2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 最值問題（強化）（解析版）

最值問題【例題精講】如圖在矩形中已知點是邊上一動點（點不與重合）連接作點關(guān)于直線的對稱點則線段的最小值為A．2 B． C．3 D．【解答】解：連接點和關(guān)于對稱在以圓心3為半徑的圓上當(dāng)三點共線時最短故選：．如圖已知點是上一點直線過點點是上的另一點點是的中點若點是上的一個動點且時求的面積的最大值．【解答】解：連接；是的中點且又；過點作于延長交圓于點則是的邊上的最大的高；在中的面積的最大值為．【題組訓(xùn)練】一．選擇題（共8小題）1．如圖的半徑為2圓心的坐標(biāo)為點是上的任意一點且、與軸分別交于、兩點若點、點關(guān)于原點對稱則的最小值為A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：若要使取得最小值則需取得最小值連接交于點當(dāng)點位于位置時取得最小值過點作軸于點則、又故選：．3．如圖點半徑為2點是上的動點點是的中點則的最小值是A．1.4 B． C． D．2.6【解答】解：如圖連接交于連接由勾股定理得：當(dāng)最小時最小當(dāng)運動到時最小此時的最小值故選：．4．如圖拋物線與軸交于、兩點是以點為圓心2為半徑的圓上的動點是線段的中點連接則線段的最大值是A．3 B． C． D．4【解答】解：連接如圖當(dāng)時解得則是線段的中點為的中位線當(dāng)最大時最大而過圓心時最大如圖點運動到位置時最大線段的最大值是．故選：．5．如圖是的弦點是優(yōu)弧上的動點不與、重合）垂足為點是的中點．若的半徑是3則長的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：垂足為點是的中點．的最大值是直徑的長的半徑是3的最大值為3故選：．6．如圖點的坐標(biāo)分別為點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點點為線段的中點連接則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：如圖點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點在上且半徑為1取連接是的中位線當(dāng)最大時即最大而三點共線時當(dāng)在的延長線上時最大即的最大值為；故選：．7．如圖中是內(nèi)部的一個動點且滿足則線段長的最小值為A． B．2 C． D．【解答】解：（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）點在以為直徑的上連接交于點此時最小在中．最小值為2．故選：．8．如圖在平面直角坐標(biāo)系中半徑為2為上任意一點是的中點則的最小值是A．1 B． C．2 D．【解答】解：如圖連接取的中點連接．點的運動軌跡是以為圓心半徑為1的圓的最小值故選：．二．填空題（共12小題）9．如圖在直角坐標(biāo)系中⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（﹣10）半徑為1點P為直線y＝﹣x+3上的動點過點P作⊙A的切線切點為Q則切線長PQ的最小值是2．【解答】解：如圖作AP⊥直線y＝﹣x+3垂足為P作⊙A的切線PQ切點為Q此時切線長PQ最小∵A的坐標(biāo)為（﹣10）設(shè)直線與x軸y軸分別交于CB∴B（03）C（40）∴OB＝3AC＝5∴BC＝＝5∴AC＝BC在△APC與△BOC中∴△APC≌△BOC（AAS）∴AP＝OB＝3∴PQ＝＝2．∵PQ2＝PA2﹣1此時PA最小所以此時切線長PQ也最小最小值為2．10．如圖在平面直角坐標(biāo)系中已知點為平面內(nèi)的動點且滿足為直線上的動點則線段長的最小值為．【解答】解：取的中點過點作直線的垂線垂足為點點在以為直徑的圓上線段長的最小值為．故答案為：．11．在中若為邊的中點則必有：成立．依據(jù)以上結(jié)論解決如下問題：如圖在矩形中已知點在以為直徑的半圓上運動則的最小值為10．【解答】解：設(shè)點為的中點點為的中點連接交半圓于點此時取最小值．四邊形為矩形．故答案為：10．12．如圖中是內(nèi)部的一個動點且滿足則線段的最小值為2．【解答】解：點在以為直徑的上當(dāng)、、共線時最小在中．最小值為2．故答案為：2．13．如圖是半圓的直徑點在半圓上是弧上的一個動點連接過點作于連接在點移動的過程中的最小值是．【解答】解：連接取的中點連接點在以為圓心為半徑的圓上當(dāng)、、三點共線時最小是直徑在中故答案為：．