新課程下化歸思想在解題中研究的反思

新課程下化歸思想在解題中研究的反思《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》強調“課程內容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學的結果，也包括數(shù)學結果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法[1]”.而化歸是解決數(shù)學問題常用的思想方法，它是許多其它數(shù)學思想方法的基礎，所以數(shù)學教育家們常常把它稱為數(shù)學中最基本的思想方法之一、化歸的思路是“在解決數(shù)學問題的時候將這個問題通過一定的方式轉變?yōu)榱硗獾膯栴}，通過對另外一個問題的求解來得到原問題的解答[2]”.它能夠將一個原本困難的或復雜的數(shù)學問題轉化成一個簡單的或便于操作的數(shù)學問題，實現(xiàn)數(shù)學問題解決中的化難為易，化繁為簡，有利于提高學生解決數(shù)學問題的能力.綜上所述，筆者認為有必要對新課改十年來化歸思想在解題中的研究進行反思，總結經驗，思考不足，提升化歸思想研究的水平.關于化歸思想方法的研究文獻資料較多，本研究使用的文獻源基本為中國知網期刊全文數(shù)據國內化歸思想在解題中的應用的研究國內近些年來很多工作在一線的教師、學者和專家對化歸思想在數(shù)學解題中的應用進行了研究，取得了一些成果.其研究大致可分為以下3類：化歸思想在數(shù)學解題中的應用、應用在解題的化歸思想的分類、運用化歸思想解題的原則和策略.化歸思想在數(shù)學解題中的應用研究由于小學生的思維以具體形象思維為主，所以小學數(shù)學化歸思想的研究集中在學生的計算技巧與幾何形狀的變換.例如：有的學者提出“在小學階段，對于新圖形的認識，最好的辦法就是將它轉化為已經學過的圖形[3]”.在初中階段，學生的數(shù)學思維開始向邏輯思維發(fā)展，雖然“這時期還是以學生的實踐經驗為基礎，傾向于經驗型邏輯思維[4]”；而到了高中階段，數(shù)學思維逐漸向理論型邏輯思維和辯證邏輯思維發(fā)展.所以，整個中學階段化歸思想研究的深度與廣度都要強于小學階段.有的學者對中考數(shù)學試題進行研究，提出了初中數(shù)學解題轉化的新路徑：“把問題元素轉化到新圖形中解決；把原問題轉化為新定義型問題解決；把問題元素轉化到全等圖形中解決；把問題元素適當作二次轉化解決[5]”還有的學者經過中學數(shù)學教學實驗得出“化歸的關鍵是夯實基礎知識[6]”.大學階段，學者們則從高等數(shù)學及專業(yè)數(shù)學課程的角度出發(fā)研究化歸思想對大學數(shù)學學習的影響.有學者[7]闡述了在微分方程教學中滲透化歸思想的價值，探究了在解具體的微分方程時如何使用化歸方法及其意義，以及大學數(shù)學專業(yè)課的教學中進行化歸思想方法滲透的心得與體會，提出在實際教學過程中教師應不斷反思化歸教學的路徑.有工作在一線的大學數(shù)學教師[8]就極限、微分學以及積分學三個方面的問題討論了化歸思想在數(shù)學分析解題中的廣泛應用.應用在解題的化歸思想分類研究對在解題中的化歸思想的分類，一類是根據題目的類型及特點進行分類，例如將其分為代數(shù)化歸思想、幾何化歸思想和綜合問題的化歸思想等.有學者將其細化為“主客轉化、方程與函數(shù)、對立轉化、局部與整體、動靜轉化[9]”.另外一種分類方式是根據化歸思想的本質及特點進行分類：任爽[10]提出了中學數(shù)學解題的化歸思想分為三種形式：化大為小、化繁為簡；等價轉化思想；不等價的轉化思想.陳欣龍[11]指出數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉化與化歸：數(shù)形結合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉化——以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現(xiàn).