相似三角形的九大模型 - 教師版

相似三角形的九大模型-教師版BFMC，EF//MC，MEF∽MBC，BC2MC，EFBEMCBC38，BE3AE，EFED5AEED8，BC2MC，CDBCBD2MC3AE2MC\dfrac{3}{2}ED2MC\dfrac{15}{8}EF，四邊形BCEF為平行四邊形，BCEFBE3AE\dfrac{24}{5}EF，代入CD的表達(dá)式中，CD2MC\dfrac{15}{8}EF2MC\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{5}{24}(BCEF)2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}EF，四邊形EFGH的周長為EFFGGHEHEFBCCDED\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}EFED\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BC\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{8}{5}CD\dfrac{24}{5}EF2MC\dfrac{5}{8}BCCD\dfrac{24}{5}\cdot\dfrac{8}{15}CD2MC\dfrac{5}{8}BCCD\dfrac{213}{40}．中的角A、B、C分別對折，使得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)重合，如圖所示。已知角A的度數(shù)為60°，邊AB的長為10cm，邊AC的長為8cm。求重合后三角形的面積。【答案】將三角形對折后，可以得到一個(gè)正三角形，邊長為10cm。由于對折不改變面積，所以重合后三角形的面積為正三角形的面積，即S=（根號(hào)3/4）×102=25根號(hào)3cm2。（2）當(dāng)ACBC時(shí)，設(shè)AC為直角邊，BD為斜邊，記AD為x，BC為y，則AB為$\sqrt{x^2+y^2}$，由相似三角形可得EF為$\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$，由于$\triangleADF$和$\triangleBCF$的高分別為x和y，所以$\frac{AF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，又$\triangleAEF$和$\triangleCEF$的高分別為x和y，所以$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{y}$，$\frac{CE}{AE}=\frac{y}{x}$，由余弦定理可得$DF=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$，其中$\theta=\angleADE=\angleBCD$，所以$\frac{DF}{BD}=\frac{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}{\sqrt{x^2+y^2}}$，又$\triangleBDF$和$\triangleADF$的高分別為y和x，所以$\frac{BF}{AF}=\frac{y}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，由于$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{y}$，所以$\frac{AF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}$，由于$\frac{AF}{AB}+\frac{BF}{AB}=1$，所以$AF\perpAB$。2．已知：$\angleADE=\angleBCD$，$\angleACD+\angleDCB=90^\circ$，$\angleDCA+\angleACF=90^\circ$，則$\angleACF=\angleBCD=\angleADF$，$\angleAED=\angleCEF$，$\angleBAC=\angleCFD$，$\angleACB=\angleDCF=90^\circ$，因此$\triangleACB\sim\triangleFDC$，$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{CF}$，$\triangleBCD\sim\triangleACF$，$\angleB=\angleCAF$，從而$AF\perpAB$。24．已知$\angleADC=\angleACB$，$AD=2$，$BD=6$，則由正弦定理可得$\frac{AC}{\sin\angleACD}=\frac{AD}{\sin\angleADC}=\frac{BD}{\sin\angleBDC}=\frac{6}{\sin\angleACD}$，從而$AC=2\sin\angleACD=4$。25．已知$\angleBAD$被$AD$平分，$AD$的垂直平分線交$AD$于$E$，交$BC$的延長線于$F$，則$\angleAFB=\angleCFA$，$\triangleACF\sim\triangleBAF$，由相似比可得$AF^2=BF\cdotCF$，即$FD^2=FB\cdotFC$。又因?yàn)?\triangleACF\sim\triangleBAF$，所以$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BF}{CF}$。27．