14．在中若．則的面積的最大值為．【解答】解：作的外接圓過作于弦已確定要使的面積最大只要取最大值即可如圖所示當(dāng)過圓心時最大過（垂徑定理）．故答案為：．15．如圖等邊三角形的邊長為4的半徑為為邊上一動點過點作的切線切點為則的最小值為3．【解答】解：連接、作于如圖等邊三角形的邊長為4為的切線在中點是邊上一動點當(dāng)點運動到點時最小即的最小值為的最小值為故答案為：3．16．如圖、是半徑為5的的兩條弦是直徑于點于點為上的任意一點則的最小值為．【解答】解：連接作垂直于．根據(jù)垂徑定理得到在直角中根據(jù)勾股定理得到則的最小值為．故答案為：17．如圖已知點為半圓上一點的度數(shù)為點為上任意一點交于點連接若則的最小值是．【解答】解：如圖的度數(shù)是點的運動軌跡是連接．是直徑的最小值為．18．如圖在中弦點在上移動連接過點作交于點則的最大值為．【解答】解：連接如圖當(dāng)?shù)闹底钚r的值最大而時最小此時、兩點重合即的最大值為故答案為：．19．如圖是的弦點是上的一個動點且若點、分別是、的中點則的最大值是．【解答】解：點分別是的中點當(dāng)取得最大值時就取得最大值當(dāng)是直徑時最大連接并延長交于點連接是的直徑．．故答案為：．20．如圖以為圓心半徑為2的圓與軸交于、兩點與軸交于兩點點為圓上一動點于當(dāng)點在圓的運動過程中線段的長度的最小值為．【解答】解：作于連接．在中點在以為直徑的上當(dāng)點在的延長線上時的長最小最小值．故答案為：．三．解答題（共10小題）21．在中直徑是弦點在上點在上且．（1）如圖1當(dāng)時求的長度；（2）如圖2當(dāng)點在上移動時求長的最大值．【解答】解：（1）連接如圖1在中在中；（2）連接如圖2在中當(dāng)?shù)拈L最小時的長最大此時則長的最大值為．22．如圖是的直徑點、是上的點且分別與、相交于點、．（1）求證：點為的中點；（2）若求的長；（3）若的半徑為5點是線段上任意一點試求出的最小值．【解答】（1）是的直徑即點為的中點；（2）解：而為的中位線；（3）解：作點關(guān)于的對稱點交于連接如圖此時的值最小點和點關(guān)于對稱作于如圖則則在中的最小值為．23．已知是的直徑點在的半徑上運動垂足為為的切線切點為．（1）如圖（1）當(dāng)點運動到點時求的長；（2）如圖（2）當(dāng)點運動到點時連接、求證：；（3）如圖（3）設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式及的最小值．【解答】（1）解：連接由勾股定理得；（2）證明：連接為的切線平分劣??；（3）解：設(shè)交于點延長線交于點由相交弦定理得由切割線定理得．24．如圖的直徑半徑為弧上一動點（不包括、兩點）垂足分別為．．（1）求的長．（2）若點為的中點①求弧的度數(shù)．②若點為直徑上一動點直接寫出的最小值．【解答】解：（1）連接的直徑圓的半徑為四邊形是矩形；（2）①點為的中點弧的度數(shù)為；②延長交于連接交于則的最小值的最小值為．25．如圖、、、是上的四個點．（1）求證：；（2）若點是劣弧上一動點（異于、、是關(guān)于的一元二次方程的兩根求的最大值．【解答】證明：（1）在上截取如圖又是等邊三角形即．又在和中又（2）由（1）可知、是方程的兩根要使有最大值則最大即為的直徑連并延長交于點連接則的最大值為4．26．如圖平面直角坐標(biāo)系中矩形如圖放置點分別為邊上的中點動點從點出發(fā)以每秒2個單位速度沿方向向點運動同時動點從點出發(fā)以每秒1個單位速度沿方向向點運動．當(dāng)一個點到達(dá)終點時另一個點隨之停止．連接、且與相交于點連接．（1）求線段的長度；（2）過點作垂足為點連接求線段長度的最小值．【解答】解：（1）設(shè)運動時間為秒．則．四邊形是矩形．．在中．（2）由題意點在以為直徑的的圓上運動連接．的最小值為．27．如圖在中于點于點以點為圓心為半徑作半圓交于點．（1）求證：是的切線；（2）若點是的中點求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下點是邊上的動點當(dāng)取最小值時直接寫出的長．【解答】（1）證明：作于如圖于點平分是的切線；（2）解：點是的中點而圖中陰影部分的面積；（3）解：作點關(guān)于的對稱點連接交于如圖此時最小而即最小值為在中在中即當(dāng)取最小值時的長為．28．在中直徑是弦點在上點在上且．（1）如圖當(dāng)時求的長；（2）當(dāng)點在上移動時線段長的最大值為；此時的度數(shù)為．【解答】解：（1）解：（1）連接如圖1在中在中；（2）連接如圖2在中當(dāng)?shù)拈L最小時的長最大此時則