運用化歸思想解題的原則和策略研究首先，根據學生成長的特點與思維發(fā)展的階段性特征，不同的學者針對不同年齡階段的學生提出了不同的化歸思想解題的原則與策略.沈濤[12]根據小學數(shù)學教育的特點提出了化歸思想的解題策略如下：1.模式識別，化生為熟；2.探尋規(guī)律，以退為進；3.數(shù)形結合，化難為易.董秋霞[13]則指出：轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時，尋求簡單方法從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略.常見有五條基本原則：1.熟悉化原則；2.簡單化原則；3.和諧統(tǒng)一性原則；4.形象化原則；5.正難則反原則.其次，根據化歸思想掌握的程度及其在實際教學中的影響因素，不同的學者也提出了不同的化歸思想解題的原則與策略.吳艷麗[14]提出了關于化歸思想掌握的三個階段的策略.潛意識階段的教學策略：1.使初中生明確學習化歸思想方法的意義；2.引入數(shù)學史，滲透化歸思想方法；3.鼓勵學生進行觀察和聯(lián)想，培養(yǎng)化歸思維的靈活性.明朗化階段的教學策略：1.根據初中生特點、數(shù)學學科特點和教材內容設計化歸思想方法的教學；2.通過具體案例的教學揭露化歸的過程，采用螺旋深入的方法掌握化歸思想方法；3.采用螺旋深入的方法掌握化歸思想方法，精心設計練習，提高化歸能力.深刻化階段的教學策略：1.反思問題本質，指導學生整理化歸過程，尋找關鍵所在；2.重視知識間的聯(lián)系和綜合，不斷提高知識的結構化和網絡化水平；3.通過專題講座的形式深化對化歸思想方法的認識.楊文華[15]根據實際教學總結了具體的化歸原則（熟悉化原則、簡單化原則、和諧化原則、直觀化原則、標準化原則、低層次化原則、正難則反原則等）和化歸策略（化陌生為熟悉、化困難為容易、化未知為已知、數(shù)與形的轉化、特殊與一般的轉化、高維與低維的轉化、整體化方法、進與退的轉化、反客為主等）.化歸思想在解題中應用研究的幾點思考綜觀化歸思想在解題中的應用的研究，取得了不少的成果，但是有些不足之處也值得思考.其一，研究的局限性.一方面是視野面較窄.比如，新課改強調“從注重教法轉向注重學法”和學生的因材施教，而國內關于化歸思想在解題中的應用的研究主要集中在如何教學和題型的分類上，而對學生如何更好的學習化歸思想在解題中的應用缺乏必要的探討，對不同地區(qū)和不同類型的學生導致的化歸思想在解題中的應用的差異性需要研究；國內許多老師和學者缺乏國際視角，尤其是國外化歸思想在解題中的應用的研究與中國的相關研究的聯(lián)系和啟示缺乏分析與探討.另一方面是研究的問題的層面較低.研究者所關心的是化歸思想應用在哪些類型的題目上或是學生學習哪些內容或做的哪些題目體現(xiàn)了化歸思想，而對學生在運用化歸思想解題的過程（尤其是心理過程）和化歸思想在解題中的應用的理論上缺乏有效的研究和深入的探討；同時需要結合心理學進行研究數(shù)學化歸能力與注意力、邏輯思維能力、空間想象能力、創(chuàng)新意識、還有自信心、意志力等非智力因素有什么關系、有多大關系？最后，就是研究內容的局限性.比如，缺乏對化歸思想在解題中的反思的研究和化歸思想在數(shù)學解題中應該注意的問題；化歸思想在解題中的研究，無論小學、中學還是大學都有老師對其進行深入探討，但是其化歸思想在小學、中學、大學三個學生學習的階段的不同和其銜接的問題卻鮮有人對其研究；數(shù)學的思想方法有很多，比如數(shù)形結合、構造、數(shù)學歸納、幾何變換、數(shù)學模型、極限等等，但是縱觀所查閱的文獻，當前國內的研究人員鮮有對多種思想方法在解題中相互之間的關系進行分析與研究.眾所周知，在中學階段，尤其是高年級，數(shù)學的許多題目都是綜合性很強的，運用多種思想方法才能解決，所以對這個問題的研究有很強的現(xiàn)實意義[16].其二，概念界定混亂.