已知$\angleBFA=90^\circ$，連接$BE$交$AC$于$F$，則$\triangleBEA\sim\triangleACD$，$\triangleFED\sim\triangleDEB$，$\triangleCFD\sim\triangleABG$，$\triangleADF\sim\triangleCFB$。因此相似的為①和④。28．（1）由對角線的性質(zhì)可知$\angleAPD=\angleCPD$，又因?yàn)?\angleBFA=90^\circ$，所以$\angleAPE=90^\circ$，因此$\triangleAPE\cong\triangleFPD$，從而$\triangleAPD\cong\triangleCPD$。（2）由$\triangleAPE\cong\triangleFPD$可得$AP=PF$，從而$\triangleCPE\sim\triangleCPF$，因此$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$，即$PC^2=PE\cdotPF$，因此$PC$是$PE$和$PF$的調(diào)和平均數(shù)。在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，利用射影定理可得：AC2=AD×ABBC2=BD×AB又因?yàn)镈E⊥AC，DF⊥BC，所以：AE2+DE2=AD2BF2+DF2=BD2將AC2和BC2代入上式，得：AE2+DE2=AC2BF2+DF2=BC2代入前面的式子，得：AE2+DE2=AD×ABBF2+DF2=BD×AB將兩式相加，得：AE2+BF2+DE2+DF2=(AD+BD)×AB代入AE2+BF2=AB2，得：AB2+DE2+DF2=(AD+BD)×AB移項(xiàng)，得：AB3=(AD+BD)×AB2+DE2×AB+DF2×AB化簡，得：BC3=BD×BC2+AC2×BD+CD2×AC因此，BC3/3=BD×BC2/3+AC2×BD/3+CD2×AC/3，即：BC3/3=BD×(BC2/3+AC2/3)+CD2×AC/3由于CD是斜邊AB上的高線，所以CD2=BD×AD，代入上式，得：BC3/3=BD×(BC2/3+AC2/3)+BD×AD×AC/3化簡，得：BC3/3=BD×(AB2/3+AC×AD/3)因?yàn)锳B2=AC2+BC2，所以AB2/3=AC2/3+BC2/3，代入上式，得：BC3/3=BD×(AC2/3+BC2/3+AC×AD/3)化簡，得：BC3/3=BD×(AC2+BC2+AC×AD)/3即：BC3/3=BD×(AC+BC)2/3因此：BC3/3=BD×(AC+BC)2/3即：BC3/AC2=BD×BC2/AC×AD即：BC3/AC2=BD×BC/AC即：BC3/3AC2=BD×BC/AC因此：BC3/3AC2=BD×BC/AC證畢。下面是改寫后的文章：1.根據(jù)SAS準(zhǔn)則，可以得出△APD≌△CPD；2.猜測PC2=PE×PF；證明：由于△APD≌△CPD，所以∠DAP=∠DCP，CD//BF，因此∠DCP=∠F，又∠APE=∠FPA，因此△APE∽△FPA，所以AP/PE=FP/PA，即PA2=PE×PF，又因?yàn)椤鰽PD≌△CPD，所以PA=PC，因此PC2=PE×PF；3.在直角△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，可以得到AD×BD=CD2，AC2=AD×AB，CB2=DB×AB；4.在直角△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，可以得到BC3/3=BD×(AC+BC)2/3；5.在直角△ABC中，CD為斜邊AB上的高，AC=3，AB=6，可以得到BD=4.5。且BEAE，CDAE，所以Rt△ABD與Rt△ECD相似。（2）由相似可得：$\frac{CE}{AD'}=\frac{DE}{AB}$代入數(shù)據(jù)得：$\frac{CE}{8-4}=\frac{4}{6}$解得：$CE=\frac{16}{3}$cm。=APPEADCE，ABBPAPPEADCE，APPEABBPCEAD，代入DE:EC5:3得：5BP3(7BP)2，解得BP85cm，即在邊BC上存在一點(diǎn)P，使得DE:EC5:3，BP的長為85cm。CE=47-BP=BP-3，所以2BP-50=0，BP=25。因?yàn)辄c(diǎn)P在BC上，所以1<BP<7，所以BP=6。45.如圖，M為線段AB上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于點(diǎn)F，ME交BD于點(diǎn)G。（1）相似三角形：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM。理由：∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，又∠DME=∠A=∠B=α，所以∠AMF=∠BGM，所以△AMF∽△BGM；∠D是公共角，∠DME=∠B，所以△BMD∽△MGD；∠E是公共角，∠DME=∠A，所以△AME∽△MFE。（2）當(dāng)AM=MB時(shí)，由相似三角形可知，F(xiàn)M/AM=GM/BM，且AM=BM，所以FM=GM。又因?yàn)椤螪ME=∠B，所以△MFG∽△BMG。（3）當(dāng)α=45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC=BC，所以AM=BM=22。由相似三角形可知，AM/AF=BM/BG，所以BG=AM×BG/BM=11/4。又因?yàn)锳C=BC=42cos45°=4，所以CG=BC-BG=15/4，CF=AC-AF=5/4。所以FG=√(CF2+CG2)=√(25/8)=5/√2。此種情況不存在。當(dāng)點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)，在Rt三角形CEF中