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AD24-AB2-2ADXABXcos4=36+3-2X6Xy3X^=21,

22

/AAB?+BD—AD3+21—36/於

所以cos/A3D=—不二五寸石齊一=---FF=<0,

2XABXBD2X73X/2T

又NABDe（O,K）,所以/ABD>}...........................................................................................................................5分

綜上,NABD>號...................................................................................6分

（2）解:因為BDuVS'AE,結合（1）得BD=向,AE=1................................................................................................7分

設NCBD=a，則NC=2a,

在△BCD中.由正弦定理,得卓=」崢.

sinasinNa

即」一=2（?=^/3sina,...............................................................................................................................8分

sinasin2a

所以2sinacosa=V3sina.

由0<2。+。<n,可得OVoV菅?所以cosa=§，得。=吃，

oLb

則NC=+，/CDB=+，所以四邊形ABCD的面積

分

S=S^+SA?.D=1x73X3Xsinf+|xy3Xl=^................................................................................12

19.（1）解:幾何體（MBCDQ是三棱臺，證明如下：...........................................................1分

由條件知DO1〃AO,又AOU平面AOB.DOiU平面AOB,

所以DQ〃平面AOB,同理,C?！ㄆ矫鍭OB.

因為DC）.ACQ=。，所以平面DCOi〃平面AOB...................................................................................................3分

另一方面，延長AD，OQ交于點M,如圖，

“1M

因為D（入//AO且0（）,=等人0,￡

3/；\

所以——C2LA1——={2L^=Z2QL=J_解得0M=工（、）1?：0i\

加以O1M+（X）|OMA。3股號I2c

同理，延長BCOa交于點M7,也可得。時=*0。，r；\

故點和點重合，即延長后交于同一點

MM'AD.BCOQM,/J_________\B

從而幾何體OABCDQ是三棱臺...............................................6分/，二二^

（2）解：因為。AJ_OQ.OB1CXZ.A匕1"^

所以NAOB是直二面角A-00）-B的一個平面角，

從而OAJ_QB.............................................................................................................................................................7分

以O為原點,OA,OB.（X）所在直線分別為.r軸,），軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則0（0,0,0）,A（3,0,0）,B（0,3,0）,C（0,l,g）,Oi（0,0,倍）.

所以AC=（-3,1,乃），BOi=（0,-3,點）,A5質劣=-3+伍X伍=0,

所以BO]J_AC,又因為m或"00=-3+73義0=0,所以BOiJ_OC.

而AGOCU平面A（X、,ACnoC=C,

所以_L平面QAC,麗是平面OAC的一個法向量...................

設"=（工,y,z）是平面。AC的一個法向量,

——>n,AC=O,

向ac=（。,],。）及[.前=0,得―3N+?+-z=0,

?=0，

取;3=而，得71=（1,0,總）..........................................................................11分

設二面角AC-Oi的大小為。，由圖可知,0為銳角，

所以cos0=Icos<n,BQ>|=J:常黑T=《，

即二面角AC-。的余弦值是空..................................................................12分

【高三開學考?數學參考答案第4頁（共6頁）】新高等

20X1200”，

“尸2000=12,

20.解：(1)設抽取的20人中，男、女生人數分別為乃，也，貝H

20X800=q

2000T

所以工=12-5-2=5,3=8-1-0=7.

列聯表如下：

男生女生總計

不填報5712

填報718

總計12820

3分

零假設為

H,:“是否填報考古專業(yè)”與性別無關聯......4分

根據列聯表中的數據，經計算得到

,20X(5Xl-7X7)J,

X=-12X8X8X12~4?2°1>3.841=^.05-5分

根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H,不成立，即認為“是否填報考古專業(yè)”與性別有關聯,此推斷犯錯誤

的概率不大于0.05......................................................................................................................................................6分

(2)X的可能取值為0,1,2,3,.....................................................................................................................................7分

C+QCC_60

?2-220；

ce+cc+cc+acL95

1A=1-Cf^=220?

P(x=2)=Qc+ce=%.

乙C?220'

P(X=3)=S"=懸................................................................................11分

所以E〈X〉=0X怒+1X蒜+2X蒜+3X^=條................................................12分

21.解：(1)當a=l時J(H)=e"-(2z+l)e",

則/(0)=^-3>=0,切點為(0,0).........................................................................................................................1分

/(工)=-(2^—2]-3),/'(0)=&(26。-3)=-1.切線斜率為-1,........................................................................2分

所以所求切線方程為，一0=一(工一0)，即工+》=0................................................................................................3分

(2)法一：/0)=0，(241-2工-3)，

r

令/i(.r)=2ae—2JT—3,

因為。<0,所以/"了)在R上單調遞減；.................................................................4分

又當工<0時,e，yi,2aer>2a,

所以“匍父)>2"—(2。-3)—3=0,

又灰0)=2。-3<0,

所以三網€(紅了±0)?使得〃(H“)=2aer。一2m一3=0........................................................................................6分

所以e*<>=寫心>0,。=華爐，

Za2e<>

因為aVO,所以2丸+3V0,劭V—1■，由題意.小>—2............................................................................................8分

故當(―2,m)時/'(N)>(),/(n)單調遞增；

當父￡國，一管)時，/心)V0,⑴<0,/⑴單調遞減.

/(/)在以)處取得極大值,曲S(―2,--..........................................................................................................9分

令〃“①)=21+3,工1(12,--y)，則〃/(①)=-2：<1>0，

Ze'Z7Ze

所以，”(工)在(一2,一方)上單調遞增,.................................................................11分

而

in(,-2)=J2=~2?>?(----1-)=0，

【高三開學考?數學參考答案第5頁(共6頁)】新局等

所以一導＜a＜0,

故實數，，的取值范圍為（一亨,0）...........................................................................................................................12分

法二：由題意，/（w）=eF2ae，一2了一3）在（一2,+8）上有零點，

即函數8（7）=2。片一2工一3在（-2,+8）上有零點.

即方程2a=e-』（2r+3）在（-2,+8）上有實根......................................................4分

令從了）=e-（2才+3）,則，（了）=e'（-2.r-1）.

考慮到了〉一2,則，（了）＞0㈡一2＜了＜一-^；/（了）＜06＞一十,

所以/“了）在（一2,一~）上單調遞增，在（一^,+8）上單調遞減.

所以?是底M）的最大值點，即HGaf（一受）=2