化歸思想方法在不同的文章和專著中表述不統(tǒng)一，主要出現(xiàn)了以下幾種：“化歸思想”“轉化與化歸”“轉化的思想”“化歸方法”等.通過查閱相關的文獻，少數(shù)人認為化歸是一種方法，一部分人認為化歸是一種思想，大部分人認為應該把化歸當作一種思想方法.筆者認為，化歸應更側重于思想方面，即使是方法，也屬于抽象度非常高的一種方法.不僅如此，化歸還是一般的科學思維方法，小學時期學生形成了化歸意識，就為形成良好的數(shù)學思維方法打下了基礎.關于化歸思想在原則上的研究大家基本得到了共識，基本原則如下：1.熟悉化原則；2.簡單化原則；3.和諧統(tǒng)一性原則；4.形象化原則；5.正難則反原則.但是關于化歸思想在解題中的策略缺乏有效的整合與歸類，這是值得研究者深思的.其三，研究方法單一、第一，很多教師根據自己多年的教學經驗總結出了化歸思想在教學中解題的題型、方法、策略等，缺乏有效的定量研究和思辨色彩，理論性不強.筆者認為對任何一個問題的研究都應該基于大量的資料上，一類是實驗性資料，另一類是非實驗性資料.我們對化歸思想在數(shù)學解題中的研究應該綜合以上兩類資料，做出定量和定性的分析、判斷.第二，現(xiàn)代信息技術的發(fā)展對各種研究化歸思想在解題的研究所起的作用起到了深刻的影響，而縱觀這幾十篇相關的文獻，發(fā)現(xiàn)很多作者缺乏運用相關的現(xiàn)代信息技術對課題進行分析與論證[17].例如；我們可以用計算機的SPSS程序來分析化歸思想與解題的相關性分析及因素分析.其四，研究者比較單一、國內專業(yè)研究“化歸思想方法”這一問題的學者較少，專著也不是很多.很多書中對化歸思想方法只是以一章的篇幅作以概括性的論述.研究者主要以一線教師為主，雖然一線教師對此問題論述較多，但都缺乏從理論上去認識這個問題，更多的是經驗之談.而且大多是以“化歸的定義”加“例題”的模式展開，實為解題方法的介紹，缺乏系統(tǒng)性的研究.其五，對化歸思想方法在解題中作用的認識不全面.幾乎所有文章中提到化歸思想在數(shù)學解題中的積極意義，而回避了化歸思想方法的消極面這個問題.馬艷[18]系統(tǒng)性地提到了這一問題.化歸思想方法在科學研究中取得了巨大成功，但這種成功恰恰掩蓋了以舊方法處理新事物的化歸思想在方法上的局限性和在觀念上的保守性.在研究中如何認識化歸思想方法的這種保守與創(chuàng)新，在問題解決中如何處理“化不歸”的現(xiàn)象等等問題值得進一步思考.另外，我們?yōu)槭裁匆诮虒W中滲透化歸思想呢？那是因為化歸思想在學生的后續(xù)學習和個人思維的發(fā)展方面起到了巨大的作用，所以我們對化歸思想在解題中的研究應該高于解題的境界，從學生個人思維的發(fā)展、數(shù)學素養(yǎng)的提高來研究化歸思想在解題中的作用.最后，筆者還想談一談化歸的局限性.首先，并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決.例如，所說的“由難到易，由繁到簡”的化歸，顯然就不可能永遠無限的繼續(xù)下去，即化歸不可能永無止境.其次，盡管化歸最終主要表現(xiàn)為一種解決問題的方法，但是，它的成功應用是以“數(shù)學發(fā)現(xiàn)”為前提，化歸以“先知”為基礎的.過多地強調化歸，不利于數(shù)學的發(fā)展.哲學上告訴我們，任何事物的推廣與發(fā)展都需要掌握一個“度”的問題.如果我們過多過重地強調化歸，不利于學生思維的創(chuàng)新，當然數(shù)學在未來也就難以發(fā)展了.因此，就數(shù)學思想與方法論的研究而言，我們也就不能停留于化歸的分析，而必須去從事新的研究.正如有的學者[19]提出，未來的化歸思想研究將更加科學與多樣，注重實踐研究，立足本土，放眼世界，理論思辨加實踐研究的充分結合，將促進新課程改革背景下數(shù)學化歸思想的研究向更加深入、更加專業(yè)、更加科學的方向發(fā)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